论文研究-基于销售商努力的供应商定价和生产决策.pdf

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论文研究-基于销售商努力的供应商定价和生产决策.pdf,  销售商在帮助制造商销售产品的过程中, 通过与顾客的接触,相比制造商掌握了更加准确的需求信息, 而这些信息对制造商的生产和定价决策都有重要的影响. 另一方面,制造商的生产和定价决策又会影响顾客的需求,继而影响到销售商的行为选择. 在上述背景下,研究制造商如何通过制定产品的价格并设计合适的激励措施来激励销售商努力工作并获取真实的市场信息
第5期 陈剑,等:基于销售商努力的供应商定价和生产决策 为随机千扰ε~N(0,a2),其分布函数为F(),密度函数为f();b<0表示价格与需求之间的相关关系 为了让本文的模型有意义,假设0+bc>0.该假设表明,当制造商设定最低价格p-c时,在没有销售 努力的情况下,市场有大丁零的期望需求 本文事件发生顺序如下:1)制造商给出付酬合同并制定产品销售价格p以及初始产品生产量Q;2)销 售商决定是否接受该合同;3)如果销售商接受合同,签订合同后,制造商根据销售商签订的合同调整产品生 产量Q,并生产产品:4)销售商付出销售努力a(该努力为销售商的私有信息,制造商不能直接观察):5)双厅 观察到销售旳结果,制造商付酬.由于制造商不能直接观察到销售商的努力程度,所以对销售商的激励只能 依赖于销售的结果X,用s(X)表示销售量为ⅹ时销售商得到的报酬 根据Co1ghan和 Narasimhan12的实证研究结果,本文假设销售商是风险厌恶的,制造商是风险中性 的.那么根据事件的发生顺序,要找到制造商的最优价格、生产和付酬决策,首先需要了解销售商面临合同时 的决策 销售商付出努力a时所带来的成本用如下二次函数表示 Laffont,etal)13 V(a)=ka2/2 式中:k为正的常数.那么在合同s(X)下销售商的目标是选择最大化自己期望效用的销售努力(采用负指 数表示风险厌恶的效用函数, Holmstrom和 Milgrom)11: max EUI M T丌 其中:7。=8(X)-ka2/2为销售商的净收入,”表示销售商的风险厌恶程度,UM>0.另外,假设销售商的 保留效用为U0,不失一般地,令U0=0,只有当合同s(x)给销售商带来的期望效用大于其保留效用时,销 售商才会签订合同,即下面的条件 EUM >UC 那么,制造商在进行决策前就预测到:要让销售商接受合同,合同需要满足式(4),而销售商接受合同后会选 择满足式(3)的销售努力,即销售商对需求的影响.在这样的约束下,制造商进行价格p、生产量Q以及付 酬函数s(X)的决策以实现期望利润的最大化 maX E 丌M p,, 8( 其中:丌M为制造商的利润,+=max{,0} X-S(X)-cQ+v(Q-X)t-c(X-Q) 3信息对称情况下的最优合同 信息对称指在合同签订前,制造商和销售商对市场状态信息的了解是相同的,并且制造商可直接观测到 销售商的行动α.因此,他可以根据观测到的销售努力对销售商实行奖惩,就是说,激励合同可以直接建立在 行动α上,从而,激励合同只需满足式(4)就可以让销售商选择签订合同.由于制造商可以设计任意的强 制合同”( Forcing contract}:如果销售商釆取的努力不低于合可中规定的最小努力ασ,那么制造商将付销售 商报酬(a)=0*,否则制造商将付销售商”=0.Rccs4已经证明在信息对称情况下,当制造商风险中 性,销售商风险厌恶时,最优的付酬与销售量无关.因此,在“强制合同”中,制造商可以采用固定工资的付酬 机制来实现其利润最大化的目的 考虑在固定工资下,式(4)可重新表示为 > ke 0(a 其中w(a)表示给定销售商的努力程度a,制造商需要支付的最低工资.用wo(u)来代替式(5)中的(X) 那么制造商的目标就是找到这样的最小努力ω,让销售商可以接受该合同.