论文研究-植物多向生长模拟算法.pdf

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论文研究-植物多向生长模拟算法.pdf,  针对整数规划问题提出了一种以植物向光性为启发式准则的智能优化算法——植物多向生长模拟算法. 改进了植物生长激素的分配方式并将随机选择机制引入新枝生长方向的选择,更符合植物生长的自然机理. 利用马尔可夫链描述算法迭代过程,证明了算法的收敛性. 利用无约束和有约束两类具有多个全局最优解的非线性整数规划实例测试了植物多向生长模拟算法的性能,并与基本植物生
1020 系统工程理论与实践 第34卷 原有算法将新枝的生长角度定义为909,即每一次迭代中,只改变解空间中与坐标轴平行的某一个维度 上的数值这既不符合现实世界中植物的自然属性,也影响了算法的计算速度. 3植物多向生长算法 针对上述PGSA存在的不足,本文将进行以下两方面的改进,形成植物多向生长模拟算法( PMGSA) 1)改进生长激素浓度分配方式 植物系统中生长激素的浓度是根据节点所受光照条件决定的,虽然在迭代过程中并不知道光源(最优解) 的位置,但可以根据更接近光源的、迭代过程中产生的最优解决定具有生长能力的节点及其生长激素浓度,相 比原始算法这更符合植物向光性的自然机理 2)增加新的生长方向 现实世界中新枝的生长方向并非固定在某个确定的角度,而是根据其所在的位置呈现随机变化.因此, 本文将新枝的生长方向引入随机选择机制,使得算法在迭代中可增加其他的搜索方向,提高算法的全局搜索 能力 31 PMGSA主要流程 下文详细描述植物多向生长模拟算法的主要流程 对于任意一个无约束整数规划2 min f(a) x为整数向量 其中f(x)为定义在X上的连续函数,X为m维实数空问中的有界闭集,X为X中的整数集合.x1∈ a1,b1],x2∈[a2,b2],……,xn∈[an:bn],其中a1,b1,a2,b2,…,am,bn为整数 step1初始化,确定初始解和迭代步长 选择初始基点x°∈Xn,令min=m°,fm=f(x0).对于极小值求解问题,令P为能够接受光照的最 大值,即只有函数值小于F的节点才具有生长能力.令k为迭代次数,为每次迭代时的生长点,S为迭代 过程后的解空间集合,92(S)为解的个数,內取正整数、为第k次迭代的步长:初始化时,初始基点x°可作 为生长点,此时,k=0,xC=x°,S={x0},92(S)=1,步长为入0 Sep2通过生长点x产生新枝 1)垂直生长方向 根据新枝的生长角度为90°故通过x做平行于数轴的直线段,且满足有界约束,这些直线段可看做树 干然后以a°为中心,按照坐标轴的正负方向以步长截取树干上的节,记为s11(i1=1,2,…,27,1 1,2,…,m1),s,表示第1个树干上第n个节的值,mnx1表示第n1个树干上节的个数 2)随机生长方向 除了上述旋转角度外,一些物种(如葡萄)根据节所在的位置不同,可能出现与三个枝干相对称的旋转方 向,故本文可从2n个方向中随机选取3个,形成与这三个分枝对称的方向为一个新的树千,然后以x为中 心同样以步长截取树干上的节,记为sn+in(i1=1,2,…,m2n+x),根据问题规模的大小,可重复这个 过程m次,产生m个新的生长方向.值得注意的是,随机方向选择时如果破选中的3个方向中有两个是同 维度的(分别为正、负方冋)需重新进行选择、以保证不重复生成与坐标轴平行的方向 至此可获得新节点的集合S Step3保存最优解 求新产生的节的函数值,令S,q为当前具有最小函数值的节,即 p, min f( 1,2,……,3n,j1=1,2,…,ma1} 若J(sn)<Jm,则令xmin=sng,fmin=∫(sng); 若f(s)= fmin,则令xmim:=mimU{ step4计算节点生长概率 令S:=SUS,F=fmin+∑(f(s)-fmin)/(s),对于每 若F≤f(s),则P=0,S:=5\{s} 第4期 王莉,等:植物多向生长模拟算法 1021 若F>f(),则P=(F-f()/(∑(F=f() 利用F替代原始算法中的初始解,不但更符合植物向光性的自然机理,而且规避了原始算法每一次迭代 都依赖初始解的缺点,此外,保证了增加3n个新的杖干后的生长概率仍然满足∑Ps-1 s∈S Sep5选择新的生长点 产生一个随机数m∈(0,1),选择满足公式(3)的节st为新的基点生长点令x=s,k=k+1,步长 ≤+1,入为正整数,重复上述步骤 ∑P<η<∑P,t∈[l,(S) step6迭代终止 根据问题的规模和性质,可设置如下终止条件 1)达到指定的迭代次数或计算时间; 2)达到指定的计算精度 3)达到最优解倮持不变的迭代次数; 4)已经没有新枝产生; 5)上述几种情况的综合 算法流程如图1所示 随札数 初始化 选取初始解和 分配生长激素 选择新的生长 生成多向生长 步长 浓度 的新枝干 终止迭代 输出最优解 达到迭代终止条件 更新最优解 