论文研究-基于微分信息的ARMAD-GARCH股价预测模型.pdf

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论文研究-基于微分信息的ARMAD-GARCH股价预测模型.pdf,  ARMA-GARCH模型进行股票价格收益预测时,只考虑了滞后历史数据所包含的信息,而对于在每个滞后时间点的变化趋势信息却未纳入计算模型进行统一考虑,在一定程度上影响了模型分析时序数据时的泛化能力.本文提出了一种基于微分信息的ARMAD-GARCH模型,在包含传统ARMA-GARCH模型对因变量的滞后值以及残差滞后值进行线
1138 系统工程理论与实践 第36卷 其中,k为幂级数的次数.因此,当t接近to时,我们有: f(t)-∑ f(h)(to) (+1 (t-to +o((t-to)") 其中o(t-to)x)是高阶无穷小量 (4)式可以写成如下形式: f(t)=oo.fto)+o1f'(to)+.+arn,f n)(to)+Rn 其中, ak= (k+1) k=0,1 且Rn=0(t-to))是误差项.在(4)和(5)的启发下,我们假设时间序列Xt的预测模型具有如下形式: Xt=oXo+aX+.+anXn+8 其中,αk是调节参数,Xk主要由时问序列Xt的k阶微分信息来确定.S是系统误差,k=0,1,,n 我们在上式的基础上加入常数项c以及滞后p步历史数据的k阶微分信息,并将误差项展开表示为滞 后q阶残差形式,其中G为滞后历史数据项参数,β是滞后残差项对应参数,则公式(7)可表示成如下形式: Xt=c+ +∑ ∑ Bict-i+cr 我们将公式(8)改写为 Xt=c+710Xt-1+r11xi-1+:.+7in xt-1+..+ipo Xt-p+pixi-p+ /1t-1+……+ 其中,%,是滞后步历史数据的j∈1,m阶幂级数项的参数 假设收益率序列为r,依据公式(9)我们提出的预测模型具有如下形式 Tt=C+个t-1+…+t-p+t-12t-1+……+At-gEt-q+Et 其中,c为常数项,个-,j=0,1,……,D为收益在t一点的k阶幂级数展开,E2,i=0,1,…,q是前q步的 误差项.从上述式(3)到式(10)的推演过程可看出、解析函数∫在任意给定点to处的幂级数展式不仅包含 了历史数据的信息,而且也融合了代表历史数据演进趋势的k阶微分信息.利用式(10)作为预测模型,理论 上可提高传统线性回归方程对于历史数据演变趋势的判别能力.求解上述模型时,幂级数展开项示-中的k 阶微分信息的计算,可根据定义1中给出的具体公式予以实现 定义1设时间间隔为h的时间序列数据{r1,…,r;,…,Tn}是由光滑函数f(t)生成,则第期k阶微 分信息为 其中(t)是期收益的k阶导数,mk为调整参数,k为导数的阶数.显然当m=0时,即在式(10)中去掉 微分项之后,等式即为我们所熱知的ARMA(Dq)模型.因此,预测模型(10)可认为是传统ARMA模型增 加了滞后因变量微分信息的一般表现形式 我们利用上述定义中得到的预测模型(10)作为 GARCH模型的条件均值方程,则可以重新构建一种基 于微分( differentia)信息的 ARMAD- GARCH预测模型,具体描述如下 定义2假设为收益率时间序列数据,则构成k阶微分 ARMAD- GARCH模型的均值方程和方差方 程如下: +∑-+∑04-+∑∑ Tikr(k) 十t 72-a0+∑a2-+∑2- (13) 其中,C和ao为常数,p,q,T和s表示滞后阶数.φ;;,az以及;是滞后项相应的参数,在上述模型的条 件方差方程(13)中∑=102-;称为ARCH项,∑=1302-;称为 GARCH项,并且ut=0t.在均值方 程中r是在t-i时刻的k(k≥1)阶微分信息,表示数据的变化焰势.7x4)是该项的对应的参数 第5期 张贵生,等:基于微分信息的 ARMAD-GARCH股价预测模型 113 由上述定义中的方程(12)可以看出, ARMAD-GARCH模型相比于 ARMA-GARCH模型,增加了收益 率序列的微分信息.由于时间序列通常带有高频噪音,因此,我们不能够直接对η进行微分(或差分).我 们可以利用控制理论研究领域中的跟踪微分器( tracking differentiator)米提取rt中的微分信息.在控制理 论中、控制器的设计常会用到信号的微分例如,实际应用中常见的PID控制(比例、积分、微分)中的D就要 用到信号的微分.由于跟踪微分器对高频噪音不敏感,所以它被广泛地应用于微分信号的提取.