论文研究-现金流平衡约束下的Max-npv项目调度.pdf

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论文研究-现金流平衡约束下的Max-npv项目调度.pdf,  首先对现金流平衡约束下的Max-npv项目调度问题进行界定,分析其不同于一般资源约束型Max-npv项目调度问题的基本特征, 提炼研究的假设条件;随后构建问题的非线性整数规划优化模型,借助现金流平衡约束将项目费用、支付与融资联系起来,实现现金流出与流入的平衡; 鉴于问题的特点及模型的组合属性,设计专门的模拟退火启发式算法对其进行
134 系统工程理论与实践 第29卷 5)承包商可按一定费率从外部进行融资,在项目进行过程中其现金流须保持平衡 6)项目必须在规定的截止日期之前完成,承包商的目标是追求项目净现值的最大化 3优化模型 采用基于事件( Event -based)的研究方法构建该问题的优化模型,即项目网络采用AoA( Activity-on Arc)方式表述,现金流与事件相联系.令mnt为事件m在时刻t(t=0,1,…,D)发生的0-1变量,现金流平 衡约束下的Max-npv项目调度问题的优化模型可以表述如下 L maxNPv +∑{n∑ep( +nyU exp ∑(taM:)+Q k∈S E t=E ∑{=n∑xp(-anm(-∑ep( E ,m=1, (2) ∑(nt)+ln≤∑ t-E ∑ (Mt.t)<D t=E T=0,1 >0 xmt∈{0,1},m=1,2,……,M;t=0,1,…,D 其中,NPV为承包商现金流的净现值;事件bn和O2分别为活动m的开始和结束事件;[Ek,Lk、[Em, Lm]、Ebn,Jbn]、[Eon,Lon]和[EM,LM]分别为事件k、m、bn、On和M的由网络优先关系和项目截止日 期决定的时间窗;∫为承包商在T时刻的融资量,r表示截至T时刻所获得的累计支付扣除累计费用之后 的余额,即 r=0+∑(m∑)-∑(cm∑am),T=0.1,…,D 在事件k上的支付量pk由如下三个附加约東条件确定: ∑(p∑ak)=(0-y-m)∑(n T=0.1.….D k∈Sp t=0 ∑mk+(+n)C=U k∈SP >0 k∈ 上述优化模型为非线性整数规划模型.目标要求为最大化项目的净现值,其中NPV中的第1项为预付款,第 2项为各次支付的现值,第3项为质量保证金的现值,第4项为各事件费用的现值,第5项为融资费用的现 值;约束条件式(2)确保为每个事件在其时间窗内安排一个发生时间;式(3)为优先关系约束,保证每个活动 开始事件的发生时间与该活动工期之和不超过其结束事件的发生时间;式(4)使得项目终事件M的发生时 间(亦即整个项目的完成时间)不超过项目截止日期;式(5)为现金流平衡约束(如果rr<0,表示承包商截 至T时刻累计获得的支付不足以弥补累计发生的费用,需要从项目组织外部筹集总量为r的资金以确保项 目的顺利实施;反之,如果rr≥0,则表示截至T时刻累计获得的支付足以弥补累计发生的费用,因此不需要 从外部进行融资);式(6)为决策变量的定义域约束;式(7)确保至T时刻各次支付量的总和,等于承包商的 累计挣值与支付比例θ扣除预付款比例?和质量保证金比例n后的乘积;式(8)使得各次支付量的总和加 上预付款和质量保证金后等于项日合同的总价款;式(9)保证每次的支付量均为非负值 第3期 何正文,等:现金流平衡约東下的Max-mpy项目调度 135 4模拟退火启发式算法 由于本文所构建优化模型具有组合属性,容易推知对于现实规模的此类冋题,要获得其最优解从计算时 间上来说代价是巨大的,甚至是不可能的.因此从实用角度出发,本文设计了一种模拟退火启发式算法 作者之所以选择模拟退火作为该问题的求解方法,主要基于以下两方面考虑:首先模拟退火已被许多学 者证明是求解具有高度组合属性的项目调度问题的一种有效方法.在此方面, Sampson和Wois用模拟 退火技术成功求解了具有最大最小时滞优先关系的资源约束型项目调度问题;Ie6和Kim0将问题扩展到 多重资源约束情形下,并比较了模拟退火、禁忌搜萦及遗传算法这三种启发式方法各自的优缺点; Boctor1l 研究了求解资源约束型项目调度问题模拟退火算法的适应和调整问题,以提高此种启发式算法的效率;Cho 和Kim2将项目进度安排定义为一种优先权列表,从而提高了模拟退火启发式算法的柔性; Bouleimen和 Lecong13将模拟退火启发式算法的应用扩展到活动具有多种执行模式情形下; shtetl14等利用该种启发式 方法解决了海军巡逻快艇研发项日进度安排间题; Etgar15:等假定活动的现金流大小依赖于其完成时间,用 模拟退火启发式算法解决了净现值最大化项日调度问题; Dayanand和 Padman16针对单模式项目支付进度 安排饲题,设计了一种双阶段模拟退火启发式算法;Mika等7在多种支付规则的正现金流假设条件下,比 较了模拟退火和禁忌搜索求解多模式资源约束型Max-npy问题时的长处和不足;He和xn18则用模拟退火 成功求解了具有奖励惩罚结构的多模式项目支付进度问题.