同时由于制造商与销售商之间 信息对称,销售商签订合同后并不会带给制造商任何新的信息,因此在销售商签订合同后,制造商也不会对 系统工程理论与实践 第29卷 其生产量进行调整,那么制造商还需要进行最优价格r和最优生产量Q♂的制定来最大化其期望利润,即式 maxp x(0+a-bp)-ka2/2- In Un-cQ a, p, qe vx(Q-8-a-bp-af (a).ac c×(+a+b+x-Q)f(m)dx Q-0-a-bp 本文仅考虑需求对价格比较敏感(-b较大)和/或销售努力需要较高成本(k较大)的情况,即:1+2kb< 定理1在信息对称情况下,制造商釆取销售价格r、生产量Q与销售商付出销售努力a形成唯一的 纳什均衡 c(1+kb)-ho Po 1+2kb Q0=6+c0+bp0+q0 0+b 1+2kb 其中F()= 证明见附录 通过定理1,得到信息对称情况下制造商制定的最优强制合同为: ln UM Ilo(a (a) V() 其中充分小,或者可以取值为0.该合同说明:制造商要求销售商选择销售努力ω,如果观测到销售商采 取销售努力α≥ω、那么制造商支付销售商w0(α8);如果制造商观测到销售商釆取销售努力a<σ,那么销 售商将得到v.由于充分小,所以该强制合同保证了销售商不会执行a<a 从定理1中发现,虽然最终销量X受到随机千扰ε的影响.但是最优产品销售价格和销售商的最优努 力并没有受到ε的影响,其原因在于信息对称且努力行为可观测的情况等同于制造商进行集中决策,为了实 现期望利润最大化,制造商将设定整个系统最优的销售价格和销售努力,对于市场的随机干扰,制造商则通 过调整生产量来应对该不确定,所以只有生产量的值与ε的分布有关.另外,式(9)还说明加急生产成本c′ 和产品残值υ对产品的销售价格和销售商的销售努力无任何影响;而加急生产成本c′越高,产品残值v越 大,制造商的生产量就越高,这也是现实中常观测到的现象 4信息不对称情况下的最优线形合同 事实上,制造商常常不能观测到销售商的努力,销售商也往往比制造商更准确∫解市场的真实市场状态, 二者之间存在着不对称的信息.因此制造商制定的付酬合同就不能直接建立在销售努力上.由 Holmstrom和 Milgrom15,当需求函数是线形、销售商效用函数为负指数时,如果制造商不能直接观察销售商的努力,其最 优的激励合同是线形的.所以本文考虑制造商的线形激励合同如下 S(X)=0+BX (11 其中δ是销售商的固定收入(与销售结果ⅹ无关),β是销售商所得到的单位提成 由于制造商不能直接观测到诮售商的努力选择a和真实市场状态θ,因此制造商需要通过设计合同s() 来诱使销售商选择他希望的努力水平.为了研究方便,本文考虑市场状态有两种的情况,分别用θ,θυ表示, 销售商明确地了解其面临的市场状态为θ还是θ,但是制造商仅仅了解市场状态有两种可能情况,并且知 道OH出现的概率为ρ,OL出现的概率为1-p.进一步为了表述方便,根据销售商面临的市场状态不同,把 销售商分为两种类型:Ⅰ类型和L类型.如果销售商的类型为Ⅱ(L,那么销售商所了解的真实市场状态为 On(n),即销售商是H类型还是L类型是与市场真实状态为H还是0一一对应的 在市场状态有两种可能的情况下,制造商有两种选择:一种是对两类销售商仅提供一种合同,称之为混 合策略( Pooling;另一种是对不同类型的销售商提供不同的合同供其选择,销售商不同的选择将反应他的类 第5期 陈剑,等:基于销售商努力的供应商定价和生产决策 型,也就反映出市场旳真实状态,制造商获取该信息进一步调整生产决策,称之为分离策略( Separating).下 面就这两种情况进行分析 在进一步分析之前,先介绍一下确定性等价的定义,当销售商的净收入y服从正态分布N(p,a2),同时 他的效用函数为负指数分布形式时,销售商的期望效用可表示为E[-e-].令CE(y)为y的确定性等价, 确定性等价的含义为:销售商从随机收λv中得到的期望效用与从确定收入CE()中得到的效用相同,也 即 rCE(y E[-e引.容易得到CE[y 41混合策略( Pooling) 制造商提供的激励合同需要满足以下两个条件:其一要让两种类型销售商都有愿望接受合同,即在该合 同下,他们得到的期望效用不低于其保留效用,满足式(4);其二销售商将选择使其期望效用最大的销售努力 即满足式(3)那么该销售努力可以由下式得到(式(3)的一阶条件) (12 由式(11),可以得到销售商的净收入 丌。