从微分器本 身结构来讲,常见的微分器有高增益微分器2-24,滑模微分器( sliding mode tracking differentiator)252 非线性微分器27等等.不同的微分器对噪音的敏感性也不同,我们需要根据时问序列的数据特点来选择恰 当的微分器.在工程控制领域之外,跟踪微分器在经济金融领域也有一些研究,如刘凤根等人28.29在2006 年及2007年把二阶和三阶离散非线性跟踪-微分器运用于对上证综指的股价模拟和分析预测问题中,并与 传统的平均移动方法进行了比较研究.这一研究说明时间序列的微分信息的确可以用于数据的预测.本文将 微分信息和传统的统计模型相结合,实现了优势互补提髙了模型的整体预测精度.具体微分器形式如下所示: 设给定儕号(满足: sup|b)(t)|<+∞ (14) 1<k≤m,t∈[0,∞) 010 001 0 000 1 其中,a1,i-1,2,…,n是实数.当矩阵A是 Hurwitz矩阵时,我们可以设计如下微分器 i1R(t)=2(t),a1R(0)=x10, 2(t)=z3R(t),z2(0)=20 2(n-1)(+)=2nR(t),2(n-1)R(0)=2(n-1)0 C222R R (t)+ n-1 其中,(20,20,…,2(m-1)0)是任意给定的初值,R是调节参数.由微分器的性质2可知,对任意的常数 a>0,我们有 im2nk(t)=2(k-1(t)在(a,∞)上一致收敛 所以,当R足够大时,有zmk()≈u(k-1)(t).由于微分器(16)对高频噪音具有鲁棒性,因此在输入信号带有 高频噪音时,我们仍然可以通过调整R的取值来得到2k()≈(k-1()综上可知,我们可以将微分器(16) 离散化,再将时间序列rt输入微分器,从而得到时间序列r的微分信息 3实证研究 按前所述在基于微分信息的 ARMAD模型的构建过程中,不仅和ARMA模型中一样对于因变量的滞 后值及残差的现值和滞后值进行线性回归外, AHMaD模型还进一步对因变量滞后值的微分信号进行了建 模,充分利用了价格时序数据的变化趋势信息,以期更加准确地刻画复杂的市场行为.接下来,本文将以不同 证券市场产生的真实股票价格时序数据为对象,以实证研究的方式证明本文所提出模型的合理性,以及跟踪 微分器在处理具有高噪声干扰的价格收益率时序数据时,近似求解离散微分信息的实际应用效果 31数据来源及预处理 本文使用上证综合指数,深证成份指数,香港恒生指数,日经225指数和标准普尔500指数数据,时间 从2010年1月4日至2014年12月31日的日收盘价格收益数据为研究对象,对基准模型和新模型展开 实证研究.检验模型的预测能力.其中数据集的前90%作为训练数据、用来对模型进行训练并进行相关参数 1140 系统工程理论与实践 第36卷 估计,数据集中剩余的10%作为测试集,用于样本外测试,检验不同预测模型的泛化能力,全部仿真实验采 用的股指数据均来自 Datastream金融数据库.文中模型构建及代码实现由 MATLAB2014b以及 EVIEWS 80完成由于 ARMAD- GARCH模型可以被认为是ARMA- GARCH模型的一般表示形式,因此我们选择 ARMA-GARCH模型作为基准模型.设每日收盘价为C,则收益率为r=(C:-C2-1)/C-1,在研究过程我 们使用收益数据为建模对象. 32模型参数选择 表1收益序列r统计特征 统计量 上证综指深证成指恒生指数日经225标普500 1090 1109 1103 1131 MEAN 0.00045500004550.0001390.0004280.000545 Median 2.05e-05-0.0007030.0002950.0005860.000750 Maximum 0.0132150.0507710.0567380.0567760.017107 Minimun-0.052993-0.070033-0.056605-0.105539-0.066634 Std de 00117970.0146860.0119020.0139750.010315 Skewness 0.214351-0.158009-0.196302-0.6714210.393033 Kurtosis 4.7941304.6620185.22652472891727.403306 Jarque-Bera 154.5388 129.9903 236.196 928.3684942.8298 Probability0.000000.00000.00000.000000.0000 表1分别给出了上证综合指数、深证成份指数、恒生指数、日经225和标普500综合指数收益序列的 统计量信息,由统计结果可以看出收益率数据的时间序列峰度值均大于正态分布的峰度值3,表明序列具有 尖峰的特点,并且偏度值均小于0:J-B统计量检验也说明收益率服从正态分布的概率几乎为0,收益率显著 异于正态分布,因此该时间序列不服从正态分布,并且具有“尖峰厚尾”的特性. 