论文研究-基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法.pdf

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论文研究-基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法.pdf,  在处理基于不完全数据重建的不适定反问题时, 针对预处理CQ算法存在的不足, 提出了一种近似的逐次超松弛自适应预处理矩阵选择策略. 该方法利用近似特征值矩阵在处理矩阵相乘和求逆中的优势, 将正则化与超松弛预处理方法合, 通过迭代逐次逼近预处理矩阵, 并给出了算法的自适应步长. 结合稀疏角度CT图像重建问题, 给出了算具体实现步骤, 通过仿真可以验证: 该策略可以使预处理CQ算法有较快的收敛速度; 当存在噪声时,也可以较好地通过提前停止迭代来提高重建精度. 该策略为预处理CQ算法在不完全数据重建领域的应用提供了参考.
3192 系统工程理论与实践 第34卷 梯度为 Vf(a)=A D(PQ-1)A=DA(PQ-1)Aa 由(5)生成的序列{x}为(6)的最小值问题的解 23待改进点 预处理CQ算法的基本思想是:SFP利用Ax∈Q寻找点x*∈C,设!=C∩A-l(),A-(Q)= x*∈RN|A*∈Q},U=1+A(P-D)A,其中v∈(0,2/L),从文献[12中可知U为均值算子,其不 动点满足Fi(U)=A-1(Q,则Fi(PU)=C^A1(Q) 因此.从不动点的角度出发,问题(1)可描述为*=P(Um*) 假设Ω≠,则有SFP的非空解集*,从而可得x+=Uc*.因此, A(Po-1)A3=0 式(8)左端乘以预处理矩阵D,变为 DA A"=DPoA (9) 为了加速算法的收敛,需要选取适当的D以改善A1A的条件数,F为多项式或有理函数,其维数与 din(AA)一致.且F有正的下限以满足逆的存在.D选取的一个原则是应当尽量靠近(AA)-1,最理想 的情形是D=(41A),此时预处理后的SFP已无需任何另一种方法求解,当然这是不切实际的 尽管预处理cQ算法较Q算法能够取得更快的收敛速度,但是还存在不足.在上述算法中,算法的收 敛性与D的选取密切相关,在α大于一定值的情况下,算法的收敛速度随着α的减小而逐渐加快,但是运算 结果的精度却逐渐卜降.此时,面临的一个更加严峻的问题是,在处理稀疏矩阵数据的情况卜,尤其是在利用 投影数据进行图像重建等相关问题时,AA的规模是相当大的例如仅在处理64×64大小的图像时,ATA 的维数就高达642×642,此时想要快速地计算出矩阵ATA是不容易的较简单的解决途径是利用不完全因 子分解的方法,D取AA对角线主元部分的逆,虽然这种方法能在一定程度上减小AA的条件数,但舍 弃了AA过多的信息,此时α的选取已不遵从上述规律,需要选择合适的值以补偿被抛弃的信息,而随着 图像的大小,采样次数及采样通道等条件的不同,选择较优的a是困难的,导致其收敛速度和重建结果都不 是特别理想、因此,给出D合适的选择策略,以有效解决图像重建的不完全数据问题,是预处理CQ算法的 待改进之处 3基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法 对于确定合适的预处理矩阵D以方便处理稀疏矩阵数据,本文提出先对A1A正则化,利用迭代近似的 方法逐步求取其近似特征值,再通过超松弛方法及相关变换来确定D,同时保证算法步长具备自适应性 3.1近似逐次超松弛预处理方法 CQ算法处理的是非线性间题.在式(8)及其前提条件下,可以从不动点的角度得出 AAa*=APQ Aa,xECnA-(Q (10) 将(10)表示为 a r b 其中,A=4TA.b= ATPQA*,系数矩阵A是对称的 在基于不完仝数据进行信号重构或图像重建的情况下,例如在进行稀疏角度的CT图像重建时,A一般 是病态的稀疏矩阵,A对角线上的元素aa(=1,2,…,N)不一定全部非零.为了加快迭代速度,若要使用 逐次超松弛(SOR)方法对式(11)进行处理,首先需要对A正则化.此时,设!gRN,在(11)两边分别加 上a*,则有 Ar=(A+D)a'=b+a=b (12) 此时,新的系数矩阵A的对角线元素a≠0(=1,2,…,N).