论文研究-考虑网络外部性和先行消费者效应的生产商最优定价模型.pdf

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论文研究-考虑网络外部性和先行消费者效应的生产商最优定价模型.pdf,  考虑到消费者间相互影响的网络外部性结构对于市场定价机制的影响,提出一个具有先行消费者的生产商最优定价模型,并与没有先行消费者的情形进行对比.本文从引入网络外部性的消费者效用函数的设计入手,在完全竞争和完全垄断市场结构下,详尽阐述了没有先行消费者和具有先行消费者情形下的模型构建过程,并应用多阶段博弈的模型求解方法确定最优
第3期 李永立,等:考虑网络外部性和先行消费者效应的生产商最优定价模型 667 2效用函数及市场结构 21考虑网络外部性的效用函数 根据引言中对于“网络外部性”的诠释,本文认为消费者的商品购买量(或服务使用量)会产生相互的影 响,也即一名消费者购买某种商品或服务的效用不仅仅取决于自身的效用偏好特征,还受其他消费者购买量 (或使用量)的影响.同时,考虑到购买或使用某种产品,都有着成本的支出,由此建立如下的效用函数:对于 第i个消费者,记一单位消费品的购买支出(也即购买价格)为D,则对于含有N个消费者的市场而言,第讠 个消费者的效用函数可以表示为 2-∑ 9i①j-P (1) 其中,9用以反映消费者j的购买量对于消费者i的购买量的影响.如果9x>0,意味着消费者j的购买 会对消費者讠的购买产生正向的影响,此时,表征正的外部性;如果9x<0,意味着消费者j的购买会对消 费者i的购买产生负向的影响,此时,表征负的外部性.特别地,ga=0对于所有的i∈{1,2.…,N}成立, 意味着本文不考虑具有自身反馈环的网络结构效应,因为消费者自身购买量对其效用的影响已经由式(1)等 号后面的前两项表示,也即:a;和β;反映消费者对于消费量x1的偏好参数并且满足az>0和62>0. 事实上,式(1)给出的效用函数的形式就是 Cadogan等10发表在 Operations Research上论文的形式,其 也在大量的后续研究中被广泛采用,例如: Allouch17和 Bimpikis等 然而式(1)所示的效用函数并不是唯一的形式注意到,式(1)所示的效用函数关注了一个节点的邻居 节点(或者说有链接的同伴)对其效用水平的影响,也即其关注的是“一度影响力”,这是因为其只引入了网 络的司伴效应,由9表示,实际上,其他效用函数的形式也是可能的,比如考虑两度影响力的效应因素,这 是时候需要将93k的因素引入效用函数,也即消费者k的消费量通过消费者传导到对消费者a的影响, 由此可以建立如下的效用函数 i(C12,……,N 312+∑911+∑9191;xxk-n 其参数的含义可参考式(1).然而,无独有偶,当考虑“三度影响力”(具体可参见 Christakis和 Fowler的论 著19)时,朋友的朋友的朋友的影响效应也将包括在效用函数中,这时需要引入9399的网络表示;甚至 当考虑网络的环效应时,或共同朋友效应时,效用函数都会有相应的表达形式,不一而足;具体地可参见表1 中列出的常见网络结构效应形式及其数理表达 表1常用的反映网络结构效应的形式及数理表达 图形展示网络结构效应的名称在本文中的数学表示 同伴效应 gini. 传递效应 3, k gij klik 坼效应 ,k gii gjk ki.ri k 叠加效应 , k: gij gik gjkti k 进一步,本文将以上多种潜在的网络效应形式统一表示为如下的函数f(g,x1,x2,…,xN).其中的g是 网络的影响关系矩阵,由9;唯一决定,定义式为g:=[0=1,2,…,N.进一步,以上包含各种网络效应的效 用函数表达式可以统一为 u(x1,x2,……,xN)=a;x;-:x2+f(g,x1,x2,……,xN)-pzx 具体地,在式(1)中,f(g1,a2,…,N)具体为∑19证,而在式(2)中该函数具体表示为∑19 x+∑199进k,本文后续的博弈策略讨论将建立在式(3)这个一般形式的基础上,并将在具体的算 例分析中,将其针对特定的研究问题具体化. 