其次:本文所研究的现金流平衡约束型Max-npv 项目调度问题具有单一的目标函数且约束条件较多,相比于遗传算法和禁忌搜索等其他启发式算法米说,采 用模拟退火技术求解该问題具有如下优点:初始可行解易于确定、无需进行可行解编码转换、目标函数值计 算简单、生成可行邻点的操作简捷易行.这些优点使得算法便于编程及实现 令F={t:mmt=1,m=1,2,…,M}为项目事件的发生时间集合.基于模拟退火搜索技术的基本原理, 作者设计了问题求解的启发式算法,其实施步骤如下 step0输入初始温度 TEMPS、冷却速率(0<1<1)、终止温度 TEMPE( TEMPE>0)、在每温度下 的迭代步数Nm0、初始进度Fo及初始项目收益NPV0 Step1当前温度设定:TEMP= TEMPS Step2当前迭代步数设定:Nm=0 Step3在TFMP下由Po生成一个邻点T1,计算在邻点下的项目收益NPV1 step4若△NPV=NPV1NPVo>0,则接受邻点成为当前解:Io=I1,NPVo=NPV1.否则,生成 一个在0,1之间均匀分布的随机数R,若R≤e△NPV/MP,则接受邻点成为当前解:o=1,NPVo= NPV1;反之,拒绝邻点 step5Nm=Nm+1.若Nm≤Nm0,转Step3;否则,转Step6 step6按冷却速率将温度下降一定的比例:TEMP=TEMP.若TEMP> TEMPE,转Step2;否则 转Step7. step7输出搜索到的结果:*-0,NPV*-NPV0.搜索结束 初始进度ro按照如下步骤确定 1)基于截止日期D和项目网络结构,通过关键路径法 CPM(Critical path method)计算每个事件m(m= ,M)的时间窗Em,Lm 2)在其时间窗[Em,Lm内为事件m(m=1,2,…,M)安排一个发生时间 3)检查各事件发生时间是否满足优先关系约東(3),如果不满足,则顺次调整各事件的发生时间,直至优 先关系约束得到满足为止 为了简便起见,也可以直接选用每个事件的最早发生时间(或最晚发生时旬)来形成初始进度0.在给 定进度F下计算项目收益NPV的步骤如下 1)根据优化模型中的约束条件式(7)计算在每个支付事件k∈SP上的支付量pk 2)根据优化模型中的约束条件式(5)计算在每个时刻T(T=0,1,…,D)的融资量fr: 3)根据优化模型中的日标函数式(1)计算项日收益NPV 136 系统工程理论与实践 第29卷 给定初始进度0,其邻点1的生成步骤如下: 1)从除初始事件之外的所有事件中随机地挑选一个事件m(m=1,2,…,M) 2)将事件m的发生时间在其时间窗[Em,Lm内随机地变动一个时间单位 3)检查各事件发生时间是否满足优先关系约束(3),如果不满足,顺次调整其他各事件的发生时间,直至 优先关系约束得到满足为止. 算法的初始温度 TEMPs、冷却速率μ、终止温度 TEMPE以及在某一给定温度下的迭代步数Nvmo 等参数均通过试验法确定 5算法测试 为了验证算法的有效性,用项目调度问题算例生成器 ProGen1随机生成的标准算例对算法进行测试. Progen生成算例时的参数设置见表1,其中,按全因素试验设计的参数有7个:项目非虚活动数N、预付款 比例γ、支付比例θ、折现率α、融资费率β、质量保证金比例η和质量保证期Q.参数N的取值为4种, 、θ、a、3、m和Q的取值均为3种,在每种参数组合下生成的算例数为10个,由此形成10×4×36=29160 个算例 如果假定承包商所拥有的自有资金量足以保证项目的顺利实施,无需从外部进行融资以保持现金流平 衡,那么本文所研究问题便退化为无融资约束的Max-npv项目调度问题.显然,后者最优解所对应的目标 函数值NPV为前者的一个上界.在此,用启发式算法获得满意解的目标函数值NPV*偏离NPVo的 相对程度RD来衡量其质量高低:RD=(NPV-NPV*)NPV喇」×100% 在BD的基础上定义如下两个启发式算法评价指标 ARD=(∑RD)I:满意解对应的目标函数值距离其上界的平均相对偏差 MRD=max{RD}:满意解对应的目标函数值距离其上界的最大相对偏差. 