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论文研究-基于.pdf,  鉴于基于d-最小割集应用容斥原理计算多状态网络可靠度精确值的复杂性, 借鉴分解的思想, 基于事件并运算之间的吸收律, 通过定义d-最小割集矩阵及矩阵概率, 提出了一种矩阵分解算法. 算法的基础是在一定规则下反复对矩阵进行分解、简化, 并通过迭代计算矩阵概率得到可靠度精确值. 同时, 通过定义删除函数以及动态选择分解边加速分解过程. 相关分析表明算法的复杂度随网络中
1988 系统工程理论与实践 第32卷 X≤C}=∩{x1≤c}={at≤c}∩ A1,k∩ 2 ,7 E A,k∩ {x;≤ =1,≠l 将式(2)代入式(1),则 (c(.~) P A1,k∩ 因A1.m∩At ,n≠m 0,故A ∩An(∪ ) 0,则式(3)变为 z-“((Cn.) ∑(P(4P(U∩{2≤ k=1,A1.k≠0 式中, Pr( h,k=1,2 Pr(41,k) bh∈B <bLh< Pr({x≤ck,l} p1,h, k=0 bn,h∈B1,b1,h≤Ck,L 由d最小割集定义知任两个d最小割集Cm=(cm,1:cm2,…,cm,E、Cn=(cn,1,cm,2;…,CnE)不 存在关系Cm≤Cn或者Cm≥Cn,但对于去掉cm、cn;后的(cm1,…,cml-1,cm+1,…,cm,|E) \C7,1 ,Cn,-1,Cn+1,…,Cn,E)而言,如对所有=1,…,-1,1+1,…,|E都满足cm,≥cmn,则 E (5) j=1,≠l 即( cm,1-1,cm+1,…,cm,E)将( 1,cn,4+1,…,cn,E)吸收,因此,式(4)中: Pr (u( i∈{1,2 NOm∈{1,2,…,k m≠i:cm,>ci÷,j-1,…,l-1,l+1,…,|E 将式(6)代入式(4),则: ∑|P(A)P1 i∈{12,…,k};NOm∈{1,2,…,k} =1,j≠l m≠i:cm,j≥C1,j=1,…,l-1,l+1,… 基于式(1)(7求解R所需计算的0个事件并的概率P(U1(1≤)化简为不多于 k个事件并的概率Pr {;≤c,}),且每个事件由原来的个 ∈{1,2,…,k};NOm∈{1 j=1,≠ m≠i:Cm,;≥C;,j,J=1,…,-1,l+1,…,E 子事件的交∩1{(x;≤c减少为E-1个子事件的交∩=1,≠{1<c 第9期 李振,等:基于d最小割集的多状态网络可靠度矩阵分解算法 1989 继续按照式(1)-(7)分解 Pr i∈{12,…,k};NOm∈{1,2,…,k}, 每经过1步分解,并运算中事件数量k就逐步减少.假设经过m步分解,达到边界条件k=1,则可直接计 算 ∩{≤c3)=IPr m =m+1 Il( ∑h b,∈Bj,b;,≤ 基于式(5)可知,选取边c为分解边,分解去除各d-最小割集的第个分量后,如d-最小割集Cm对应 向量(m,1,…,Cm,-1,cml+1,…,cm,E)中元素cm,(=1,…,1-1,1+1,…,E)值均较大,则吸收其 余向量(cn1,…,cn1-1,cn,+1,…,CmE)的可能性就大.记(e)为所有最小割集C中边;对应分 量c的最大值((e)=max(ca,),将d最小割集C和W=(u(e1),…,(e),… ·,UUe F 比 较,记相等元素的数量为n(C),找出含w(c)最多(m(C)最大)的d最小割集Cm;考查Cm中所有不等 于(e)的分量cm,将cm与所有d最小割集C1≠m中分量c,比较,如c,大于cm,的d最小割集 数量最多将cm,对应边e选为分解边,则分解后得到的(cm1…;,Cm,y-1,cm,)+1,……,Cm,|E)含有最大值 的数量最多,按式(5)吸收其余向量可能性最大.如3个d-最小割集C1=(2.0,3,2,3).C2=(3,2,2,1,2) C3=(1,1,3,1,3).