为检验收益序列的平稳性,我们对其使用ADF单位根检验,表2给出了检验结果.在1%显著水平下, 收益率的ADF统计量分别为-32.91913,-32.55049,-32.77247,34.35247和-35.85897均远小于临界值, P值几乎为0,说明收益率序列有一个单位根的概率几乎为0,则我们可以认为文中所选取的股票价格时间 序列为弱平稳过程 表2收益率序列的ADF检验结果 变量 t统计量显著性水平(临昇值 2567087(1%) 上证综指r:-3291913 1941114(5%) 1.616504(10%) 2567087(1%) 深证成指r:-32.5509 1911(5%) -1.616504(10‰) 3436035(1%) 恒生成指r-32.702472863939(5%) 2568098(10‰) 567062(1%) 日经2257134352471.941111(5%) 1.616506(10%) 2567010(1%) 标普50072-35.85897 1.941104(5%) -1.616511(10%) 在 ARIMA建模过程中,首先采用自相关和偏自相关图来决定,q可能的取值,然后采用最小信息准则 (AIC)确定出最佳的模型阶数.AIC函数定义为 AIC=nIn(o2)+2(p+q+1 (18) 根据ATC最小准则,上证,深证,恒生和日经225数据我们选择p=2、q=2,而标普500数据在参数 p=1,q=1时AIC值最小.然后对收益率残差序列进行了滞后5期的 ARCH-LM检验.表3分别给出 ARMA(pq)和 AHMad(p,q)收益残差序的 ARCH-LM检验结果,由表我们可看出检验统计量LM=TF2 第5期 张贵生,等:基于微分信息的 ARMAD-GARCH股价预测模型 1141 和F对应的概率趋近于0,表明拒绝残差序列不存在异方差性的原假设,即5个综合股指收益率序列在经过 不同的线性回归后的残差项中ARCH效应显著,均存在明显的异方差效应.因此,综合上述收益率样本序列 的ARCH效应分析检验,我们有允分的依据使用 GARCH族模型米描述收益率的波动性. 表3ARCH-LM检验 ARMA模型 ARMAD模型 变量统计量显著性水平(临界值)Prob显著性水平(临界值)Prob 上证综指 2.240375 0.0086 2.465423 0.0164 Obs FR-sgared 26.54201 0.0090 17.11141 0.0167 深证成指F- statistic 2.621010 0.0019 808005 0.0067 ObsFR-sgared 30.92184 0.0020 19.44635 0.0069 恒生成指F- statistic 21.04009 0.0000 7.40066 0.0000 Obs"R-sqared 59.91192 0.0000 9591820 0.0000 日经225F- statistic 35.27819 0.0000 13.61977 0.0000 Obs*R-sqared 96.85200 0.0000 122.1772 0.0000 标普500F- statistic 75.19560 0.0000 27.78190 0.0000 Obs*R-sqared 188.5205 0.0000 221.3676 0.0000 经检验,5个不同市场的综合股指收益率序列具有异方差特性,因此在构建ARMA模型的基础上,需要 加入 GARCH模型对收益率序列的残差平方进行分析和处理,并分别用于估计5个不同时间厅列数据集的 ARMA-GARCH模型参数,得到表4中 ARMA-GARCH模型对应参数.使用公式(16)计算得到微分信息的 近似结果.并估计基于微分信息的 ARMAD-GARCH模型中包括1,1和?2,1的所有参数,得到表4中所列 出的针对于不同股指时间序列的 ARMAD-GARCH模型对应参数将以上得到的考虑了时间序列数据异方 差特性的参数结果代入ARMA- GARCH方程和 AHMAD- GARCH方程,可分别得到对应的融合时序数据 微分信息前斤的均值方程和方差方程.