论文研究-基于GM(1,1)灰色预测模型的改进与应用.pdf

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针对传统的GM(1,1)模型预测精度不高,并且其求解优化与多项式拟合各有片面性的缺点,给出了基于求解优化和多项式拟合优化相结合的改进灰色等维动态预测方法。结合美国近两百年人口的相关统计数据,利用传统的GM(1,1)模型及其优化后的模型进行误差比较。结果表明改进后的灰色模型预测精度更高,说明改进后的灰色预测模型的可行性与可靠性更好。
26 016,52(4) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 且对多项式s()进行一阶求导得 结论中的预测结果和生成的灰平面也不同。有时因灰 y"()=s()=a1nr"-+a2(n-1)22-… an-1(15)色区间过大而使得模型的预测精度下降叫。这是因为 灰平面是喇叭型铺开的,从而因预测时刻的远近而导致 则此时 dr() dt y(t)。所以白化方程转化为 灰度的大小,使得预测结果很不准确,为了克服灰色预 y(+ar()=b (16)测模型的这缺点,便利用灰色等维动态模型来改进 将上式用矩阵形式表达可得 即分段选取等区间的数据用来只预测一个数据,将预测 数据作为已知数据来进行预测下一个数据,为了不增加 数据序列的长度,将第一个已知的数据去掉,然后再重 y(2) (17)新建立灰色预测模型,这样一步一步地推陈出新,直到 b 完成所建模型的预测目的或者是理想结果 32改进的GM(1,1)优化模型原理 考虑到3.1节中求解优化算法只优化了求解值而忽 其中B= (2)1 8(2N,“=b/°采用最略参数a,b的估计以及多项式估计参数算法中只对参数 a,b进行的估计而未考虑求解的优化,且传统的GM(1,1) 模型只适合短期预测:基于这三方面各自的局限性,为 小二乘法可让求得使目标函数J(ul)=(Y-Bω)达到局部使GM(1,1)预测模型具有更高的精确度与准确度,从 最小值的参数列a的估计值为 这三方入手,提出了基于多项式拟合估计参数和求解 u=[a,b=(BB)B'y (18)值优化的改进的灰色等维动念预测模型使改进的灰色 将求得的-[a,b代入传统的GM(1,1)模型中 等维预测模型能够满足中长期的预测。 则白化方程的求解函数为: 具体算法如下 (+1)=(x°()-9+b k=0.1 n-1(19) 在传统的灰色GM(1,1)模型中,求白化方程 dt 31.2灰色求解优化算法 ax"()=b的时间响应函数x"()=2+(x0-2x“( 传统的GM(1,1)模型中,在求解灰色微分方程时 的参数a,b是用最小二乘法求得。在此,用灰色多项式 是把累加数据组X的第一个分量x"(作为其初始的拟合估计参数a,b。即先通过最小二乘法来进行多项 条件即;(1)=x①)。但是这样却对累加后所得到的新式的拟合。 信息利用并不充分从而导致了预测的精度不准确。如 (D)=a1+a2+…+an-1t+an (23) 果我们选择使预测值的总的相对残差达到最小的x使其 的分量x①作为灰色微分模型的第个值,的取值为 b,0)A1、b 1,2,…,n,即x()=x0(①)。这样的改进可以使数据的 at"+a,r"-+…+a,t+ (24) 各个信息得到充分利用,使得预测结果的精度提高。对多项式s()进行一阶求导得 设B,F,a如传统GiM(1,1)模型所定义,取x()= y"(=s()=a,nt"-1+a2(n-1)2-2+…+an1(25) x①)。正如传统灰色预测模型中定义白化微分方程这样可求得i=[a,b=(BB)B2nc其中 dx(9=b的求解函数为 B= (20) Y x(t)=-+(x(1)--)e p(2)\,n(b 则山式(20)可以得到灰色微分方程的求解函数为 x"(k)=2+(x0(0)-b)e0,k=2,3,…,n(21) 将求得的a=[a,b代入求解优化的GM(1,1)模犁 可以得到还原值为 中。则白化方程的求解函数中可得 x(k+1)=x(k+1)-x(k),k=1,2,…,n(22) (k)=(x°(①)-9)e-+.k=1,2,…,n(26) 其中取e"(1)=(1)=x()。 