(e1)=max(2,3,1)=3,(e2)=max(0,2,1) max(3,2,3)=3, e4)=max(2,1,1)=2,v(e5)=max(3,2,3)=3,则W=(3,2,3,2.3),将Ch1、C2和C3分别和W比较, 得N(C1)-3,N(C2)-N(C3)-2.N(C1)最大,因此,考查C1中未取最大值的边e1和e2:c1,1-2,只 有c,>c1,,满足条件的d-最小割集数量为1;c12=0,c2和c32均大于c1,2,满足条件的d最小割集 数量为2.因此,选取边e2为分解边.分解过程中,当x2≤0时,去除边e2后得到的(2,3,2,3),(3,2,1,2), (1,3,1,3),则有(2,3,2,3)>(1,3,1,3).如按其余边e1或者e3分解则分解后不存在这种关系 4多状态网络可靠度的矩阵分解算法 4.1定义d最小割集矩阵、矩阵概率及相关的函数 定义1对应网络G(V,E)的所有d最小割集组成的集合C={C1,C2,…,Ca},定义d最小割集矩 阵M=(13)(a+1)×1E1为 1;j=1,2 E 讠=2.3 +1; E m1,和m,分别表示矩阵M的第行和第列;7(M)和c(M)分别表示矩阵M的行数量和列数量 定义2定义矩阵M对应矩阵慨率 r(M) r(M)/c(M) Pr(M) 71 P m11, 1 则R。t=Pr(M) 定义3对于矩阵M,定义删除函数FD(M).该函数通过比较矩阵中任两行元素,实现式(5)运算 1)k=2 )-k+1. 3)对于j=1,2,…,c(M):如mwk;≤m,删除矩阵M中第k行元素,转向步骤5);如mk,>m,, 删除矩阵M中第行元素,转向步骤4);香则,直接转向步骤4) 4)i=i+1,如i≤r(M),转向步骤3);否则,转向步骤5) 5)k=k+1,如k<r(M),转向步骤2);否则,结束 定义4对于矩阵M,定义调整函数FA(M),功能主要有两个:一是确定分解边,二是通过对换矩阵中 相应列的元素,将确定的分解边所在列的全部元素调换到第1列,以便于分解. 1)确定矩阵中含有最大值分量最多的行m 1990 系统工程理论与实践 第32卷 ①计算r(M)维向量W(M)=((m1,1),…,w(m1),,o(m1r(M1)其中(m1,y) maX i∈2,3,…,c(M) (m (m)-0 ④对于j=1.2…,r(M),如m,;=t(m1,y),则n(m2)=n(m,)+ ⑤t=i+1,如i≤?(M),转向步骤③;如i>r(M),转向步骤⑥ ⑥寻找n(m2,),…n(m,),…,n(m-(M,)中数值最大的分量,记为m(mn,,则矩阵中第行元素 m,中含有最大值分量最多 2)从m,中确定分解边m1,y ②如m;3<u(m1),令u(m13)=∑:)1(m;>m);否则,令u(m1)=0 ③j=j+1,如j<c(M)转向步骤②;否则,转向步骤④ ④从t(m,1),…,u(m,),…,(m1.(M)中找出最大值(m1),则m1,y即为分解边 3)将分解边m1〃对应的元素调制矩阵的第1列 ⑩如y=1,则分解边m1,〃已位于矩阵第1列,因此,不需调鳖 ②如y≠1,则对换矩阵的第列和第1列对应行的元素 定义5对于矩阵M,定义排序函数FC(M),将矩阵中除第1行外的各行元素按照第1列元素从大到 小排序:以保证ma1≥mz+1,1(=2,3,…T(M)-1) 1)k=2 2)i=r(M) 3)如m;-11<m1,则对调矩阵M(Mx(AM中第-1行和第行对应列元素,即j=1,2,…,c(M) temp=mi-1,j, mi-1,j=mi., mi, j=temp 4)i=i-1,如>k,转向步骤3);否则,转向步骤5) 5)k=k+1,如k<r(M)转向步骤2),否则,结束 基于上述定义,通过式(1)-(8)计算R的过程可分为炳步:1)逐步分解d最小割集矩阵,减少矩阵 维数直至矩阵行数为2;2)从行数为2的矩阵开始逐步迭代计算各矩阵概率.直至Pr(M),即得R。_t 42算法步骤 步骤1分解d-最小割集矩阵 1)由所有d-最小割集得出d-最小割集矩阵M;调用调整函数FA(M)和排序函数PC(M) 由d-最小割集矩阵定义可知,M第1行中元素m1为表示网络中边e容量值的变量x,其余行中元 素m;(=2,3,……,r(M)则代表d最小割集C1-中边e;的容量值.