668 系统工程理论与实践 第38卷 22市场结构 本文讨论两种具有代表性的市场结构:完全竞争的市场结构和完全垄断的市场结构正如引言中所概述 的,其分别反应较为成熟的市场和新兴产品的市场,对于这两类典型市场结构的分析具有示范性的意义 1)完全竞争的市场结构 在完全竞争的市场结构下,认为大量的生产者存在,并提供无差异化的某种商品或服务;因此没有哪个 生产者可以提供差异化的定价方案,在这样的市场结构下,成立 Pi=p 也即,所有的消费者面对着同样的市场价格. 2)完全垄断的市场结构 在完全垄断的市场结构下,存在唯一的生产者,其可以针对市场中的不同消费者给出差异化的定价;在 这种情形下,每个消费者面临的价格;是不同的,其取决于消费者对于消费量的偏好参数,也取决于消费者 在相互影响的网络中的位置 3博弈策略及其求解方法 本文讨论两种博弈的策略,这两种博弈的区别在于是不是存在一些“先行消费者”,这类消费者是该类产 品早期的购买者,其购买行为和对商品的评论会对以后的消费者购买产生影响,影响的强度山交互影响矩阵 g表示,然而,在没有“先行消费者”的情形,各个消费者根据市场的结构,同时决定自己的购买量.注意到, 无论哪种博弈策略,生产者都将是价格的制定者,他们根据消费者旳最优反应方程¢确定价格,以期使自已 的收益最大.因此,对于没有“先行消费者”的情形,该市场的均衡问题是一个两阶段的博弈,而存在“先行 消费者”的情形,该市场的均衡问题是一个多阶段的博弈问题 31没有“先行消费者”的情形 当没有“先行消费者”时,博弈过程及变量求解顺序如下 第一步以效用函数最大化为基础,求解消费者关于厂商出价的消费量最优反应方程 具体地,在没有“先行消费者”时,所有消费者同时做岀购买量的决定.也即联立以下N个方程: 0u:(x1,x2,…,N) ax 0, 由此,可以解出消费者消费量关于厂商岀价的最优反应方程,其一般形式表示为 f1(P) 这里m:=(m1,m2…,mN)和:=(m1,m2,…,mN);特别地,当面对完全的市场结构时,价格向量p中的 所有元素都相等 第二步基于最优反应方程,求解生产者的收入最大化问题求出最优的价格向量 当不考虑生产成本时,生产者的收入函数为价格与消费量的乘积,也即求解以下的最大化问题 maxp· P 将式(6)的结果代入以上最优化问题、其成为仅含有价格变量的最优化问题,进而可以求出最优的价格向量, 记为 第三步将最优价格向量代入消费者购买量的最优反应方程,求出最优的购买量 将第二步求出的p*代入式(6),求出消费者最优的消费向量记为r*,此即为各个消费者最优的购买量 32具有“先行消费者”的情形 当具有“先行消费者”时,博弈过程及变量求解顺序如下 第一步求解“非先行消费者”对于“先行消费者”消费量和厂商岀价的消费量最优反应方程. 具体地,对于存在m个“先行消费者”的情形,这m个“先行消费者”将首先决定他们的购买量,这里不 失一般性:将标号为1到m的消费者记为“先行消费者”将他们的最优购买量记为:=(x,m,…,xmn 第3期 李永立,等:考虑网络外部性和先行消费者效应的生产商最优定价模型 669 则对于剩下的N-m个消费者,其对于“先行消费者”的消费量和厂商出价的消费量最优反应方程,可通过 求解以下联立方程组获得: um+1"m3、…, b N 0,2=m+1,m+2,…,N (8) 由此、“非先行消费者”最优反应方程的一般形式可表示为 其中 m+15m+2 rkx),表示“非先行消费者”的消费量.式(9)将其明确为定价向量p和“先 行消费者”消费向量τa的函数.特别地,当面对完全竞争的市场结构时,价格向量p中的所有元素都相等 第二步将“非先行消费者”消费量的最优反应方程代入“先行消费者”的效用函数,求解“先行消费者 的效用最大化问题,求出“先行消费者”消费量关于厂商出价的最优反应方程 具休地,将式()代入“先行消费者”的效用函数;(x)中,其中i=1,2,…,m.则“先行消费者”的效 用函数全鄙表示为先行消费者消费量c和厂商出价p的方程,也即 (a)=ui(a, f2p, a)) 这时求解最优化问题 Uli 0.讠=1.2. (11 由此联立该方程组,可以求出“先行消费者”根据厂商出价的消费量最优反应方程,记为 f3(P) 特别地,当面对完全竞争的市场结构时,价格向量p中的所有元素都相等. 