在利用多项式估计参数优化和求解优化的组合模 31.3灰色等维动态预测算法 型的基础上只需要预测出一个数据值,并将这个预测出 在传统的灰色预测GM(1,1)模型中,通常的情况的数据值增补在已知原有数列之后。为了不使序列长 下所选择原始数据的时间序列长度是不同的,因而得出度增加厶掉第一个已知原有的数据以便于使得序列长 李梦婉,沙秀艳:基于GⅥ(I,1)灰色预测模型的改进与应用 2016,52(4)27 度一致,然后再建立组合优化的GM(1,1)模型。这样 2500 步一步地推陈出新,直到完成所需要的预测目的或是 需求结果。 2000 l500 4实例验证 4.1问题的提出 1000 进入20世纪以来,随着科学技术和生产力的不断 发展,世界人口也大规模增长。由统计数据可知,世界 人口在1800年已经达到10亿,在1900年已经达到20 亿,在2000年已经达到60亿,可以看出,在每100年里, 8守 R导883 人口增加的速度越来越快。由于人口数量的大嘔度増 时间年 加而导致环境不断恶化,从而给地球生态系统带来很大 图2美国人累加图 压力。这时人们才意识到,人口发展面临着巨大风险, 使得人们近年来将人口控制作为世界发展的主要回题。 从图2可以看出所选取的美国近两百年的人口累 在此,通过查阅文献[13]可得到近两百年美国的人 加数据在图形上是呈现指数形式。因此初步判断美压 人口数据可以作为实验数据。用此数据进行GM(1,I) 口数据。如表1所示。 模型的建立并且作出近几十年的人口预测。在此,只选 表1美国人口 取前18个数据作为实验数据进行GM(1,1)模型微分方 时间年18101820183018401850186018370程的参数估计并保留第1990年,200年的数据,作为检 人口A0°人 验模型的依据"。 时间/年1880189019001910192019301940 (2)数据的检验 人口/10°人50.262.976092.0106.5123.2131.7 建立美人口数据时间序列如下: 时间/年19501960197019801990200 人口10°人150.7179.3204.0226.5251.4281.4 0)(18) (729.612.917.123.231.438.6 通过 MATLAB70编程,可以做出近两百年的美国 50.262.976.092.0106.5123.2 人口数据的柱状图。见图1 131.7150.7179.3204.0226.5 250 求得级比A(k),有 A() x"(k-1) 27) 200 入=((2),(3),…,A(8)=(0.75000.7442 0.75440.73710.73890.81350.7689 0.79810.82760.82610.86380.8644 50.87300.84050.87890.9007) 由于所有(k)[0.7371,09355][3+,c32],枚 ■■ 这些数据能够作为GM(1,1)模型的实验数据 置量离 42.2传统GM(1,1)模型的建立与求解 时间/年 步骤1对原始的数据序列x(k)作一次累加运算 图1美国人口柱状图 可以得到累加数列为 4.2基于传统GⅥ(1,1)模型的实例验证 x=(7.216.829746.870.01014140.0 GM(1,1)预测模型是指:利用累加的技术使得生成 190.2253.1329.1421.0527.6650.8 的数据具备指数的规律,从而建立起一阶微分方程并对 782.5933.21112.51316.51543.0) 其求解,然后将所求结果再累减还原即为灰色预测值, 步骤2构造数据矩阵B以及数据向量Y。有 并对未来进行预测 (x(l)+x(2) 4.2.1数据的预处理与检验 (x(2)+x(3)) (1)数据的预处理 B 由于灰色预测模型所需要的数据是素加后成指数形 式的。所以通过对美国人口数据的累加可以得到图2 2(7)+x(18) 28 016,52(4) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 通过 MATLAB7.0编程可做出1810-1980年的美 (3 国人口数据的实际数据与预测数据的曲线图。