因此.d最小割集矩阵M代表的 事作U23(0m1≤m)即表示式(1)中事件U1({≤)调整函数FA(M)作用 是确定分解边,并将其所在列调整到矩阵第1列,相当于确定式(1)中的分解边e1.排序函数FC(M)作用 是通过调整矩阵M中各行元素的顺序,使第1列元素满足m1≥m+1,(-2,3,…,r(M)-1),等同于 式(1)中所有d最小割集C中边ct的容量值c,满足a,≥c+1,l(i=1,2,…,σ-1),以实现按边c容 量xz进行分解. 2)分解矩阵M ①k=2 ②如k=r(M),则Ak={m1n≤mk,x},转向步骤@;如k<r(M),转向步骤③ ③如m.1=mk+1,1,Ak=0,转向步骤⑤;如mk,1>mk+1,1,4k={mk+1,1<m≤mk.},转向步骤 ④取M中第1,2,…,k行和第2,3,……,c(M)列元素得Mk2,即 71.2771 nl.c(M) m22m72.3 2,c(M) nk,2 nk. 3 ki, c(M 第9期 李振,等:基于d最小割集的多状态网络可靠度矩阵分解算法 1991 如r(Mk)>2,调用删除函数FD(Mk):如r(mk)>2,调用调整函数FA(Mk)和排序函数FC(Mk) ③k=k+1,如k≤T(M),转向步骤②;否则,结束,则原来r(M)×c(M)的矩阵M变为T( c(M)-1)的矩阵Mk,其中r(Mk)≤k Mk(k=2,3,……,(M)第1行中元索m1,(=2,3,…,C(M))为表示边e;(=1,2,…E|,≠l) 容量的变量2,其余行中元素m,(=2,3,…,k;j=2,3,…,C(M)表示b最小割集C:-1中边e;容量, Mk代表的事件U2(n{m1≤m)表示式(3)中的事牛U=1(∩){x;≤c}),因此基于 步骤①-③,按m,不同取值集合A2,…,Ak;…,A(M)分解矩阵M得到子矩阵M2,…,Mk,…,Mn(M) 的过程等同于选取边e1为分解边,按边e容量m的不同取值区间A,1,…,A,k-1,…,Aa将事件∪=1 (2≤6)分解为不相交子事件A-(U1(n,≠(≤,)…,4k∩2 {2≤l),…,An(U:(0n(2≤),删除函数FD(MA)是将M中任两行元素mm 和mn,进行比较,如mm,≥mn,即事件∩2{m1,≤mnm,}2∩2){m1,≤mn},删除mnm,因此, 运用函数FD(MA)的过程就等同于将U1(1(≤c)变成 {r;≤c;} ∈{1,2,…,-1];NOm∈{1,2,…,-1),(j=1,≠ m≠i:Cm,≥C;,j=1,…,-1,+1,…,|E 的过程运用调整函数FA(Δk)和排序函数FC(Mk)是从子矩阵Mk中确定分解边,将其调整到矩阵的第 1列,并按照递减的顺序排列,以便于对Mk进行分解 3)将步骤2)产生的子矩阵Mk看做M,再重复步骤2),直到r(Mk)=2为止 该步是将Mk表示的事件继续分解为不相交子事件,直到边界条件r(Mk)=2,等同于将去除边C后的 事件U:12…k-1NOmE12An(.≤)继续分解直到只含1个事件∩四m+1{≤小 几≠Cm,j ,4-1,+1 步骤2迭代计算Pr(M 由式(7)及式(8)知矩阵M对应的矩阵概率 (M) M P {m1≤ ∑P(4k)Pr(M), r(M)>2 Pr(M) k=2,A P(m,sm2})=Pt(∩wm≤m)=IPr({m≤m2),r(M0)=2 j=1 从分解得到的最底层矩阵开始,基于式(⑨)逐步向上计算各矩阵概率,直至最顶层.则R。