第三步在得到全部消费者用厂商出价表示的反应方程后,将全部消费者的最优反应方程代入生产者的 收入函数中,求解生产者的收入最大化问题,求出最优的价格向量. 式(12)已经得到了“先行消费者”用厂商出价表示的最优消费量的反应方程,将式(12)代入到式(9) 中,可以得到“非先行消费者”用厂商出价表示的最优消费量的反应方程,具体为 x=2(,f3(p) 于是,这一步求解以下的最大化问题 m ap P 14 也即: maxp (14b) 将式(12)和式(13)的结果代入以上最优化可题,其成为仅含有价格变量的最优化问题,进而可以求出最优 的价格向量,记为p 第四步将最优价格向量代λ消费者购买量的最优反应方程,求岀各类消费者最优的购买量. 将第三步求出的p*分别代入式(12)和式(13),对应求出两种类型的消费者最优的消费向量,记为x 和 4模型的理论结果 为∫具体化以上的求解过程和分析步骤,本文以式(1)中给出的效用函数为基础,分别求解在不同的市 场结构下和有无先行消费者的情形下,最优的价格策略以及最优的消费量.为了保证解的存在性,首先给出 如下的参数取值的两个前提假设 假设1对于交互影响矩阵g中的任意元素g;而言,令其取值范围为[-1,1,以反映消费者之间的影 响强度 回顾本文式(1)给出的效用函数.9反映了消费者j的购买量对于消费者讠的购买量的影响,这里的假 设对这一影响进行一个程度的限制,将其限定在-1到1的闭区间上.事实上,这一假设可以视为对影响强 度的一个归一化处理,有助于进一步给出参数的取值范围.给出理论解存在的充分条件 670 系统工程理论与实践 第38卷 假设2对于所有的i∈{1,2,…,N},假设消费者的偏好参数a;>0和>N-1 进一步回顾本文式(1)给出的效用函数,a反映了消费者a对于商品的喜好程度,考虑到本文分析的商 品是一种正常的商品,其被消费者正常接纳,因此假设该参数a;>0:β2反映了效用边际递减的规律,也即 随着消费品数量的增加,其边际效用增加的幅度越来越小,本文中令β;>N-1,体现了一种较强的边际递 减效用,这一假设也保证了I·B-g的可逆性,可参见以下的引理1 引理1当β2>N-1时,I·G-9可逆,也即A:=[B-9]-1存在 证明根据假设1中对于消费者间影响强度的取值限定,不难发现对于任意的,∈{1,2,……,N}成立 以下不等关系:∑=19≤N-1和∑19≤N-1.则根据A2>N-1,月-9是一个严格对角占 优矩阵,其是Ⅰ·β-g可逆性的充分条件,得证 引理1事实上是理论解存在的允分条件,在以下求解的过程中,需要用到I·β-g可逆这个先决条件, 其是解存在性的保障.由此,在以上假设条件下,根据本文第3节的求解步骤,在不同的市场结构和有无先行 消费者的情境下,分别给出以下四个理论结果,分别由四个推论给出 推论1在完全竞争市场结构下,当没有“先行消费者”时,生产厂商给出的最优价格为 11T.A n=21.A.1 其中,A:=I-9-1,月:=(B1,B2,…,BN),a:=(a1,a2,…,aN),1:=(1,1,…,1),以及I是N 阶的单位矩阵.注意到,这里r是一个标量,因为在完全竞争市场下,市场仅有一个最优价格.这时,各个消 费者的最优消费量为 11.AO A 1T.A.1 证明根据3.1节的式(5),当式(1)所示的各个消费者的效用函数对消费量求导后,可以得到如下的矩 阵表达 912 Q1- p y21 2 Q2-p gN1-gN2…3 N 由此、根据推论1中的符号,消费者消费量关于生产者出价的最优反应方程为 ·B-G (18a) 也即 T=A.(-p:1 (18b) 此即为式(6)中给出的抽象函数1()的具体形式,进一步将其代入式(7)的最优化间题,其体地得到如下用 价格变量p表示的最优化问题 indx TA (c·p-1:y2 易得式(15)所示的最优价格的解,而后代入式(18b),可以求得消费者的最优消费向量,也即式(16)给出的 形式,证毕 推论2在完全垄断市场结构下,当没有“先行消费者”时,生产厂商的最优价格向量为 pt=[A+A1]-1 注意到此时厂商可以针对不同的消费者给出差异化的定价,与此同时,消费者的最优消费向量为 A-1+A 证明只需将式(1⑦)中的价格变量ρ从上至下分别以1,2,,PN替代,由此可以解出消费者消费量 关于生产者出价的最优反应方程为 I·B-G 1·(a (21) 第3期 李永立,等:考虑网络外部性和先行消费者效应的生产商最优定价模型 671 由此参照3.1节给出的求解步骤,类似于推论1中的证明求解过程.