存在可逆矩阵P∈RN,使得 AP= diagaM 入 对式(12),两端乘以P-,再设x*=P,x∈R,A为A任一特征值,有PAP=B=P-1b= P-1P,i=1,2,…,N.因此,可得: 第12期 王培元,等:基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法 3193 设m∈RN为第k次迭代的结果,c不一定在Ω中,再考虑实际问题中存在噪声.此时由(12)所表述 的回题是非线性的,可重新表述如下 b= A Po A 15) 从(13)可知A与B是相似的,由(14)及(15)给出第k步时A任一特征值的近似的逐次求解方式 (A PQAa)i+a' =1,2, 此时,可利用上述结果及逐次超松地(SOR)方法解决(12),近似方法为 1-(1-)xk+vB-1b 利用双步法的迭代过程如下 k+1/2 (B-1b-:k) xh+1=xk+12+(B-1b-xk+1/2 其中v∈(0,2)为松弛因子,将(16)的第一式代入第二式,得 B k+1 71(2-m C)=(A PQA+ak)-Bxk 另外,由于A的相似形B (A PQ Ax"+a)-Baaa(sc-a 18 对比(17)和(18),令(17)式左端的矩阵作为A的近似,因此可以得到AA的一个近似的逐次超松弛预处 理矩阵: B M (2 Mii= (A PQAm )i+m (20) 2 在(20)中,由于在迭代过程的初始阶段,w的值与x的偏差是较大的,若预处理矩阵取上述形式,初 始偏差对计算效率的影响较大,下面进一步对逐次超松弛预处理矩阵M进行优化.在式⑧8)及其前提条件 下,口(9)可得 MA Ax=MPoAx (21) 令D=M12.则(21)可写成 M1/2ATAM1/2M 1/2x*=M1/2ATAx-M1/2PoAx 因此可得 Vf(a)=DA(I- PQ)A=0 所以、可以得到逐次超松弛预处理矩阵D为 B D (23) 或 D 2=1,2,… (24) 32算法的自适应性 在CQ算法中,步长因子?的选择对算法收敛速度的影响是非常重要的CQ算法的收敛速度取决于步 长因子γ趋于零点的速度在不考虑步长因子γ自适应性的情况下,通常取γ为一定值,这也是CQ算法 在实际执行时收敛速度较慢的一个主要原因例如,在上一节的预处理CQ算法中,通过文献中给出的L 的近似计算方法,在算法执行时,可以近似地取=2*(L+a)/L. 3194 系统工程理论与实践 第34卷 在应用预处理矩阵D改善AA的条件数时,若能使γ按照一定的速度趋于零,则预处理的CQ算法 能得到进一步的加速从(23)中D所给出的形式,可以近似地取第k步迭代中的k为 2 7k= D-1n=2D-1 其中,D1=(41m-1),=1,2,…,N 此时,k随不同松弛囚子的取值及D的近似特征值的不断变化而变化,使算法的特性得到了进一步 的松弛.从而使近似逐次超松弛预处理的CQ算法具备自适应性 33算法实现步骤 在利用近似逐次超松弛预处理的CQ算法解决稀疏角度的CT图像重建问题时,算法的实现的主要步 骤如下 1)利用先验值,给定初始图像c0,k-1,j-1 2)利用已知的投影数据b=PQAx*,计算?k 3)计算a)=+AD;(b1-∑1O),a计1=P(c 4)如果j=N,继续下一步:否则=j+1,返回步骤3 5)完成当次遍历后,如果满足停止条件,则停止;如果不满足,则k=k+1,返冋步骤2 4算法的正则化及优化 在使用〔Q算法解决稀疏角度的CT图像重建时,许多问题是病态的.不考虑噪声的情况下,算法解决 的是A=b的问题,此时C=R^,Q={b}.当投影数据b中掺杂噪声,并且AA有较小的特征值时,求 最小二乘解是无效的.利用本文中的近似逐次超松弛预处理CQ算法时,情况有所改观,但仍需考虑一些正 则化形式来减小噪声对重建结果的影响.例如,可以利用惩罚函数或简单的早期迭代终止准则,嵌入到CQ 算法的应用之中,此时,可以设Q={y|y-b≤]或Q={y|y-b|≤c|b m. C 中 的非负性条件可以适当放宽设E={i∈{1,2,…,M},b;≠0,b∈Q}.如果系数矩阵A中的行号不是 E中的值,则移除此行,此时A变换为一个新的矩阵G,则系数矩阵A的性态得以改善.同时也将b中相 应的零元素剔除 在计算的过程中,系数矩阵及投影数据的值是以三元组的形式存放在采用串行的计算方式时,由于图像 向量的高维特征,是无法直接进行矩阵与向量的运算的.此时,采用单个计算向量中元素的;(=1,2,,N) 的方式,来计算向量c,在计算完所有的c为一次迭代过程,此时重建的结果得到一次更新.