=(X)-V(a)=6+(0+a+b+e)-ka2/2 由假设可知,丌。~N(6+(0+a+bp)-V(a,B2a2),又由式(3)关于销售商效用的负指数分布假设,那 么该净收入丌s的确定性等价为 CET3]=8+B(0+a+bp)-ha/2-r3202/ 由式(4)可知实现保留效用的最低净收入m的确定性等价CE(m0)=-(lnUM)/r(由UM-e-C(m。) =0得到该值),那么制造商提供的合同s(X)=δ+X要满足销售商的保留效用,就要保证CE丌。]≥CE丌。], 即式(15) 6+B6+6by (15) 其中θ=θH,Or,由于θH>θ,所以只要满足θ=θ,时即可 由于两种类型的销售商面临同一个合同,所以合同签订后,制造商并不能获得有关市场状态的新信息,对 市场需求的了解仍旧是它的市场状态分布,那么制造商在销售商签订合同后仍旧不会调整生产量,因此,他需 要优化下列问题: EpXH- + BXH-cQ+v(Q-XH+-C(Q-XH p,6,6,Q +(1-p)EXL-(6+/X)-cQ+(-XL)+-c(Q-Xn)-] st0+z+b+2-/2a2-m 定理2信息不对称情况下,制造商釆取混合策略时,制定销售价格P、生产量ρυ以及线性合同中单位 提成β,与销售商釆取销售努力ω构成唯一的贝叶斯纳什均衡(下标P表示混合的情况( Pooling) [1+kb(l+ kro )-ker pn+(1-p) 1+2kb(1+ka2) p=61 (17) B,= max(Bo. 0 其中 =-b20n+(1-0+b+2bp(On-0) 1+2kb(1+kro2) F(qn)+(1-p)F(q+m-6) 证明见附录 定理2中显示当b-6充分大时,<0,那么=0,也就是说当制造商对市场状态不了解时,制造 商的最优合同是为销售商提供固定工资.当θH-θL=0时,市场状态对制造商来说不存在不确定性,那么制 造商的最优合同是提供一个正的单位提成 42分离策略( Separating) 分离策略下,制造商为两种类型的销售商提供两种合同供其选择,制造商希望销售商在选择合同的过程 中暴露其类型,以发现市场的真实状态,并利用该信息进行生产决策.假设8H(X)=6H+6HX是制造商 6 系统工程理论与实践 第29卷 希望类型为H的销售商选择的合同,8κ(X)=δL+βrX是制造商希望类型为J的销售商选择的合同.用 (sH,H)(u(sL,L)表示类型为H(L)的销售商选择合同H()(sL(.)时得到的效用,如果销售商接受合同, 那么两种合同都要满足式(4),即: Ew(sH,H≥0,Eu(8L,D≥0 (18) 另外,接受合同的销售商都会选择满足式(3)的努力行为,即 月,/k (19) 除此之外,为了达到分离两种类型销售商的目的,制造商设定的两个合同还要保证相应类型的销售商选 择相应的合同,也就是说H类型的销售商选择8()得到的期望效用不高于选择sn()得到的期望效用,反 之亦然,那么该约束可以表示为 E[(sH,H≥Eu(SL,H)],E[(5L,L)]≥E[v(sH,L (20) 经过整理分析,上述约束(18)-(20)可重新描述如下(整理过程见定理3的证明) 2k,202=6+1m+B1bpx个 B2 OH+BHOH + BHb 6Z+6L+6r nUM (21) 2k H>β 基于式(21)类型为H的销售商对两类合同是没有偏好的,也航是说类型为H的销售商总有不暴露自 己真实类型的可能,为了达到分离两种类型销售商的目的,制造商可以把最优合同s(X)=6#+X中固 定工资部分δ调整为6+△,其中△为一无穷小的正数,这样做就进一步保证了类型为H的销售商会选 择合同sH(),而制造商做这样合同调整的最优近似决簧可以通过求解如下优化问题得到(约束为式(21) nax Elp XH(SH+BHXH-cQ+v(Q-XH+-c(Q-XHJI BH, BL,P, SH,OL, Q (22) +(1-p)EpX-(6+Xn)-Q+(Q-X1)+-c(Q-X) 定理3信息不对称情况下,制造商釆取分离策略时,制定销售价格p*,初始生产量Q以及两种线性合 同中单位提成。、,与两种类型销售商分別采取销售努力α誓。及α。