可以得到式(19)的结果,进一步将其代 入式(21)得到: ix=A.(a-[A+A2]-1.A.a)=A·(I-[A+A]1.A)a A.(A+A1-.[A+A1-A+A1]1·A)·a=A.[A+A1]1·Aa A-1+A 此即为式(20)的结论,证毕 推论3在完全竞争市场结构下,当具有“先行消费者”时,生产厂商给出的最优价格为 M.a PIII 21T.n.1 (22) 其中 Mu M121.[[r3a-(9+9 bAga)-diag( diag(g bAga)) I b M119A M21M22 ag m A+agaMug ah 以及 4 bb1-1 (23b 而各个消费者的最优消费量向量为 aSm/_I1T.M 21T.M.1 24) 证明根据32节所述的步骤,首先求解“非先行消费者”对于“先行消费者”消费量和厂商出价的消费 量最优反应方程.这时,式(8)所示的阶导数为零的关系式,其矩阵表达为 9mu+1.m+2 1 yn+1,19m+1 an+1-p 9m+2,m+1 91+2,19m+2,2……9m+2,m2 +2-P 9N,m+19N,m+2 9N,19 9N,m aN p 125 由此、可以求出N-m个“非先行消费者”对于“先行消费者”消费量的最优反应方程,也即从数学上,求出 的N-m个“非先行消费者”的最优消费量由x:=(x,x,……,xm)表示,具体用分块矩阵表示为 6b1-l b 10+ 此即为式(9)中给出的抽象函数f2()的具体形式,同时注意到:本节中的两个参数取值假设条件保障了 -g"]-的存在性这时对于a中的第j个分量x,成立 p+∑a (26) 其中4k定义为矩阵A·第i行第k列的元素同时,n和x分别表示a和m的第k个分量和第l个 分量.进一步,对于先行消费者的效用函数,其中第i个个体表示为 C ;x2+ ∑x+∑ 将式(26)代入式(27a),得到 N)=(m+∑∑4 :c2+ ∑9g+∑∑∑Ak (27b) y=1k=1l=1 根据式(11)的一阶导数为零的关系,可以进一步得到“先行消费者”关于)商出价的消費量最优反应方程: g iag(diag(gAg)](a4+g0A'a2-(g4b4·1b+1)·p)(28) 672 系统工程理论与实践 第38卷 此即为式(12)中给出的抽象函数f3()的具体形式进一步将其代入式(13),可以求出cb的表达式,由此全 体消费者最优消费量的反应方程整体可以表示为 (2 M11M12 M1M121/1 M21M2 M21M22」(1 (29) 也即 这与求解“非先行消費者”情形的式(18)有着相同的结构,只相当于将其中的矩阵A换为这里的M,由此 不难推出式(22)和式(24)的结论,证毕 推论4在完全垄断市场结构下,当具有“先行消费者”时,生产厂商给出的最优价格向量为 P=[M+M1·M.a (31) 注意到此时厂商可以针对不同的消费者给出差异化的定价,与此同时,消费者的最优消费向量为 [M-1+M T1-1 32 证明类似于推论2中将一致的价格p从上至下分别以p1,,…,pN替代的过程,进一步注意到几种 情形在数学结构上的一致性,只需将推论2中的矩阵A换为以上求得的M,即可得到这里的结论,证毕 5典型结构下的数值结果及其管理学意义 注意到现实世界中社会网络的结构纷繁多样,在将模型具体化的时候,难以全面列举,并且多种繁杂的 网络难以发现结果中规律性的结论.