t=Pr(M), 得R!t=1-R 5算例分析 多状态网络G(V,E)如图1所示90.16-1823, 网络中节点集合V={1(s),℃2,3,4(t)},边集 合F={e1,e2,f345};各边容量取值集合分别 为B1={0,1,2,3},B2={0,1,2},B3={0,1} B4={0,1}.B5={0,1,2};源点s和汇点t之间的 需求流量d=3:基于文献7-19中任一方法即可求 得d=3对应的所有d-最小割集C1=(3,2,0,0,2), (3,2、1,1,0),C3=(2,2,1.0,2),C 图1个含4个节点、5条边的多状态网络 1,2,1,1,2)C5=(3,0,1,1,2),C6=(3,1,0,1,2), C7=(3,1,1,0,2),C8=(3,1,1,1,1 下面利用本文提出的算法计算R3-t 步骤1d最小割集矩阵M分解过程如图2所示 步骤2某于式(9)计算图2中各矩阵概率 第Ⅴ层 1992 系统工程理论与实践 第32卷 KN NNI NS"KNNe-""NN 一所 c=-÷b一⊙一 -=一→ r1 图2分解d最小割集矩阵M 第9期 李振,等:基于d最小割集的多状态网络可靠度矩阵分解算法 1993 Pr(M763,2) Pr({x5≤1})=p51+p52 Pr(M763,3) Pr(M8.54.2)=P 1 =Pr({r5≤1}=p5,1+p52 Pr(M54,3) ({5<2}=1 第ⅣV层 Pr(M7,32)=Prx43 r(ia 00 })Pr({x3≤0}) (M7,3.)=Pr Pr({x4≤1})Hr({a3≤1})=1 Pr(M7,6.3)=P{0<x4≤1}Pr(M76,32)+Pr{x4≤0}Pr(M7,6.3,3)=p4,2(P51+p52)+p4,1 Pr(M7.6.4)=P 4T5 12 Pr({x4≤1})Pr({x5≤2}) Pr(M8,5.2)=Pr 35 Pr({x3≤1})Pr({x5≤0})=p5,1 10 Pr(M8.54)=Pr{0<x3≤1}Pr(M85,4,2)+Pr{x3≤0}Pr(M8.5.4.3)=p3,2(P5,1+p52) Pr(A8.55)-P Pr({x3≤1}Pr({x5≤2})-1 12 第II层 Pr(M7,3)=Pr{0<x5≤2}P(M7,2)+Pr{≤0}Pr(M7,.)=(P5,2+p3)p,13,1+p Pr(M7,6)=Pr{0<3≤1}Pr(M7,6.3)+Pr{m3≤0}Pr(Mn,6,4)=m3,2(42(5,1+p5,2)+p4,1)+m3,1 Pr(M7.7)=Pr 4 =Pr({x3≤1})Pr({4≤1}Pr({x5≤2})=1 11 Pr(M,5)=Pr{1<x2≤2}Pr(M8,2)+Pr{0<a2≤1Pr(M8,4)+Pr{2≤0}Pr(M,5,5 72351+m2,2(3,2(P51+52)+m3,1)+ Pr(M8.6)=P 122 Pr({x3≤1})Pr({x2≤2}Pr({x5≤2})=1 第I层 Pr(M7)=Pr{1<m2≤2}P(Mr,3)+Pr{0<r2≤1}Pr(M.)+Pr{r2≤0}Pr(M,7) 23(D52+p53),13,1+p5,1)+m2,2(m3,2(P4,2(5,1+15,2)+p4)+m3,1)+2,1 Pr(M)=Pr{0<x4≤1}Pr(M,5)+Pr{x4≤0}Pr(M8.) 742(p2,3p5,1+p2,2(32(p51+p5,2)+p,)+p2,1)+p41 Pr(Mg)= Pr 2345 ({x2≤2}Pr({x3≤1})Pr({x4≤1})Pr({x≤2})=1 第I层 R3t=Pr(M)=Pr(2<n1≤3}Pr(M)+Pr{1<x1≤2}Pr(M)+Pr{x1≤1}Pr(M P2,3(5,2+p5,3)p4,13,1+p5,1)+P2,2(P3,2(P42(P,1+5,2)+p4,1)+p3,1)+ 1,3(D2(D2,351+p2,2(P3,2(P5,1+52)+731)+p21)+p1)+(1+p1,2) 得到的解析表达式(10)显然比文献[23]中基于贪婪-分支-边界-容斥原理得到的表达式简洁.