图1植物多向生长模拟算法流程 32 PMGSA收敛性分析 多方向植物生长算法在搜索过程中,新生长点的选择仅仅依赖于当前的生长点集合,因此从一个给定的 基点达到特定生长点的搜索过程的条件概率,在任何时刻都不会受到前一代产生的节点的影响,故多方向植 物生长算法的搜索过程满足马尔可夫性,本文将利用马尔可夫链对节点最优选择过程进行理论分析,得到 PMGSA收敛性方面的重要结论 由于 PMGSA的生长方向、新生长点的选择都是独立且随机进行的,其产生新一代节点时仅与当前的枝 干相关而与之前的各代解无关,即生长点具有无后效性,并且各代节点之间的转换概率与时间起点无关,因 此,可以将生长点所处的各种可能状态假设为E,它可以分为2类:一类是节点包括最优值的状态,设为Eo; 另一类是节点不包括最优值的状态,为En,它们满足下列条件: E= Eo U En Eo∩En 根据上述 PMGSA步骤的描述,其每一次迭代都可划分为三个部分.第一个是生长点的选择过程.第二 个是生长点随机选择生长方向产生新枝的过程.第三个是节点生长激素浓度的重新分配,就是解空间的选择 故每次迭代时,节点空间从某一个状态讠∈E转移至另一状态讠∈E,需经历三次选择过程,将选择的转移概 率分别记为:9,;d,j,h,其相应的随机转移矩阵为G={9,},D={d,},H={h;},则 DPGSA算法的 生长点状态变换矩阵为P=D.G.H={p} 由上述 PMGSA迭代过程可知,生长点选择过程的转移概率9,>0,而且生长方向选择产生的转移概 率d1,>0,而在节点生长激素重新分配的过程中,需计算节点的函数值,当F≤f(s)时,节点的生长概率为 P=0,S:=S\{8},此时得到的节点生长激索分配的转移概率为h=0;易知当F>f()时,节点的生长 概率为P。=(F-f(s)/(∑(F-f(s).故转移概率变为h;>0 1022 系统工程理论与实践 第34卷 由此可知节点空间序列构成的齐次 Markov链{S(k),k>0},具有如下性质 S(k)=S(0)·(P S(k)-∑S1(0)·(P,),k-1,2, i∈E 此前我们假设节点集合状态中包含最优生长点的状态为E0,不包含最优生长点的状态为En,则该随机 过程的状态转移概率为 p;;>0,2∈E,∈E (8) p,=0,t∈Eo,j∈E 故对于Y∈E,j∈En,总存在一个正整数M,使得当迭代次数k>M时,(P,)→0成立,故得到 以下结论: iS()-hm∑50)(m (10) 当迭代次数k>M时,节点集合不包括最优生长点的概率为0,所以算法总能够以概率1找到最优生 长点,即算法总能够以概窣Ⅰ找到最优解,M的取偵可根据规划间题的性质和规模确定,因此本文可得岀定 理 定理1针对不同的非线性鳘数规划问题,总存在一个正整数M,使得当迭代次数k>M时, PMGSA 收敛于最优解的概率为1. 4算例分析 本文对有约束和无约束两类非线性整数规划进行了实例分析,以验证 PMGSA具有更好的全局收敛性 和收敛速度 4.1算例1 求解无约束非线性整数规划问题: f(m)=mi∑(x4-492) st.|x;|≤5,x;为整数 文献9利用改进的填充函数法对m=2和η=4的情况进行求解,迭代次数分别为57次和265次, 其算法过程决定了最优解的个数为1.文献[2利用PGSA对=3的情况进行求解,经过51次迭代之后得 到3个全局最优解:x*={(-1,-1,1),(1,1,1),(-1,1,1)}.而 PMGSA绎过10次迭代得到8个全局最优解, x*={(1,-1,-1),(-1,-1,-1),(-1,1,1).(-1,-1,1),(1,1,-1),(-1,1,-1),(1,1,1),(1,-1,1)},其生长过程 如图2所示,迭代过程见表1. 3.5 2 15 05 图2无约束整数规划植物多向生长图 图3有约束整数规划植物多向生长图 第4期 王莉,等:植物多向生长模拟算法 1023 表1算例1的迭代过程 步骤生长点 日标生长概卒解空间随机数步骤生长点 目标生长概率解空间随机数 0 0.0.0 0.00 1.0000 1.0000 2.2.2 10.800.0811 0.5000 2,2,2 10.800.20000.20000.6156 2,2,-210.800.08110.5811 10.800.2000 0.4000 2,-2,-2-10.800.08110.6622 2,-2.-2-10.800.20000.6000 1,0,0 3.900.02930.6911 2.0.0 3.600.06670.6667 1,0,0 3.900.0293 0.7207 2,0,0 3.600.06670.7333 0,1,0 -3.900.02930.7500 0,2,0 3.600.06670.8000 0,-1,0 3.900.02930.7793 0,-2,0 3.600.06670.8667 0,0,1 3.900.02930.8086 0,0,2 3.600.06670.9333 0.0.