鉴于此,本文本着“解剖麻雀”的思想,重点研究两种类型的社会网络 结构:星形的网络结构和层次形的网络结构,以及再其基础上的衍生结构;事实上,这两种典型的网络结构可 以作为大型网络的局部构型,也即形式多样的社会网络可以视为这些基础构型的组合,在 Guimera和 Sales Pardo发表在全美科学院学报(PNAS)上的文章20,以及研究网络演化的指数随机图模型2l都应用了这 思想 51针对星形网络和层次网络基础结构的数值分析 针对如图1和图2分别所示的含有7个节点的星形网络和层次网络,令节点间的影响是对称的,并且强 度都为1.由此,这两种基础结构的网络提供了进行横向对比与纵向对比的背景.具体地,从横向对比的角度, 每一种网络都有四种情形进行对比,以期突出有无先行消费者和市场结构对于厂商收入的影响;而从纵向对 比的角度,两种网络都含有7个节点和6条边,可以比较两种网络结构在不同的市场环境下,厂商的收入差 异.为了突出网络结构的影响,这里的数值分析将所有消费者的偏好参数az和设置为一致的,由此控制 了消费者因为个体偏好原囚对“最优价格”和“最优消费向量”的影响.为了不失一般性,这甲取两组a;和 6的初值,第一组为az=1和6=7,第二组为a;=3和=15:注意到这里的取值需要满足a;>0和 β的取值使得·β-g]-1存在.虽然这两组取值不能穷尽a;和β,取值的全部范围,但是这两组取值也体 现着如下的事实:虽然厂商收入在不同的参数取值下有变化,但是其大小顺序关系没有改变,这也是本文进 行数值分析想突出的一个管理启示.具体地,应用本文第4节得到的理论结果,得到如表2所示的厂商最优 收入水平 在数值分析的前提下,也即:当各个消费者取一致的偏好参数时;通过表2的结果可以发现:1)无论在 何种市场条件下,引入先行消费者的策略都会提高厂商的收入水平:2)并不是考虑的先行消费者越多,厂商 的收入水平就越高;3)在给定的条件下,简单星形网络结构下厂商的收入水平要高于同样规模的简单层次网 络结构下的水平 进一步,这里基于简单网络结构的仿真结果可以形成如下的管理启示:在一个较为成熟的市场中,这类 市场接近于完全竞争的市场结构,厂商需要通过营销的手段去获取先行的消费者,同时可以通过改变消费者 之间相互影响的网络结构获取更多的营业收入;在一个新兴产品的市场中,这类市场更接近垄断市场的结构 厂商可以有策略地培植先行消费者而获取更多的营业收入,这些先行消费者需要合理的选择,并不是越多越 好,并且能够改造消费者间相互影响的结构也不失为一种扩大营业收入的商业策略 第3期 李永立,等:考虑网络外部性和先行消费者效应的生产商最优定价模型 673 2 3 7 5 图1含有7个节点的星形网络 图2含有7个节点的层次网络 表2两种典型网络结构下厂商收人的结果对比表 星形网络 层次树络 参数取值先行消费者元 节点1节点1,2和3无节点1节点1,2和3 完仝竞争0.35470.3774 0.3690 033730.3406 0.3447 6;=7完全垄断035470.3774 0.3690 033730.3406 0.3447 az-3完仝竞争1.20211.2106 1.2077 1.18981.1917 1.1938 ;=15完全垄断1.20211.2106 1.2077 1.18981.1917 1.1938 注:附录1中展示了当参数a;=1和=7时,所获得的在不同网络结构下和不同先行消费者的情 形下,表2中所示结果的计算过程;该计算过程主要依托于本文第4部分获得的在不同情境下的理论 结果,注意到其他的参数取值乜将具有类似的计算过程,不再赘述 52针对星形网络和层次网络行生结构的数值分析 在现实的市场环境中,完全理想的如图1所示的基础结构往往并不常见,取而代之的是如图3和图4所 示的在基础结构上的衍生结构.为了突出研究的普适性,这里将研究不对称的影响关系,图3和图4中箭头 的方向表示影响关系的方向,比如:图3中从节点1到节点2的箭头,表示节点1的购买量会对节点2的 购买量有强度为1的影响,其他的以此类推.在这一对比分析中.沿用5.1节的方法,突出结构对结果的影响, 将消费者的偏好参数取为一致的.