表1 ProGen生成算例时的参数设置 ProGon参数 取值 算例的非虚活动数N 10、20、30或40 在某一非虚活动数下生成的算例数 算例的起始和终止活动数 随机地从2、3和4中选取 最大紧前和紧后活动数 活动工期dn 随机地从区间[1,10]中生成 活动费用c 随机地从区问[10,20中生成 活动挣值vn p1Cn.其中,p1从区间[1.4,1.6中随机生成 活动费用分配比例¢ 0.5 支付事件集合Sp 支付次数从3、4和5中随机选取.其中,结東事件必为支付事件,其 余支付事件从在除开始事件之外的其他事件中随机选取 预付款比例 0.00、0.10、0.20 支付比例6 0.70、0.80、0.90 折现率a 0.006、0.010、0.014. 融资费率β 0.02、0.06、0.10 质量保证金比例n 0.06、0.10、0.14 项目截止日期D Cmax+p2.其中,p2从5、10和15中随机选取,Cmax是项目活动网 络关键路径的长度 质量保证期Q P3D.其中,P3分别取为10、1.5和2.0 第3期 何正文,等:现金流平衡约束下的 Max-npv项目调度 137 算法的计算时间用如下两个指标反映: ACT=(∑C7)/:算法获得满意解的平均计算时间; MCT=max{CTa}:算法获得满意解的最大计算时间 此外,为了评价算法的稳定性,本文还定义了如下两个评价指标 ACV=(∑CVI:满意解所对应目标函数值的平均变异系数 MCV=max{Cv}:满意解所对应目标函数值的最大变异系数 1<i<l 在上述定义中,I是标准算例集合中的测试算例个数,CT是算法求解算例a的计算时间,CV;为算例满 意解的变异系数 ∑(NPV-ENPV])2 CVA= EINPV 其中,J为算法求解算例i的总运算次数,NPV为在第j次运算中获得的满意解所对应的目标函数值, E[NPV]=÷∑NPV为J次运算所得到的满意解目标函数值的均值 模拟退火启发式算法采用 Visual basic6.0语言编程,在CPU主频为1.6GHz、內存为256MB的个人 计算机上进行测试,上界NPV?借用 Demeulemeester等2的求解无资源约束Max-np问题的精确递 归搜索算法获得.对于每个算例,算法运行100次(即,J=100).表2为算法的测试结果,从表中数据可见,算 法求解算例的平均和最大计算时间分别为8.90秒和25.26秒,满意解距离其上界的平均和最大相对偏差分 别为9.79%和239%(注:此处的上界忽略了现金流平衡约東,因而是一个松的保守上界,从而导致相对偏差 较髙),满意解的平均和最大变异系数分别为00024和0072.尽管由于本文所研究问题的特殊性,我们无 法就测试结果与其他学者的研究进行客观的比较,但从模拟退火在项目调度问题中应用的一般情况及实用角 度来看本文所开发的模拟退火启发式算法的绩效是可以接受的.此外,表2还表明随着问題规模(即算例 活动数)的增大,算法的计算时间(ACT和MCm)有所增加,而求解质量(ABD和MRD)及稳定性(ACV 和MCV)则有所下降 表3给出了不同参数设置下的算例项目平均收益.从表3中的数据可见,平均NPV*随着融资费用率 β、质量保证金比例η、质量保证期Q及折现率a的增大而下降,随着支付比例9和预付款比例y的提高而 上升.其原因初步分析如下:融资费用率反映了承包商使用外部资金的成本,它的上升意味着承包商从外部 获得资金成本的提高,因而必然导致其收益的下降;当质量保证金比例提高时,更多的合同款会被延迟到质 表2启发式算法测试结果 算例集合 ARD(%) MRD(%O ACT(秒 MCT(秒) ACV MCv V=10 5.08 11.32 3.22 6.44 0.0000 0.0000 N-20 8.77 15.56 5.35 7.60 0.0010 0.0014 N-30 9.07 19.08 11.55 14.75 0.0024 0.0072 N=40 12 23.99 1903 0.0049 0.0083 所有算例 8.90 23.99 9.79 25.26 0.0021 0.0083 表3不同参数设置下的算例平均NPv 算例平均‖算例平均‖算例平均‖算例平均‖算例平均‖算例平均 集合NPV‖集合NP“‖集合NPv‖集合NPv“‖集合NPv*集合NPV B=0.0257.4819=0.7045.721=0.002912=00662.52Q=1.0D5701a=0.0068361 =0.0652246=0.8052.23y=0.105223m=0.1052.23Q=15D52.23a=0.0105223 6=0.104687=0.905842=0.207459m=0441.72Q=20D48.56a=0.01430.58 