-1 3.900.02930.8378 0,0,-2 3.600.06671.0000 2,0,0 3.600.02700.8649 2.-2.2 0.800.14290.14290.2760 2,0,03.600.02700.8919 2,-2,-2 10.800.1429 0.2857 0,2,0 3.600.02700.9189 10.800.1429 0.4286 O,-2,0 3.600.02700.9459 2,2,-2-10.800.14290.5714 0.0,.2 3.600.0270 0.9730 2,-22-2-10.800.14290. 0.0,-2 .600.02701.0000 2,0,0 3.600.04760.7619 1,1,1 11.700.07470.07470.4786 2,0,0 3.600.04760.8095 1.-1.-1 11.700.0747 0.1494 0,2,0 3.600.04760.8571 1,1,-1 -11.700.07470.2241 0,-2,0 3.600.04760.9048 ,-1,-1-11.700.074702989 0,0,2 3.600.04760.9524 2,2,-2 10.800.069003678 0,0.-2 3.600.04761.0000 -2,-2,2-10.800.06900.4368 2, 10.800.12500.12500.3144 2.-2.-2 10.800.0690 0.5057 2,-2.2-10.800.12500.2500 2,2,2 10.800.06900.5747 2,-2,-210.800.12500.3750 2,2,-2 10.800.06900.6437 10.800.1250 0.5000 2,-2,-2-10.800.06900.7126 -2.2.-2-10.800.12500.6250 1,0,0 3.900.0249 0.7375 2,-2.-2-10.800.12500.7500 1,0,0 3.900.02490.7625 2.0.0 -3.600.04170.7917 0,1,0 3.900.02490.7874 2.0.0 3.600.0417 0.8333 0.-1.0 3.900.02490.8123 0,2,0 3.600.04170.8750 0,0,1 3.900.0249 0.8372 0,-2,0 3.600.04170.9167 0,0 3.900.02490.8621 0,0,2 3.600.04l7 0.9583 2,0,0 -3.600.0230 0.885⊥ 0.0.-2 3.600.04171.0000 2,0,0 3.600.02300.9080 2,-2 10.800.12500.12500.229 O,2,0 3.600.0230 0.9:310 10.800.12500.2500 3.600.02300.9540 2,-2,-2 10.800.12500.3750 0,0,2 3.600.02300.9770 10.800.12500.5000 0.0,-2 3.600.0230 1.0000 2,2,-2-10.800.12500.6250 2,-2.-2-10.800.12500.7500 01,-1,1 11.700.05750.0575 3.600.04170.7917 1.1.1 11.700.05750.1150 2,0,0 3.600.04170.8333 1.-1.1 11.700.05750.1726 0,2,0 3.600.04170.8750 1,1,-1-11.700.05750.2301 0,-2,0 3.600.04170.9167 1,1,1 11.700.05750.2876 0,0,2 3.600.04170.9583 1,-1,-1 11.700.0575 0.3451 0,0.-2 3.600.041710000 1.1,-1 11.700.0575 0.4027 -11700.08780.08780.1213 1,-1,-1-11.700.05750.4602 1.-1-11.700.08780.1757 2,2,-2 10.800.0531 2,2,-2 10.800.08110.2568 2,-2,2-10.800.05310.5664 2.-2.2 10.800.0811 0.3378 2.-2.-2 10.800.08110.4189 0,0,-2 3.600.01771.0000 1024 系统工程理论与实践 第34卷 42算例2 求解有约束非线性整数规划问题 f(x)=min(x1-1)2+(x2-2)2+(x34) +x2+3≤3.5 ≤6 (13) 1,E2,x3>0,x;为整数 文献②20利用改进的罚函数法进行求解,最终得到的2个全局最优解为m*={(1,1,3),(2,2,3)}.