由此,根据本文第4节的理论结果,得到了如表3所示的貝体数值分析结 果 6 5 67 图3含有7个节点的星形行生网络 图4含有7个节点的层次行生网络 表3两种行生网络结构下厂商收人的结果对比表 网络结构 星形网络 层次网络 参数取值 先行消费者无节点1节点1,2和3无节点1节点1,2和3 完全竞争0.32140.3214 0.3214 0.32940.3294 0.3294 B2=7完全垄断0.33330.333 0.3333 0.33350.3335 0.3335 3 完全竞争1.17861.1786 1.1786 1.18471.1847 1.184 B2=15完全垄断118711.1871 1.1S71 1.18711.1871 1.1871 注:类似于附录1中列出的计算过程、这里的差异在于网络结构所对应的邻接矩阵有差异,其他步骤与表 2的计算过程完全一样,应用论文本文第4部分获得的在不同情境下的理论结果,不再赘述. 674 系统工程理论与实践 第38卷 在与51节同样的前提条件下,通过表3的结果可以发现:1)在某些特定的网络结构下,无论在何种市 场条件下先行消费者策略可能也是无效的;2)不同的网终结构下,尽管有同样的节点数,同样的有问或双向 边数,厂商的收入依然存在差异,因此消费者的网络结构是影响厂商收入的重要因素之 这里的结果事实上进一步指导厂商,特别是垄断厂商,盲目地追求先行消费者策略可能是无效的,因为某 些特殊的网络结构可以淡化或者抵消先行消费者对于收入提升的作用,并且网络结构在决定收入上是更为基 础性的因素,在含有同样节点、同样边数的网络不同结构上,厂商收入是有大小差异的,这是厂商在进行营销 时不可忽略的一个重要因素 6结论及进一步的研究 在完全竞争和完全垄断的市场结构下,本文将消费者之间相互影响的网络结构引入厂商的定价模型,并 进一步讨论了先行消费者存在与否对于厂商收入的影响.在模型的求解过程中,对于没有先行消费者的情 形,首先求出先行消费者对于商价格的最优反应方程,而后以丿商收入最大化为目标函数,求出最优的定 价策略以及最优的消费量,进而确定丿商的收入水平;对于具有先行消费者的情形.引入多阶段的博弈模型, 首先求出非先行消费者对于先行消费者消费量和厂商出价的最优反应方程,而后求出先行消费者对于价格的 最优反应方程,全部代入厂商收入最大化的目标函数,解出最优的价格和最优的消费量,进而得到厂商的收入 水平.本文详尽展示了模型求解和论证的过程,并在星形网络和层次网络两种典型的网络结构上,对基础结 构和衍生结构进行了模型的应用与分析.通过数值分析,本文得到了如下的发现:消费者之间相互影响的网 络结构是决定厂商收入的重要因素,并且先行消费者的营销策略在特定的网络结构和条件下可以提高厂商收 入,特别是、在所列举的典型网络结构上,厂商釆用先行消费者策略的收入总不低于不采用该策略的收入.进 步,通过对典型结构的数值分析,对于厂商提高收入得到了如下管理启示:1)在接近于自由竞争的较为成 萬的市场结构下,厂商需要通过营销的手段去获取先行的消费者,同时可以通过改变消费者之间相互影响的 网络结构获取更多的营业收入;2)在接近完全垄断的新兴产品市场结构下.厂商也可以有策略地培植先行消 费者而获取更多的营业收入,这些先行消费者需要合理的选择,并不是越多越好,并且能够改造消费者间相 互影响的网络结构也不失为一种扩大营业收入的商业策略;3)消费者间相互影响的网络结构对于厂商的定 价和收入有着基础性的影响作用,特别是,在不同的网络结构下.尽管有同样的节点数,同样的有向或无向边 数,厂商的收入依然存在差异,因此寻求改造消费者间网络影响结构的商业策略将具有根本性的作用,会比 培植先行消费者的策略具有更广泛和更有效的作用 本文虽然在一般的意义上探讨了构建效用函数的方法,并且模型求解的结果也是一般意义上的,但是对 于更加广阔和多样的网络结构进行模型的应用和探索将成为进一步的工作不仅如此,本文的研究事实上还 引申出两类优化的问题值得进一步探索.第一,如何在一般意义的网终结构上,给出最优先行消费者或其集 合的求解方法,使得厂商能够获得最大的收入水平.第二,对于貝有相同节点数和相同边数的网络,给定先行 消费者的集合,如何确定其最优的网络结构使得厂商能够获得最大的收入水平.这两个问题的解决,对于研 究微观结构下厂商的商业策略将具有重要的意义. 参考文献 1 Rohlfs J. 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