这里提出的优 化策略是:在计算一个m;后,即进行一次向量x的更新,然后利用已经更新的向量x的信息计算下一个c; 另外、可以使用多线程访问共享内存的方式进行并行运算,以此来提高算法运算的时间效率 5仿真实验 为了验证本文中的近似逐次超松弛预处理CQ算法的性能,本节结合稀疏角度的CT图像重建问题,将 其转化为分裂可行性问题,并利用所提出的算法进行了仿真实验 51问题描述及转化 针对稀疏角度的CT图像重建问题,为了建立分裂的凸集C和Q,首先把图像离散化,见图1 将像素霆(=1,2,…,N)按照从左到右,从上到下的顺序拼接成一个向量x.b=(b1,b2,…,bn) 为射线的投影数据.AMxN是系数矩阵,矩阵A的元素a代表第j个像素对第讠个投影值的贡献,也就是 待重建物体的各点吸收系数.在仿真中,这个系数可以近似取投影射线在该像素内所截取线段的长度.另外, 釆用扇形束稀疏角度投影模型,见图2.定义扇形束的中心距离为d,每个角度射线的通道数为m,像素的总 数为N,2丌角度内稀疏投影次数为K,全部通道数M=m×K 此时,稀疏角度C冖图像重建问题可以转化成分裂可行性问题.求解SFP等价于寻找属于Q和A(C) {Ac∈C}的交集,或A(Q)和C的交集的元素.于是可以将CT图像重建间题转化成分裂可行性问题 表述如下:定义A=a1≤M为非零稀疏M×N阶矩阵包含K个角度所有射线经过每个像素的线段 长度值:定义C={x∈RN0≤x;<1,1≤i<N},为吸收系数空间或图像向量空间:定义Q={b},为 第12期 王培元,等:基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法 3195 投影数据空间若考虑噪声,则Az∈R(A)(4),当PA(cAa∈A(C)时,Aa∈Q,式(6)有解重建 问题即扫描后通过系数矩阵A的变换,从投影数据空间Q,寻找满足图像向量空间C的图像. domain X-ray soruce 23 ith rav Image pixel detectors 图2扇形束稀疏角度扫描模型 图1图像重建的离散模型 52停止准则及评价指标 在实验中,需要规定实用的停止准则以有效地终止算法的迭代过程通常采用的停止准则是|ck+1-xk‖ ≤ε或|∫(xk)-∫(xk+1)≤e,但有些情况卜是不适当的.例如,有时虽然‖k+1-ckl达到一定的极小值, 但f(xk)-∫(xk+1)仍较大,有时也会出现相反的情形.在本文的算法中,若要使用目标函数(3)和(6)作 为停止准则的元索,还需要计算矩阵D,无疑会增加算法运算的复杂度.因此,在本文中选用(4)和(7)作为 停止准则的参考元素,给出了如下停止准则 Jak+1-ak/ck<E1 V∫(mk+1川‖<c 为了对重建效果进行客观评价,实验中采用均方误差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)作为定量评价的标 准.MSF用来评价处理后图像与源图像之间的差异程度,MSF值越小,表明重建效果越好;PSNR反映的是 重建前后噪声是否得到有效抑制,PSNR值越大说明去噪效果越好[1.二者分别如下定义 MSE=Nlzk-I'l, PSNR=10 logIo MSE 其中,R是图像中灰度取值的范围,对8比特的灰度图像而言R=255 53实验结果及分析 实验采用软件 Matlab r201lb( Windows)进行仿真.程序运行环境的PC主机配置是:1.98G内存,英 持尔耷腾G630双核处理器,频率为2.69GHz.选择公认的S-L( Shepp- Logan)模型为实验对象,因分辨率 高低的选取除了影响PC机运行时间外,并不影响对算法性能的验证,因此选用64×64大小的模型,其像素 值范围为0~1,并设2丌角度内稀疏投影次数为K=36,射线数为m=95,中心距离d=-60,初始值为 o=0.2]1×x.在仿真过程中,射线编号,像素编号及投影数据值等信息采用三元组存储方式. 首先.在不考虑噪声的情况下,验证两种预处理方法与CQ算法相比的收敛速度.设参数ε1=10-3, 2=10-2,按照式(26)的停准则基于不完全因子分解的预处理CQ算法与基于近似逐次超松弛预处理 的自适应CQ算法的重建结果分别见表1和表2 表1不完全因子分解法的收敛数据 L 30 40 60 80 100 120 140 160 400 1200 496 154 124 43 MSE0.00070.00050.00060.00070.0009 0. 