138 系统工程理论与实践 第29卷 保期满后才支付给承包商,这使得在项目进行过程中承包商必须从外部融入更多资金以维持现金流的平衡, 从而造成其项目收益下降;在其他条件不变的情况下,质量保证金的现值会随着质量保证期的延长而下降, 进而给项目净现值造成负面影响;折现率反映资金的时问价值,折现率越高,正负现金流折扣到项目开始时 刻的现值就越小,所以项目净现值与折现率必然呈现出一种负相关关系;当支付比例上升时,承包商在每次 支付时获得的支付量增加,相应地其从外部的融资量必然会有所减少,所以其项目收益上升;预付款比例对 项目收益的影响与支付比例相似,它的提高可以使承包商在项目开始时获得更多的资金,从而提高其项目收 益 6示例 用图1所示项目算例(2对上述研究成果进行说明,各活动的挣值、工期和费用見表4.该算例的其他 参数如下:项目合同总价款U为22000活动费用在其开始和结束事件之间的分配比例为0.5,预付款比 例γ为10%,每次支付时包商累计挣值支付比例θ为0.80,业主在事件4、6、8和10上对承包商进行支 付(即SP={4.6,8,10}),折现率α为0.01,融资费用率β为0.06,质量保证金比例m为10%,质量保证期 Q为80,项目截上日期D为42 10 14 5 13 图1项目活动网络图 表4活动的挣值、工期及费用 活动编号 挣值 工期 费用 活动编号 挣值 工期 费用 1000 760 10 1500 1140 760 600 11 1500 7 1150 1800 1400 12 760 600 1800 1420 3 760 580 456789 1300 l010 14 1500 1100 100 10 770 15 1300 12 1000 1000 750 2700 2100 1000 780 1900 1520 420 320 61计算结果 利用本文所开发的模拟退火启发式算法,可以求得该项目的满意进度安排如下: *={0,15,3,5,13,21,21,33,33,39) 由计算结果可见,项目在开始(项目开始时刻记为0时刻)后的第39时刻完成;承包商在项目开始时可以获 得2200的预付款.在项目实施过程中的时刻5、21、33和39可以分别获得2316、5532、2592和7160的支 付,总量为2200的质量保证金要在第119时刻(即项目结束后的第80时刻)才能获得.此外,还可以计算出 在时刻3、13和15,承包商从业主获得的支付不足以弥补所其发生的费用,需要从外部进行融资,融资量分 别为745、1129和1090,累计需支出融资费用178.在该进度安排下,承包商的最终项目收益(即其净现值) 为1959 第3期 何正文,等:现金流平衡约束下的 Max-npv项目调度 139 62项目收益影响因素分析 为了分析融资费用率β、支付比例θ、预付款比例γ、质量保证金比例η、质量保证期Q及折现率a等 参数对项目收的影响,在其他参数不变的条件下,变动其中某一参数并求解优化模型,获得不同取值下的 项目收益见表5,据此绘制的项目收益随各参数变化曲线如图2所示 由图2可见,承包商的项目收益随着β、η、Q和a的增加单调下降,随着θ和γ的提高单调上升.根据第3 节中所建立的优化模型,我们可以分析出项目收益与这些参数之问的定量化相关关系:将目标函数式(1)左 D 边的前四项合记为Ⅱ并令y=∑[rexp(-a代入式(1)可得NPV=Il-,由此可见,在其他参 T=0 2050 2150 2000 1950 1950 1900 1850 1750 1800 50 165 0.020.040.060.080.10B 0.7000.7500.80008500.9000 (a)项目收益随融资费用率变化曲线 (b)项目收益随支付比例变化由线 NPy 2600 2300 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 00000.0500.1000.1500.200 0060.080.100.120.14n (c)项目收益随预付款比例变化曲线 (d)项目收益随质量保证金比例变化由线 NP 3100 2800 2500 2000 2200 1900 1800 1600 1700 1300 0.00600080.0100.0120.014 (e)项目收益随质量保证期变化出线 (f)项目收益随折现率变化曲线 图2项目收益随不同参数变化曲线 表5不同参数值下的项目收益 融资费率 支付比例 预付款比例质量保证金比例质量保证期 折现率 B NPV NPV NPV NPv Q NPV NPV* 0.02 2066 0.700 1651 0.000 14210.06 2402 40 2289 0.006 2845 0.03 2039 0.725 1733 0.025 1536 0.07 2293 50 2207 0.007 2599 0. 