构成唯一的贝叶斯纳什均衡(下 标s表示分离的情况( Separating) 1+kb(1 +kro)]-ke1 a2[p0n+(1-p)8L] 1+2b(1+k Q9=0n+aHs+bps+q% (2 。=max(。,0 C 其中 ok (BH-BL)+(C-UFQQ-8L 1+k ps-c+(C-UFQQ-0H k bp) F(q5)+(1-pF(qg+0H-OL tahs-als)= 证明见附录 对比定理2发现,不管是混合策略还是分离策略,制造商制定的最优产品销售价格是相同的,原因在于 模型中事件发生顺序的偎设:制造商同时给出激励合同和销售价格.制造商在给出产品销售价格时还没有得 到销售商的私有儐息,当销售商选择合同后,制造商得到了销售商的私有信息,那么此时制造商根据得到的 信息对其初始生产量进行调整如下: 当销售商选择合同SH(XH)时,制造商把初始生产量Q调整为生产量Qt QHs=6H+aHs+bps+qs,其中F(q) (24) 第5期 陈剑,等:基于销售商努力的供应商定价和生产决策 当销售商选择合同S(Xn)时,制造商把初始生产量Q调整为生产量Qzs Q。-01+a+bp+g,其中F(g)-2c (25) 5信息对称和不对称情况下制造商的决策分析 观察1信息对称下旳最优产品销售价格要高于在信息不对称下产品的最优产品销售价格.通过定理1 和定理2得到n>p证明见附录)信息对称时,制造商和销售商观察到的市场信息是相同的,又由制造商 可以观测到销售商的努力的假设,制造商就作为系统的决策者来制定决策,得到的是系统最优的决策.信息 不对称时制造商和销售商独立决策.v>v告诉我们在信息不对称下不管是釆取混合策略还是分离策略 都不能实现系统的最大绩效.其原因就在于,销售商有私有信息 观察2类型为酽的销售商在分离策略下要比混合策略下多付出销售努力,而类型为L的销售商正 好相反.由定理2和3,我们可以得到2≥证明见附录),即Bi/k2所k≥B/k,则 ≥吃s·制造商通过分离策略把两种类型的销售商区分开米,对类型为H的销售商给予了比混合 策略卜更高的提成,激发了类型为H的销售商多付出努力;而对类型为L的销售商给予了比混合策略下更 低的提成,所以导致类型为L的销售商付出的销售努力会降低 观察3当制造商可以准确观测市场状态,但不能观测到销售商的销售努力时,即θHA=θL=θ时,制造 商的最优线形合同和最优产品价格可以通过定理2导出,得到 c1+kb(1+ kro)-he(1+ rho (2 1+2k b(1+kro2 0+bc 3=m1(,0),其中为=一+A1+k72 那么当制造商准确了解市场但是不能观测到销售商努力的情况下,销售商的最优努力an-By/.再由 定理1,可以发现ω>α>α(证明见附录,ω是制造商既准确了解市场状态,又可以观测到销售努力时销 售商的最优努力;ωυ是制造商既不能准确了解市场状态,又不能观测到销售努力时销售商的最优努力),说明 当制造商了解到的信息越少,销售商付出的销售努力越少,系统的绩效越差. 6结论 本文的主要贡献在于考虑制造商通过产品价格来直接影响需求,又通过激劢合同影响销售商的销售努力 进而间接影响需求的市场背景,在一定的假设下,分别分析了儐息对称和不对称下,制造商最优定价决策、最 优生产决策和最优线性激励合同的设计问题.在儐息对称下,由于销售努力可以直接观察到,制造商的最优 合同是强制合同;在信息不对称下,考虑市场状态有两种,制造商可以采取混合策略和分离策略,本文分別得 出两种策略下制造商的最优线性合同:在混合策略下,制造商并不能得到有关市场的任何信息;在分离箎略 下,制造商通过提供两种合同供销售商选择,在选择过程中,销售商暴露了其私有信息,制造商利用该信息进 行生产决策,实现了供应和需求的最优匹配.接下来,本文比较了信息对称及不对称时造商和销售商的决 策,结果显示.只要制造商和销售商是各自利益最大化的追求者,二者之间存在着不对称信息,线性激励合同 就不能实现系统的最大绩效.同时,制造商了解到的信息越少,系统的绩效越差. 