00110.00120.00140.00300.0068 表2近似逐次超松弛预处理法的收敛数据 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 138 137 42 MSE0.00100.00100.00100.00100.00100.00110.00110.00110.00110.0011 3196 系统工程理论与实践 第34卷 从表1与表2可以看出,两种方法若要达到相同的MSE=0.011,利用近似逐次超松弛预处理法仅需要 42步迭代,而不完仝因子分解法则需要124步迭代.但是、对于取定步长的CQ算法,需要8418步迭代才会 达到相同的误差精度,且远远无法满足(26)的第二停止准则,即收敛速度太慢.在表1中,当试凑的补偿因 子α小于120时,迭代次数是随着α的减小而逐渐增大的(因为迭代次数的增加,重建精度自然随之增大 但是在α减小到30以下时,算法的收敛速度变得相当缓慢甚至不再收敛.而且误差开始变大,这是因为此时 α的值已经不能补偿AA矩阵因不完全因子分解而舍弃的信息:当α大于120时,迭代次数是随a的增 大而逐渐减小的,所以其重建精度自然也随之变差.在表2中,只需要在[1,2)上逐渐增大松弛因子v,或 在(0,1)上逐渐减小ω都能使重建误差在基本保持不变的情况下加快算法的收敛速度,可见基于近似逐次 超松弛预处理的白适应CQ算法的鲁棒性非常好. 图3更直观地将两种预处理方法与CQ算法在40步迭代内的MSE曲线进行了比较.从图中可以看出, cQ算法的MSE值明显大于预处理方法的值.不完全因子分解法的收敛速度则随补偿因子的增大而变慢. 近似逐次超松弛预处理法的MSE最小、且收敛速度最快.因此,可以得岀预处理CQ算法明显优于CQ算 法,而基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法能够达到最好的重建效果 -CQ算法 个完全因子法Q=120 不完全因子法a=1200 不完全因子法a=40 近似逐次超松弛预处理法 C.035 003 002 0.015 , 迭代次数 图3不同CQ类算法MSE对比曲线 其次.在考虑噪声的情况下,验证两种预处理方法卜算法的重建效果.在投影数据中添加均值为θ的 Speckle乘性噪声,在两种方法中分别取a=120,=1.9,图4的(a),(b)和(c)给出了分别在1%,3%和 5%噪声的情况下,两种方法迭代200次的PSNR曲线的对比图. 70 m666 z 64 不完全因子法 不完全因子法 不完全因子法 近似超预法 近似超预法 近似超预法 406080100120140160180200 80100120140160180200 020406080100120140160180200 图4不同噪声下峰值信噪比曲线 从图4可以发现,迭代算法对噪声的抑制与迭代次数是紧密相关的,过多的迭代次数并不能起到很好的 抑制作用、反而会出现相反的效果.在图4(a)中1%的 Speckle噪声下,基于近似逐次超松弛处理方法的 PSNR曲线在200次选代内明显高于不完全分解方法的曲线,所以在200次迭代内前者的重建结果肯定要 优于后者.图5为在1%的 Speckle噪声下重建图像第32条横截线对比图,从图中的两个尖峰处叮以看出 本文所提出的方法与原图像更契合.在图4(b)中3%的 Speckle噪声下,基于近似逐次超松弛处理方法的 PSNR曲线在大概85次迭代内明显高于不完全分解方法的曲线,但是在85次迭代以后,后者的曲线又逐渐 高于前者.图6中明显可以看出在200次迭代下基于不完全分解的方法的结果比本文提出的方法与原图像 更契合.在图4()中5%的 Speckle噪声下,两种方法的PSNR曲线在35次迭代左右同样出现上述现象 出现上述状况的原因是在式(24)中包含有PQAx项,当存在噪声对投影测量值进行污染时,PQAx即 表示含有噪声的投影数据.因此,在迭代次数不断增加的时侯,PQAx项中噪声因素不断地传播到重建结果 第12期 王培元,等:基于近似逐次超松弛预处理的自适应CQ算法 3197 中,自然导致重建效率的下降.其实,图4(a)中在1%的 Speckle噪声下的基于近似逐次超松弛预处理方法 的PSNR曲线在100次迭代以后已经开始出现下降的趋势,只是由于此时含有噪声较少,PA项中噪声 因素的影响也不那么明显.