文 献2利用PGSA进行求解,经过37次迭代之后得到3个全局最优解:x*={(2,1,4),(1,1,3),(2,2,3)}.而 PMGSA经过8次迭代即可得到三个最优解.其生长过程如图3所示,迭代过程见表2 表2算例2的迭代过程 步骤生长点目标生长概率解空间随机数步骤生长点目标生长概率解空间随机数 0 0,0,00 0.1.26 0.0096 0.9807 0,0,36 110 0.8098 2.0.36 0.0096 0.9903 2,2,25 0.4722 0,0,36 0.0096 0.0.36 0.3888 0.8611 0.2857 0.28570.8659 0,0,29 0.1388 1 2,2,3 0.2857 0.5714 2,2,32 0.4615 0.46150.7173 1.2.24 0.1428 0.7142 2,2,25 0.23070.6923 1,0,44 0.1428 0.8571 2,0,36 0.1538 0.8161 1,0,35 0.0714 0.9285 0.0.36 0.1538 1 0.0714 1 0.3913 0.3913 1,1,32 0.34990.34990.0484 1,0,44 0.2173 0.6086 9570 2.2.32 0.3499 0.6999 1,0,35 0.1304 0.7391 2,1,33 0.2 0.8999 0.1304 0.8695 1.2.24 0.05 0.95 0.0434 0.913 1,0,44 0.05 2,0, 0.04.34 0.9565 2,1,42 0.2232 0.2232 0.0.36 0.0434 1,1,2 0.2232 0.4464 l.1.2 0.317:0.317 2,2,2 02232 0.6696 0.3173 0.63460.5182 2,1,33 0.1428 0.8124 1,0,440.16340.798 3,2,44 0.0624 0.8749 1,0,35 0.08650.8846 1,2,24 0.0624 0.9374 2,2,250.08650.9711 1.0.44 0.0624 43算例3 求解有约束非线性整数规划问题 f(x)=minx2+2x2+x3+2x2-27ax1-31x2-413-34x4 x12+2x2+2x3+x-x1+x2-3≤61 2x1-3n2+3g+4 2x3+m4≤90 (14 +22+2:c∠+2 0≤xz≥20.,2=1.2,……,4,x;为整数 文献[21]首先利用改进的遗传算法搜索离散的局部最优解.然后将这些解作为初始点,再利用填充函数 法寻找更好的局鄙最优解,最终得到全局最优解为:x*={(3,4,3,2),日标函数为338.文献22利用其 改进的植物生长模拟算法进行求解,经过33次迭代同样得到上述解.而本文利用 PMGSA经过22次迭代 可得到两个更优的解x*={(2,1,5,3)}和x*={(2.2,5,2)},目标函数值分别为-343和-344.迭代过程见 表3 上述三个算例的计算结果汇总于表4 第4期 王莉,等:植物多向生长模拟算法 1025 表3算例3的迭代过程 步骤生长点日标生长概率解空间随机数步骤生长点目标生长概卒解空间随机数 0,2,2,.21920.4240.44240.3796 0,0,0,3-840.0365 0.8774 0,0,2.0780.17970.6221 0,0,2,0-780.03390.9113 0,0.0.2600.13820.7604 0,0,0.2 00.0261 0.9374 0,2,0.0540.12140.8818 0,2,0,0-540.0235 0.9609 2,0,0,0-500.1152 1.0000 2,0,0,0-500.0217 0.9826 0,2,2.2-1920.3569 0.35690.8759 0,0,1,0-400.01741.0000 2,2,0.01040.1933 0.5502 2,2,3,0-2180.05320.05320.9699 0,0,2,0-780.14500.6952 2,2,2,1-2140.05220.1054 0,0,0.2-600.1115 0.8067 3,2,2,0-2040.0498 0.1552 0,2,0.0540.1004 0.9071 2,3,2,02030.04950.2047 2,0,0.0-500.09291.0000 2,0,4,0-1980.04830.2531 0,2,2,2-1920.1912 0.19120.3968 2,3,1,1-1970.04810.3011 ,2,2.0-1320.13150.3227 0,2,2,2-1920.0469 .348(0 2,0,2.0-1280.1275 0.4502 2,0,2,2-1880.0459 0.3939 0,2,0.2-1140.11350 2,2,2,0-1820.04440.4383 