参考文献 1 Gonik J. Tie salesmen's bonuses to their forecasts[J]. Harvard Business Review, 1978, 56(May-June): 116-122 2 Coughlan AT Salesforce compensation: A review of MS OR advances( K//LiLien G L, Eliashberg J Handbook in Operations Research and Management Science: Marketing (Vol. 5): Amsterdam: North-Holland, 1993 611 651 3 Albers S Salesforce managcmcnt-compensation, motivation, sclcction and training//Wcitz B, Wonslcy R Handbook of Marketing, London: Sage Publications. 2002 248-266 系统工程理论与实践 第29卷 4 Albers S Sales-force management[K//Blois K Oxford Textbook of Marketing, Oxford: Oxford University Press, 2000:292317 5 Churchill G A, Ford N M, Walker O C. Sales Force Management([M]. Homewood/ Boston: Irwin, 1997: 457-520 6 Basu A, Lal R, Srinivasan V, et al. Salesforce-compensation plans: An agency theoretic perspective Marketing Science,1985,4(4):267-291. 7 Kreps D. A Course in Microeconomic Theory M. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990: 608-616 8 Basu A K, Kalyanaram G. 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Bulletin of Economic Rcscarch, 1985, 37(1):3-26 [15 Holmstrom B, Milgrom P Aggregation and linearity in the provision of intertemporal incentives[J. Econometrica 1987,55:30332 附录 定理1的证明 制造商的日标函数式(8)即是找到最优的p,a,Q来最大化期望利润rM M-P×(0+a+ CQ Q-0-C-bp (A-1) x( Q bp- m)f( d r (A+a+bp+ c-Q)f(rid. 首先需要证明p,a,Q为变量时M最大值的存在性.对mM求二阶导数的 Hessen矩阵,有, M (c-v)f(Q-6-a-bp M M ap2 apaa daap 1-b(c-0)f(Q-0-a-bp) apa aQap b(c-u)f(Q-6-a-bp k-(c-)f(Q-6-a-bp), O2丌M 02M (c-)f(Q- oQ -(!-t)f(Q--m-bp) 在满足条件1+2kb<0.0+bc>0下,容易得到丌M的 Hessen矩阵处处负定,那么也就是说存在这样 的paQ使得xM取得最大值,而最优的pa,Q在驻点处,即一阶条=0,=0,=0处得 到: 2p+(c-)F(Q-0-a-b a+6 ka-C-UF(Q-8 (Q-6 联立求解上面的三个式子,我们就得到了 (1+kb) 6+ bc 1+2kb 1+2kb 而最优的生产量为Q=θ++b+,其中F()=二 定理2的证明 第5期 陈剑,等:基于销售商努力的供应商定价和生产决策 求解制造商的目标函数式(16),最大化问题使得约束条件为等式即 In u 6+6+Bb 把(A-2)带入到式(16)中,制造商的目标即为找到最优的D,,Q最大化期望利润7M 丌M=(H++如、(121-B6+ax-2+ u(- F-bp-a)f(ar)dz C(OH+-+bp+a-Q)f(r)d. c+ Oh-n (1-p)p(L++b) 26 Q+ (Q-OL k bp- c )f(c)dx C(OL +i+bp+a-Q)f(a)d.c 与定理1的证明类似,我们首先仍然需要证明变量为p,B,Q时丌M最大值的存在性.