方便讨论起见,本文以香港恒生指数为例将上述得到的参数伟计结果 代入不同的预测模型,分别得到对于恒生指数收益率序列数据的ARMA- GARCH模型和 ARMAD- GARCH 模型的条件均值方程及条件方差方程,具体情况如式子(19)~(22)所示 表4模型参数佔计结果 数据集模型 C AR(1) AR(2) MA(1) MA(2) K ARCH(1)GARCH(1)?1, 112, 1 上证综指ARMA- GARCH-3.,2154E-04-0.3409-0.41150.3526-0.44198.0460E-70.01480.9789NANA ARMAT) GARCE-1.0913F-4-000570.725300260-0765023485F-60.01790.96486.50561.0619 E-10E-10 深证成指 ARMA-GARCH 0.00251.6821-0.75131.69680.74874.2542E-60.02350.9563 NANA ARMAD-GARCH - 0.0035 1.7124-0.8720189201.0002.7526E-60.02550.9559100.1963 恒生指数 ARMA-GARCH27847E-04-027300.48320.3181-0.517323855E-60.04840.9326NANA ARMAD-GARCE0.00140.5609-0.16791.82150.90671.9429E-60.192 0.80770.79130.3696 日经225 ARMA-GARCH0.00180.52550.97160.51540.99258.1717E60.10460.8547NANA ARMAD-GARCH 0.0034 1.3798-0.93181.43651.00006.6287E-60.10920.8494 103.6676 标普500ARMA- GARCH2.5053E-050.9638NA-0.9931NA3.0670E-60.12920.8408NANA ARMAD- GARCH0.00170.9603NA1.0000NA2.8274E-60.1303 83540.8985NA 恒生指数ARMA(2,2)- GARCH(1,1)模型的条件均值方程为 vt=27847×104-0.2730y-1+0.4832vy-2+0.3181ut-1-05173u2 条件方差方程为 a2=2.3855×10°+0.04842-1+0.932602-1 恒生指数 ARMAD(②2,2)- GARCH(1,1)模型的条件均值方程为 y=0.0014-0.5609-1-0.1679%-2+1.8215t-1+0.9067t-2+0.7913ft-1+0.696-2(21 条件方差方程为 t=1.9429×10-+0.192304-1+0.8077-1 表4中给出的参数在95%置信水平下都是显著的,由表中数据可看出系数ARCH(1)和 GARCH(1)均 为正值,每对ARCH(1)+ GARCH(1)<1且非常接近1,符合对参数的约束条件,可以认为股指的收益率波动 序列具有有限的方差,而且股指收益率波动对较大的外部冲击在短期内很难消除,冲击效应的影响有一定的 1142 系统工程理论与实践 第36卷 持续性.表明过去的波动对未来的波动有正向长期的影响至此针对于不同时间序列测试数据集的ARMA GARCH方程和 ARMAD-GARCH方程均已经建立完毕,但必须要再次检验建模后的残差序列中是否已经 消除了自回归条件异方差.经检验若残差项中并无异方差存在,才能说明方程的构建结果是合理的,否则就 需要重新建立模型.于是,本文又分别对得到的估计方程作了1阶滞后,10阶滞后和20阶滞后的残差估计, 针对估计结果的统计量F- statistic和Obs* R-sqared均不显著,表明检验结果接受不存在异方差的原假设,可 以认为此时的模型中已经不再有自回归条件异方差了,即模型的设立是完全合理的 33实证结果分析 在模型构造完成之后,本文以上证综合指数,深证成份指数,香港恒生指数.日经225指数和标准普尔 500指数为实证研究对象,选取了各个不同股指时问序列的后期10%的数据计算日收盘价的收益率作为模 型泛化能力的测试数据集,针对ARMA-GARC模型和 ARMAD- GARCH模型中得到的均值方程和方差方 程分别对测试样本进行相应的动态预测.图1至图5分别显示∫两个模型对于5个综合市场股指收益的预 测结果、从一系刎时序图中可以看出,两个模型的预测结果均较好地拟合了收益序列的真实值,但也可以清 晰地观察到 ARMAD- GARCH模型对于收益率预测的结果相较 ARMA-GARCH模型更加接近真实的收益 率值.