2,2,0.0-1040.10360.0673 4,0,2,0-1700.04150.4797 0,4,0.0920.0916 0.7590 1.1.3.0-16900412 0.5210 0,0,2.0-780.07770.8367 1,2,2,0-1580.03860.595 0,0.0.2 00.0598 0.8964 2,1,2,0-1570.03830.5979 0,2,0.0-540.05380 2,2,1,0-1440.0351 0.6330 2,0,0.0-500.0498 1.0000 1.1.2.0 1330.0325 0.6654 2,0,4,0-1980.10840.10840.9025 0,2,2,0-1320.03220.6977 0,2,2,2-1920.10510.21 0,2,0-1280.03120.7289 2,0,2,2-1880.10300.3165 0,0,3,0-1140.02780.7567 2,2,2.0-1820.09970.4162 0,2,0,2-1140.0278 0.7815 4,0,2.0-1700.0931 0.5093 0,0,2,1-1100.02680.8114 0,2,2.0-1320.07230.5816 0,1,2,0-1070.02610.8375 2,0,2,0-1280.0701 0.6517 1,0,2,0-1040.02540.8629 0,2,0.2-140.06240.7141 2,2,0,0-1040.0254 0.8882 2,2,0.0-1040.0570 0.7711 0,4,0,0-920.0224 0.9107 0,4,0.0920.05040 0,0,0,3840.02050.9312 0,0,0.3-840.04600.8675 0,0,2,0-780.0190 0.9502 0,0,2,0-780.04270.9102 0,0,0,2-600.01460.9649 0,0,0.2-600.0329 0.9430 0),2,0.,0-540.0132 0.9780 0,2,0.0540.02960.9726 2,0,0,0-500.01220.9902 2,0,0.0-500.0)2741.0000 0,0,1,0-400.009810000 5 2,0,4,0-1980.0860 0.08600.2686 0,2,2.2-1920.08340.1695 3200.0181 0.01810.1842 2,0,2.2-1880.08170.2512 2,1,5,2-3190.01810.0362 2,2,2.0-1820.07910.3303 2,1,5,1-2910.01650.0527 4,0,2.0-1700.07390.404 2,1,4,2-2870.0163 0.0689 0,2,2.0-1320.05740.4615 2,2,5,0-2840.0161 0.0850 2,0,2,0-1280.05560.5172 0,0,3.0-1140.04950.567 0,1,0,0 90.0016 1.0000 0,2,0,2-1140.04950.6163 222,2,5,23440.01790.0179 0,0,2,1-1100.01780.6611 2,1,5,3-3130.0178 0.0357 0,1,2,0-1070.04650.7106 3.1,4.3-3330.0173 0.0 1,0,2、0-1040.04520.7558 1,2,5,2-3200.01660.0 2,2.0.0-1040.0452 0.8010 0,4,0.0920.0400 0.8409 0,1,0,0290.0015 1.0000 1026 系统工程理论与实践 第34卷 表4计算结果对比 问题求解算法 最优值迭代次数最优解个数 算例1文献[9]的填充函数法 117大于571 献(2的植物生长模拟算法 11.751 3 PMGSA 11.710 算例2文献[20的罚函数法 222 未知 献②2]的植物生长模拟算法 37 3 PMGSA 算例3文献[21]的基于遗传算法的混合算法338未知 文献[22]的改进植物生长模拟算法 PMGSA -34422 1 5结论 模拟植物向光性原理,提出了植物多向生长模拟算法,规避了原有算法中依赖初始解进行生长激素分配 的缺点;同时枝干生长方向増加随杋选择机制,增加了迭代过程中解旳多样性.与原有植物生长模拟算法,填 充函数法、罚函数法以及基于遗传算法的混合算法相比, PMGSA的收敛速度和全局寻优能力都有∫很大改 进.今后硏究重点是将该算法应用于各工程领域,尤其针对大规模、非线性、具有多峰函数的整数规划问題 的应用 参考文献 ]李彤.基于模拟植物生长的二级整数规划算法研究[D].天津:天津大学,2005. 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