图7为借鉴前面的分析在5%的 Speckle噪声下仅迭代10步的重建结果与原图 像第32条横截线对比图,从图中的尖峰处可以看出本文所提出的方法明显优于不完全因子分解的方法,但 是由于过早停止迭代,虽然对噪声起到了一定的抑制作用,但并不能完全忽视噪声传播的影响,如在第50列 像素左右出现较大杂波.因此,可以得出在应用PAx项计算预处理矩阵时,解决上述问题最直接的方法就 是提前停止迭代.为保持图像具有均匀的分辨率,更有效的方法是在迭代重建前对投影数据进行滤波(前滤 波)或迭代重建完成后对图像进行滤波(后滤波),但这已经超出本文所要讨论的范围 %o noise 原图像 0.93%noise 為图像 近似超松弛预处理法 不完全分解沄 不亢全因子分解法 0.8 近似超预法 08 撇的 撇0. 03 0.1 10 第32横截线像素 第32横截线像素点位置 图5第32横截线在200次迭代和1%噪声下对比图 图6第32横截线在200次迭代和3%噪声下对比图 165 原图像 一不完全分解法 3%噪声 0.8 近似超预法 155 5%噪声 0.6 0.5 0 0 125 0L。息 120140160180200 第32横截线像素点位置 迭代次数 图7第32横截线在10次迭代和5%噪声下对比图 图8不同噪声条件下的步长变化曲线 最后,讨论在不同噪声条件下步长的变化情况.图8给出∫在上述三种噪声条件下,算法步长?k的变化 曲线,均是随迭代次数的增加呈下降的趋势,这也是基于近似逐次超松弛预处理方法收敛速度在一定条件下 大于不完全因子方法的另一个重要原因.有趣的是,图8中的步长下降率是随噪声的增加而增大的,这表明 随着噪声的増加,重建结果含噪声分量乜逐渐増加,算法的收敛速度也应该随之加快,才能达到收敛状态.图 4中近似逐次超松弛预处理方法的三条PSNR曲线随噪声的增加而转弯的时间越来越早,也印证了这一点 6结论 本文给岀了一种新的Q算法预处理矩阵的选择策咯,并结合稀疏角度CT图像重建的仿真实验,验证 了所提出的方法在处理稀疏数据时的有效性.文中基于预处理CQ算法的基本思想,在不动点的角度下对可 行域中的线性关系进行正则化处理,利用迭代近似逼近的方法逐次求取其近似特征值矩阵,并以此通过超松 地预处理的方法确定了新的预处理矩阵.新的预处理矩阵不仅叮以方便地将预处理CQ算法用于处理大型 数据,而且不需要试凑矩阵的补偿因子,能够通过有规律地调节松弛因子米提高算法的收敛速度.同时,还给 出了算法的步长的一种新的形式,使其具备了自适应性.为了进一步提高算法效率,本文对算法所要解决的 图像重建问题进行了正则化,并且利用逐次代入和并行运算的方法提高了算法的执行效率.通过对稀疏投影 角度下图像重建的仿真结果进行比较,验证了所提出的策略是有效可行的,并且分析了通过控制迭代次数来 3198 系统工程理论与实践 第34卷 控制噪声的传播及其对重建结果的影响.下一步的研究工作是结合更高效的迭代格式和去噪方法,进一步提 高在进行局部放大时重建速度和精度 参考文献 1 Luang J, Ma J, Liu N, et al. Sparse angular CT reconstruction using non-local means based iterative-correction POCSJ] Computers in Biology and Medicine, 2011. 41: 195-20 2 Sezan I M, Srark H. Tomographic image reconstruction from incomplete view data by convex projections and direct fourier inversion J. IEEE Transactions on Medical Imaging, 1984, 2(3:91 98 BB] ByrueC L. A unified treatment of sone iterative algorithMs in signal processing and innage reconstruction[J]. Inverse problems. 2004. 