如图3 (28) 所示 300 实际数据 步骤3计算参数 250GM(1,1)预测数据 由上述求得的B和Y可以得到 200 i=|=(BB)BF=/0.1532 (29) 20.9891 150 于是得到a=-0.1532,b=20.,9891。 步骤4建立模型 由传统的灰色预测模型可知: 50 tax (30) 求解得 时间年 图3美国人口实际数据与预测数据的比较 从传统的GM(1,1)检验表格可以看出 144.217e0532-137017 (31) (1)传统的灰色预测模型预测效果不理想。所用到 步骤5求得还原数据值£"(k+1)。 进行估计微分方程参数的18个数据中,预测值与原始 令k=0,1,…,17,由式(31)的时间响应函数可算值相比较差别有些大。而且还可以看出在大部分数据 得x。其中取x"(1)=x()=x(1)=7.2。则还原预测中所求得的残差(k)大于02,且其级比偏差p(k)也大 值为 于0.1。 k+1="(k+1)-x"(k) (32) (2)在估计GM(1,1)模型中微分方程的参数时,是 4.23传统GM(I,1)模型的检验与评价 采用18个数据进行灰色预测的。之所以没有用第19 通过 MATLAB7.0对传统的GM(1,1)模型进行检 个,20个数据,其实是为了用它作模型检验。从上述表 格中可以看出,在1990年和2000年所建立模型所预测 验,可以得到美国人口预测模型中的预测值及其残差和的结果与实际数据相比,结果不是很理想。 级比偏差的计算结果。如表2所示 43改进的GM(1,1)优化模型的实例验证 表2GM(1,1)模型检验表 考虑到求解优化算法只优化了求解值而忽略参数 序号年份原始数据预测数据相对残差级比偏差a,b的估计以及多项式估计参数算法中只对参数a,b进 11810 7.20 行的佔计而未考虑求解的优化,且传统的GM(1,1)模 182 2048 1.l1 0.12 型只适合短期预测。基于这三方面各自的局限性,为使 1830 12.9 23.87 0.88 0.13 GM(1,1)预测模型具有更高的精确度与准确度,从这三 1840 0.12 23.2 32.43 方面入于,提出∫改进的灰色等维动态预测模型。 1860 37.80 0.20 0.14 3.1改进的GM(1,1)优化模型的建立与求解 71870 44.05 0.05 步骤先对美国人口数据x(k)作一次累加。得 51.35 0.02 0.10 x=(7216829746.870.01014140.01902253.1 62.9 59.85 0.05 0.07 900 76.0 69.76 0.08 0.03 329.1421.0527.6650.8782.5933.21112.51316.5 111910 92.0 81.31 0.12 0.01 15430) 20106.5 0.11 步骤2根据序列x画出图像,然后根据大体走 1930 123.2 l10.46 0.10 -0.01 势,用 MATLAB70工具箱中的函数 polyfit对已知数据 141940131.7 0.09 -0.01 进行多项式拟合。这样得到了白化方程的求解函数的 U.01 0.05 0.02 近似函数。即 171970 04.0 20385 0.0 0.02 b b 005 260.94 0.03 at+a2t+…+an-1t+an (33) 2000 2824 312.70 0.20 步骤3根据累加序列x图2的大体走势,分别进 李梦婉,沙秀艳:基于GⅥ(I,1)灰色预测模型的改进与应用 2016,52(4)29 行三次,四次,五次多项式进行拟合。依据总的相对残 差m=∑(k)大小来选取合适的多项式拟合阶数。 由 MATLAB70编程,可得到三次,四次五次多项式 拟合的残差图像。如图4所示 8 次扣 4次拟合 6-5次拟合 咪 024681012141618 不同初始条件 图5不同初始条件的总误差 则由a=(BB)By,求得i=0144。于是得到a= 21.5086 0.1494,b=215086。 实8 步骤7将由灰色多项式拟合估参得到的a和b代 时间/年 入求解优化的灰色GM(1,1)模型中白化方程的求解函 图4N阶多项式拟合的误差图 数。