将 D,(=1,2 1, 数值分别代入解析式(10)计算 得R F、_(针对文献 18]中4种不同取值情况(如表1所示),分别计算可靠度R3如表2所示,和文献[18]中结果相比较可知 本文算法得到的结果是正确的 1994 系统工程理论与实践 第32卷 表1不同情况下各边的取值概率 P P Pi,2 Pi,4 pi,1 pi, 2 pi, 3 asel Case2 Pi 0.05C 0.025 0.02509000.1000.0500.0500.800 0025 0.025 0.950 0.050 0.050 0.900 Ps 0.050 0.950 0.100 0.900 0.020 0.980 0.025 0.975 0.075 0.025 0.900 0.150 0.050 0.800 Case4 P 0.150 0.075 0.075 0.700 0.100 0.150 0.1500.600 0.0750.075 0.850 0.100 0.100 0.800 0.150 0.850 0.200 0.800 0.050 0.950 0.100 0.900 P0.200 0.100 0.700 0.200 0.200 0.600 表2不同情况下得到的可靠度R。t的比较 Casel C ase Case3 Case4 文献[18中结果0.8309900.6775990.537350.495120 本文算法结果0.830989937500.677598750000.55373515625049512000000 针对此算例,本文算法只需8步分解即收敛,而谷斥原理.10.10-18和改进的谷斥原理2则分别需要 255步和26步;利用解析式(10)计算只需15次加法运算和12次乘法运算,采用容斥原理分别需要255次 和1275次,采用改进的容斥原理分别需要51次和90次 6算法分析 求取网络d最小割集的基础上-19,利用本算法计算多状态网络可靠度精确值的复杂度分析如下 步骤1分解d-最小割集矩阵M 1)得矩阵M需O(r(M)c(M)-O(σE)次赋值,调用FA(M)需 O(r(M)-2)c(M)+(x(M)-1)c(M)+(r(M)-2)+(x(M)-2)c(M)=O(x(M)c(M))=0(a|E) 次比较调用FC(M)需O(m0=1(02)=0(72)次比较 2)得A需1次判断得M需O((M)次献值调用FD(M需0(242n(M)=0(2(M) 次比较调FA(M)需O(kec(M)次比较,调用FC(Mk)需O(k2)次比较,得Mk共需O(k2c(M)故 分解M1得M2,M2,…,M1M需O∑2(k2c(MD)=O((M)((M)+1(21(M)+1) 1)c(M) 0(M3(M),而c(M)sE,(M)7,因此O(My()≤O(E) 3)假设经分解生成行数为2的矩阵数量为T,由分解过程知最多需 1<7-1步 min( min ni, a-1 分解最坏情况=mn(x,l)≤min(( max ni),),一般了《min(x,)因为如 mk1=mk+11,则Ak=0,不生成子矩阵Mk;②删除函数FD(Mk)可减小矩阵维数,加速分解.如针对图 1中网络,只需8步,远小于最坏情况min(4×3×2×2×3,85)=144 综合1)3)知分解d最小割集矩阵共需O(σE+a2+703|E|)=O(7o3|E) 步骤2计算Pr(M):由式(9)知迭代计算Pr(M最多需O(|E) 综上所述,基于d最小割集采用本文算法计算-t精确值的复杂度C1为O(o3|E|+r|E) E O(ro3E)≤o{(min((maxn)o))aB|.容斥原理及改进容斥原理复杂度C2和C分别 e;∈E 为30(F21)和O(列(20+1--2)可知本算法复杂度随网络中边的数目成指数增加容斥 原理及改进容斥原理的复杂度均随网络中d-最小割集的数目σ成指数增加,而d最小割集的数目a又随 边的数目E成指数增加,最坏情况下σ=|x=IE1n,则C1<C3<C2 第9期 李振,等:基于d最小割集的多状态网络可靠度矩阵分解算法 1995 7结论 本文通过定义d-最小割集矩阵及矩阵概率,利用矩阵分解计算多状态网络可靠度精确值,算法规则的含 义直观明确,易于实现,且算法复杂度随网络中边的数目|E成指数增加,其有较高效率 参考文献 熊蔚明,刘有恒.关丁通信网可靠性的研究进展[通信学报,1990,11(4):43-49 Xiong W M, Liu Y H. 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