20:103120 4 Censor Y, Elfving T, Kopf N, et al. The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems J. Inverse Problems, 2005, 21: 2071-2084 5 Byrne C L. Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problemJ. Inverse Problems 2002,18(2):441-453 6 Piana M, Bertero M. Projected Landweber method and preconditioning[J. Inverse Problems, 1997, 13: 441-463 7 Strand N. Theory and methods related to the singular-function expansion and Landweber's iteration for integral equations of the first kind J. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1974, 11: 798 8 Sanz J C, Huang TS. Unificd Hilbcrt spacc approach to iterative lcast-squarcs lincar signal restorationJ. Journal of the Optical Society of America, 1983, 73: 1455-14G5. ⑨]蔡大用,白峰杉.高等数值分析M].北京:清华大学出版社,2000 Cai Dayong, Bai Fengshan. Advance numerical analysis M. Beijing: Tsinghua University Press, 2000 10 Censor Y, Elefving T. A multi-projection algorithms using Bregman projection in a product space. Journal of Numerical Mathematics. 1994.8: 221-239 1]杨庆之,赵金玲.分裂可行问题(SFP)的投影算法[.计算数学,2006,28(2):121-132 Yang Qingzhi, Zhao Jinling. The projection-type methods for solving the split feasibility problem[J]. Mathematica Numerica Sinica, 2006, 28(2): 121-132 12 Wang F, Xu H. Approximating curve and strong convergence of the CQ algorithm for the split feasibility prob lemJ]. Journal of Inequalities and Applications, 2010, ID 102085: 1-13 13范啸涛,季光明.预优矩阵及其构造技术「J.成都理工大学学报:自然科学版,2003,30(4):432-435. Fan Xiaotao, Ji Guangming. Preconditioned matrix and its structure techniqueJ. Journal of Chengdu University of Technology: Science Technology Edition, 2003, 30(4): 432-435 14孔韦韦,雷英杰.基于直觉模糊嫡的红外图像预处理方法阿·系统工程理论与实践,2010,30(8):1484-1491 Kong Weiwei, Lei Yingjie. Technique for infrared image preprocessing based on intuitionistic fuzzy entropyJ Systems Engineering- Theory Practice, 2010, 30(8): 1484-1491

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