尤其是在数据变化趋势判别方面 ARMED- GARCH模型在处理不同的时序数据时均体现出了更加准 确的性能.另外图中还列出了ARMA- GARCH模型和 ARMAD-GARCH模型处理不同收益率时间序列结 果的箱形图.箱形图提供了上边缘,上四分位数,中位数,下四分位数和下边缘等有关数据位置和分散情况的 关键信息,从图中可以看出 ARMAD- GARCH模型的收益率预测结果的数据形状比ARMA- GARCH模型 得到的预测结果数据形状更加贴近于真实收益率序列数值的分布特性,再次从结果的数据形态以及数据异常 值分布等方面说明了 ARMAD-GARCH模型具有更强的数据分析和预测能力 MA-GARCH 众△ AIMA CAROI a)时序图 (b)箱形图 图1上证综合指数日收益率预测结果 R ARMA-GARCH (c)时序图 (d)箱形图 图2深成指数日收益率预测结果 (e)时序图 f)箱形图 图3恒生指数日收益率预测结果 另外,本文还利用了一系列评价标准来衡量不同模型对时序数据预测精度的提升和改进程度.根据 Hansen 等B0的建议.考虑到评价的全面性和客观性,文中选取了预测水平评价指标( evaluation criterion of level 第5期 张贵生,等:基于微分信息的 ARMAD-GARCH股价预测模型 1143 ARCH MAVO 0.04 ARMA-GARCH ARMAdARCH g)时序图 (h)箱形图 图4日经225指数日收益率预测结果 IA-GARCH ARMADGAR 个m ARMA-GARCH (i)时序图 )箱形图 图5标普500指数日收益率预测结果 prediction):平均绝对误差( mean absolute error,MAE),均方根误差( (root mean square error,RMSE),平 均绝对百分误差( mean absolute percent error,MAPE)和预测方向评价指标( evaluation criterion of direc tional prediction):方向准确率( direction accuracy,DA)两个方面的4个标准对不同模型的泛化能力进行了 全方位的衡量和比较.评价标准具体定义如下 MAiN (23) RMSE=iC(a2-v )2 (24) l00 MAPE ∑ (25) 1,如果(y+1-y)(a;+1-y)>0 D4-7∑m,其中m (26) =1 0,否则 其中,为样本数量,a;和v分别表示模型预测值和真实值.通常,评价指标MAF,RMSF以及MAPF的 值越小表明模型的预测值与真实值更加接近,也就说明模型预测能力更强.而DA反映了模型对于变化方向 的预测能力,DA的值越大,则表明模型对于方向的预测越准确. 表5评价指标结果 数据集 模型 IAE RMSE MAPE DA 上证综指ARMA(2,2)- GARCH(1,1)229980335.525140.894490.58333 RMAD(2,2)- GARCH(1,1)19.0281628351620.742500.72500 深证成指ARMA(2,2)- GARCH(1,1)91.27425131.748111.0391904833 AHMad(2,2)- GARCH(1,1)76.9130111617000.875490.74166 恒生指数ARMA(2,2)- GARCH(1,1)167.57834218113570.704550.41803 AHMad(2,2) GARCH(1,1)132.68720175.647490.56770.73770 日经225ARMA(2,2)- GARCH(1,1)136.42107190.769750.847870.57377 ARMAD(2,2)- GARCH(1,1)120.61046166.964340.750220.75410 标晋500ARMA(1,1- GARCH(1,1)10.9309315023530.552950.5200 AHMAD(1,1)- GARCH(1,1)9.8913718.370780.499610.64800 1144 系统工程理论与实践 第36卷 表5中列出了 ARMA-GARCH模型和 ARMAD-GARCH模型在5种不同市场综合指数测试数据集上 预测的比较结果.从表中各种评价指标的数据可以直观地看出, ARMAD-GARCH模型均表现出了更加优异 的性能.