可得 且总的相对残差m3=0.67,m4=1.03,m3=0.79 (k) a-21 所以在此模型中,用三次多项式逼近灰微方程的时间响 130.149e 01494(k-1) 143.927 36 应函数。即 s()=0.2095t2+1.33832+47160+23436(34) 步骤8求得灰色预测模型的还原数据值x(k+1) 令k=0.1.…,17,由式(36)的时间响应函数可算 步骤4由式(34)可得它的阶导数公式为 ()=0.6285+2.6766t+4.716 (35)得x。其中取坐0=(=0=22。则还原预测 则可以得到其导数值为: 值为: (k+1)=(k+1)-2"(k) (37) y()=s()=(6.764110.069214.631320.4504 步骤9由3.1节灰色等维递补动态预测模型可知 27.526535.859645.449756.2968 我们将所预测得到的第1990年的数据添加到已知数据 68.400981.762096.380l112.2552 129.38731477764167.4225188.3256 屮去。为了不增加长度,将第1810年的数据去除。然 后重新建立GM(1,1)模型,一步一步地推陈出新,用预 210.48572339028) 测所得到的数据米替换巳知数据。这样使得灰色预测 步骤5为了减小误差针对模型的求解方式优化的模型的灰度越来越小,直到完成预测美国人口数据。 初始条件方面,也进行优化。传统的GM(1,1)模型的432改进的CM(1,1)优化模型的检验与评价 基础上将原来的x"①作为灰色微分模型的第i个值, 通过 MATLAB7.0对改进的GM(1,1)模型进行检 的取值为1,2……,n。即x(0-=x①。这样可以更加验,可以得到关国人口预测模型中的预测值及其残差和 充分的利用新信息。取遍i的所有取值,运用 MATLAB级比偏差的计算结果。如表3所示。 可以得到它们分别的预测值的总体相对误差。如图5 通过 MATLAB7.0编程,可得到改进的GM(1,1)优 所示 化模型的预测值。传统GM(1,1)的预测值与实际值之 从图5可以看出,在求解灰微方程时取A(2)=x 的比较,如图6所示。 时,误差最小。 从改进GM(1,1)模型的检验表格可以看出 步骤6构造数据矩阵B及数据向量Y。 1)改进的灰色预测虞型预测效果比较理想。所用 到进行估计微分方程参数的18个数据中,预测值与原 可以得到: 始值相比铰差别很接近而且还可以看出在大部分数据 中,所求得的残差e(k)小于0.2。且其级比偏差p(k)也 B x(2)1 y(2) 小于0.1。 b (2)在估计GM(1,1)模犁中微分方程的参数时,是 采用18个数据进行灰色预测的。之所以没有用第19 30 016,52(4) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 表3改进后的GM(1,1)模型检验表 要大量数据,只需四五个统计数据便可预测,这种灰色 序号年份原始数据预测数据相对残差级比偏差预测方法与其他预测方法相比貝有自己的特点,并且被 11810 7.20 0 广泛的应用于各个领域 21820 23.87 l48 0.13 1830 2783 0.13 本文在研究传统的GM(1,1)模型及其求解和灰微 41840 32.43 0.12 分方程估计参数的基础上,提出基于灰色求解和多项式 37.80 06 拟合估参组合后的改进灰色等维动态模型。结合美国 44.05 0.14 6789 近两百年的人口数据,利用GM(1,1)模型与改进后的 0.33 1880 0.19 模型进行了比较,表明改进后的灰色模型预测精度更 59.85 0.10 69.76 0.11 0.07 高,减少了预测风险,说明改进后的灰色预测模型的可 l9(0 .(14 行性与可靠性更好。 0.03 0.04 121920 110.46 0.05 0.07 参考文献 123.2 l28.74 141940 131.7 0.141 000 1]王学萌,张继忠,王荣灰色系统分析及实用计算程序[M 50.7 0.16 武汉:华中科技大学出版社,2001:56-64 161960 179.3 203.85 0.13 0.02 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