同样我们可以得 到满足条件1+2kb<0,b+bc>0时,丌M的 Hessen矩阵处处负定(计算过程与定理1的证明相同,这里 就不重复.所以,通过一阶条件m=0,=0,m=0能够找到最优的p,,Q实现制造商期望利 润πM的最大化: +(-0(0--0) +(1-p)F(Q-b +p6n+(1-p)L B(1+rkn2)-(-)pF(Q-n-2-l)+(1-p)F(Q k C-kp(eH-0, PF(Q-OH bp +(1-p)F Q-OL 不-b 联立求解上面的三个式子,得到制造商收益最大化时最优的m,及Q c1+kb(1+bro)-ker-rk-o leh +(1-peL 1+2kb(1+ka2) max (BD,0), 其中/=-k PBH+(1-Per +bc +2bk P(BH-BL 1+2kb(1+kra2) Qp=BH+ap+bpp +p 其中pF(q)+(1-p)F(+r-6n) 定理3的证明 约束(18)-(20)可以表示为下式 +H6H+③Hbp+ IC-HL 2k2 L+ BLOH Blbp+ L+ BLeL BLbp 2k2- SoH+ BHer+ pHbp BHo IC-LH (A-3) OH+ SHOH HbP+ 2k-27A InUM IR-H OL +BLbL+BLbp+ B 2 IR-L 2h2 1)由假设>bz和>0,约束IC-H和约束R-J保证约東R-H的实现因此,可以省 略掉约束ⅠR-H.2)约束IC-HⅠ和约東ⅠR-1一定取等式,如果不是等式,那么制造商总会去降低δH 和δL而不会影响约束条件.这样把约束IC-HL和IR-L变换为等式3)把约束IC-LH不等式两边 都加上约束IC-HL的两边,就得到0n+BH6≥BHbL+br,由br>b,则约束IC-LH就转变 为:≥.这样就有式(21).由该式得到 lnUM G 6一B1+-用n-所-3+方份 M BLAL Blbp+ T 10 系统工程理论与实践 第29卷 那么,把式(A-4)带入到制造商的目标函数式(22)中,得到制造商需要求解如下问题: P H SL1pQPEP( 2k rB2-(6n+a+b+)-Q+0(-Xn)+-c(Q-Xn)-+ (A-5) (1-p)E|p(L+a+b+e)+ +Blol+ Bbp+ 2h n2-B(+a+b+e)-cQ+?(Q-X1)+-c(Q-X) st.BH≥B 制造商的日标即找到最优p,③H,L,Q以实现期望利润πM的最大化,当变量为p,βH,βL,Q时,函数 丌M的 Hessen矩阵处处负定(计算过程与定理1的证明相同,这里就不再重复)所以,我们可以通过一阶条 件2=0.=0.m=y我到最优的n,B,B,Q +(e-v)pF(Q-0H -bp)+(1-PFQQ-8L L bp)=c B+(1-p)3z)+p6H+(1-p) BH(1+rho) F H k Bi(1+rko)-(e-1)F(Q-Br F bp)+(1-p)F(Q-6 k 联立求解上面的四个式子,得到制造商收益最大化时最优的p*,B1。及。 c1+kb(1+kro)1-koL-rk20Ip0H+(1-p)eLl 1+2kb(1+k 3。=max(,0),。=max(B。,0 其中 BH-0r)+C-UF(Q-0I 1+kro 1+ hey p-c+(c-)F(Q-6 那么可以得到pA+(1-p)B2。=B,。≥B≥B 当销售商选择合同sn(Xn)时,p=1制造商的最优生产量Q为 C Qt。=6H+ats+b*+g*,其中F(q) ahis Buis/k 当销售商选择合同SL(Xn)时,p=0制造商的最优生产量Q*为 Q。-0L+at。+b*+q,其中F( B。/k

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