以恒生指数为例,MAE值从ARMA- GARCH模型预测结果的167578降为 ARMAD- GARCH模 型的132.687,降低比例达到了20.82%,其它指标RMSE,MAPE也有显著的改善,说明 ARMAD-GARCH 模型对于基准模型预测性能的提高表现得十分突岀.另外,由于 ARMAD-GARCE模型在均值方程中融合 了滞后变量的变化趋势信息,更加全面地表达了影响股票价格时序数据收益和波动的复杂性综合因素,使得 ARMAD- GARCH模型在方向性评价指标DA方面在不同的测试数据集上均体现了一致趋优的良好性能,方 向判别准确性提高比例除去标普500指数提高在10%之外,其余数据的提高比例均在20%以上,香港恒生 指数测试集的DA准确率的提高比例超过了70%.结果冉次说明通过微分器(16)近似获取的滞后变量的离 散微分对高频噪音貝有高性能抗干扰能力,能够科学准确地表达历史数据的趋菸变动信息,能更准确地把握 股票市场价格行为的变化规律,很大程度上弥补了传统 ARMA-GARCH模型融合单变量股票价格时序数据 信息不够全面的缺陷,提高了模型预测的准确性和鲁棒性. 4结论 受信息接受程度和投资期限的影响,证券市场中各种信息在投资者之间的传播并不是均匀扩散的.市场 的当前收益率与过去信息之问的关系密切,且呈现出复杂的非线性的关系.从文中模型建立过程中对于时序 数据分析的结果看出,在不同市场的股票价格收益率时间序列中均存在着一定的ARCH效应,也即序列中 存在一定的厚尾现象和波动聚集现象,这都无形中增大」市场的风险.因此,针对具有高度动态复杂性的股 票价格收益率时间序列数据,科学地分析并处理其影响因素,以期进行较为准确的预测,就成为了所有市场 参与者及相关研究人员最为关注的热点问题 由于股票市场具有极不平稳的动态变化过程.因此通过构建模型对未来股票价格进行预测时,不能只关 注于单变量时序数据本身及其滞后数据所包含的有限信息,而是要赋予市场主体一些特定的行为模式及学习 机制,并强调市场参与对象之间的微观交互,充分挖掘市场主体中潜在的或不易测量的有价值信息,进而揭示 宏观市场旳运行规律.基于此,本文提出了一种基于微分信息的 ARMAD- GARCH预测模型,在给出模型的 均值方程中除了对因变量的滞后值以及残差滞后值进行线性回归以外,还借助跟踪微分器对每个滞后因变量 的变化趋势进行了徵分提取和线性建模. ARMAD-GAR(H模型针对单变量的股票价格收益率时间序列数 据,允分考虑影响其波动的综合因素,改进了仿真模型的设计使之更贴近真实的市场环境,而且具模型构 造简单,运算复杂度不高等优点.从对于上证,深证,恒生,日经225和标普500指数收盘价收益率的实证 研究表明,基于微分信息的 ARMED- GARCH模型由于融合了历史数据演变的微分信息,在分析处理股票市 场价格收益率时序数据时,在数据除噪,趋势判别以及预测精确度等方面均优于一般的ARMA- GARCH模 型该方法丰富了计算实验金融研究领域中对于金融时间序列预测的方法和手段,对于逐步建立完善的风险 预警系统和有效的风险控制体系,以及为市场参与者进行投资策略选择和投资业绩评价等方面均有一定的借 鉴意义 当然正如文中所述徽分器的种类有很多,而且随着近年来研充工作的不断深入,微分器也有了大量新的 成果.基于金融时间序列的特性展开针对性的微分器性能比较研究:进而提出融合金融时序数据特性的专有 微分信号提取模型是未来后续研究工作需要重点关注的一个方面.另外,利用微分器提取时间序列变化趋势 信息时,对于微分器增益参数的优化算法也需要持续性地跟进硏究,以期进一步提高微分信息的可靠性和预 测模型的精确性. 参考文献 [1 Abu-Mostafa Y, Atiya A. Introduction to financial forecasting [J. Applied Intelligence, 1996, 6: 205-213 2 Atsalakis G S, Valavanis K P Surveying stock market forecasting techniques- Part II: Soft computing meth- ods[J. Expert Systems with Applications, 2009, 36: 5932 5941 3 Wang J, Wang J, Zhang Z, et al. Slock index forecasling based onl a hybrid model[J. Onega, 2012(40): 758-766 4 Pai P, Lin C. 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