20130.75018140.05016730.08 2197 2108 0.008 2360 0.05 1990 0.775 1893 0.075 1822 0.09 2071 20300.0092162 0.0619590.80019590.10019680.101959 19590.0101959 0.0719340.82520470.12521020.111851 1904 0.011 1781 0.0819000.85021190.15022320.12173 10018460.0121620 880.87521770.175 600.13 11017860.01314 0.10 1866 0.90022480.20024980.14 1519 12017380.0141321 140 系统工程理论与实践 第29卷 数不变的条件下,NPV与融资费用率β呈负线性相关关系;约束条件式(7)决定了各次支付量pk与支付 比例θ正线性相关,而目标函数式(1)左侧第2项(即各次支付的净现值)又决定了NPV与pk正线性相 关,由此可以断定NPV与θ之间必然呈一种正线性相关关系;将目标函数式(1)左侧后4项合记为2,便 可以清楚地看出NPV与γ之间的正线性相关关系:NPV=U+2;当质量保证金比例η线性上升时,由 约束条件式(7)所决定的pk会线性下降,而质量保证金却线性上升,但是由于项目各事件的发生时间均不 会晚于其终事件的发生时间,因而各次支付的折现因子∑exp(-at)xkt一定大于质量保证金的折现因子 exp-a∑(tm)+2},所以二者的综合效果必然导致项目NPv线性下降;项目收益和质量保证期 t=EM Q之间的关系可以从日标函数式(1)边第3项mexp-a (tM)+Q|}得到,由于Q在指数项 t=EM 中,因此当其它参数不变时,项目NPV与Q之间必然呈一种负指数相关关系;与Q相类似,因为折现率a 位于式(1)左边后4项的指数中,所以它与项目收益之间也是一种负指数关系 对上述分析总结如下:承包商以净现值表示的项目收益与融资费用率β和质量保证金比例m之间存在 着负线性相关关系,与支付比例θ和预付款比例γ呈正线性相关关系,与质量保证期Q和折现率a呈负 指数相关关系.这一结论要求承包商在实际项目的实施过程中,必须努力降低其融资成本、提高其内部收益 率,同时尽量与业主协商,获得一个较高的支付比例及预付款比例,以及适当的质量保证金比例和质量保证 期,从而确保项目有一个合理的收益.最后需要指出的是,以上结论是在本文研究的假设条件以及各参数之 间不存在相互关联的基础上得到的,当参数之间存在关联关系时,情形将变得更为复杂 7结论 本文研究了现金流平衡约束下的 Max-np项目调度问题.作者首先对问题进行了界定,并指出其不同 于经典资源约束型Max-n项目调度问题的主要特征,进而提炼岀本文研究的假设条件.随后构建了问题 的非线性整数规划优化模型,通过模型中的现金流平衡约束将项目费用、支付与融资联系在一起,从而实现 了现金收支的严衡.考虑到所构建模型的组合属性,借鉴以往硏究成果并基于本文所研究问题的特点,作者 从实用角度山发设计了专门的模找退火启发式算法.用项目调度问题生成器 Progen随机生成了29160个标 准算例.在其上对启发式算法进行了计算测试,结果满意:算法的平均和最大计算时间分别为890秒和2526 秒,满意解距离其上界的平均和最大相对偏差分别为9.79%和23.99%,满意解的平均和最大变异系数分别为 0.0024和0.0072.最后,通过一个算例对研究成果进行了说明,并分析了影响项日收益的各种参数,得到如下 结论承包商以净现值表示的项日收益与融资费用率和质量保证金比例之间存在负线性相关关系,与支付比 例和预付款比例呈正线性相关关系,与质量保证期和折现率呈负指数相关关系.需要指出的是,在本文的研 究中没有考虑活动的多种执行模式、项目的奖质惩罚机制以及其他的支付方式,也没有考虑业主对项目进度 安排的影响.因此,对该问题的研究仍需进一步的深入和扩展 参考文献 1 He zw, Xu Y, Zhu s Y. 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    2019-09-20
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