论文研究-多标度投资组合绩效度量非系统误差及校正.pdf

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论文研究-多标度投资组合绩效度量非系统误差及校正.pdf,  传统投资组合夏普比率的测度独立于时间标度选择. 利用沪深300指数实证发现, 投资组合的夏普比率与时间标度存在关联, 基于基准标度推导获得的多标度夏普比率存在非系统性误差, 导致资产组合绩效度量产生偏差. 在此基础上, 研究探讨了引致夏普比率非系统误差的原因, 提出基于泰勒和二项式展开的夏普比率误差函数用以校正非系统误差, 为跨期
第9期 杨宏林,等:多标度投资组合绩效度量非系统误差及校正 2189 1+Rr=(1+p)=(1+p) G2={2+(1+13]-(1+ 则时间标度T条件下的资产组合SRr计算可表示为 Rr-R T 1/2 (2+(1+p (1+p 其中,Bf为T期无风险收益率,r为基准标度的无风险收益室.式(3)表明Levy计算的投资期限T的SR 是基准标度的收益μ和风险σ2的叠加根据文献[的理论推导结论,基于基准标度推导的组合多标度SR 呈现如下规律:当选择计算的时间标度大于基准标度(Tk>T0)时存在<0,B<0,即SR是关于 和a的减函数当选择计算的时间标度小于基准标度(Ik<T0)时,存在">0,4>0,S转变成 为关于μ和σ的增函数.表明当时间标度从基准标度向其他时间标度扩大或缩小时,组合绩效测度指标SR 会随之变动,从而产生非系统误差(与时间标度T的大小相关,影响到投资者对资产组合绩效的判断 个自然的改进 Levy多标度SR的设想就是放松基准标度收益p和风险σ2均相等的假设,使用更符 合实际的可变基准标度收益Rm和方差a,则改进的多标度GSR的度量为 1+Rr=∏(1+Rn) d=1 an+(1+Rx)21-(1+R 当使用对数收益率R=1n()时,由其可加性式(4可记为 1+Rr=∑(1+Rn) 改进的多标度GSR度量可表述为: RT-R GSR +Rn)-(1+7 {lo+(1+Rn)2-(1+R 2T,1/2 显然.式(7)克服了Levy多标度SR假定单期收益p和风险a2一致相等的局限.接下来分析GSR的 度量是否能够真实反映出投资期限T下不同标度的实际SR值,即基于GSR的测度是否存在非系统误差. 以下利用沪深300指数进行多标度条件下的GSR实证分析 3改进多标度夏普比率GSR的投资组合绩效实证 针对多标度条件下组合SR,可利用基准标度的组合收益率和标准差来推导.具体实证思路是以沪深300 指数1天为基准标度,将此基准标度下的组合收益率和标准差带入式(7)换算出其他标度条件下的组合收益 率和标准差,进而计算出SR(基于GSR的理论推导值),并与不同标度条件下真实的组合收益率均值与标准 差进行比较,判断不同标度下改进的组合夏普比率GSR是否仍然存在非系统误差.基准标度与其他时间标 度间的转换关系参看图1. T3=day R1(8d) Run(&d) R2(4d) Ruan(4d) T=2day R1(2d) R2(2d R3(2d) R4(2d Runed T-lday|R1d)|R(d|R31dRld|R(d|R(1d)R(ld)Rsld). R,(ld) 图1基准标度T0与其他时间标度Tk间的转换 2190 系统工程理论与实践 第33卷 考虑时间标度大于基泩标度时,即Tk>T条件下,能够较为方便、准确地获得其它时间标度上组合收 益率和方差,进而计算出组合绩效GSR值.因此,实证研究针对Tk>10条件下展开 选取2006年3月29日-2011年3月4日沪深300日收盘价格指数作为样本进行实证.基准标度选取 为1天,并以1天标度序列的对数收益率和标准差为基准推导Tk>10条件下的不同时间标度下的理论收 益率和标准差,进而计算组合GSR值:通过与同标度实际数据计算的多标度资产组合SR的比较研究GSR 的非系统误差,即以1天基准标度推导的2天、3天等标度的收益率及方差与使用实际2天、3天标度数据 计算的收益率和方差比较.样本数据来源于新浪财经数据库 此外,选用1年期定期存款利率代表无风险利玄,并将年利率以复利换算成不同标度条件下的无风险利 率,例如换算成为1天、3天、5天等标度条件下的无风险利率.2006-2011年4月前,中国人民银行一年定 期存款利率年平均分别为2.52%、3.47%、3.06%、2.25%、2.50%和3.00%(数据来源于中国人民银行),1年 期定期存款平均利率为2.80%.通过复利公式R(m)=31+R-1换算得到标度T条件下的无风险 收益率Rf().例如,时间标度为60天的无风险收益率可表示为[3(+2.%)-1=0.455% 利用式(4)(7),基于1天基准标度可计算得到资产组合在12个时间标度下的理论收益率 Theo和理论 标准差σtheo.与此同时,利用12个标度实证数据可以计算得到实际收益率 Rreal和实际标准差 Oreal.其体 数据参见表 表1不同标度下理论与实际的均值与方差比较 标度(T)样本数h Levy o Levy 12000.001180.022050.001180.022050.001180.02205 135802 400 003570.038290.003570.038900.003540.03830 240 0.006020.049560.006020.051610.005910.04970 0.009580.062940.009580.064290.009480.06308 120 0012540.070550.012540.079590.011860.07455 00 0014560.077480.0l4560.080840.0|4250.07858 80 0.019100.086970.019100.100700.017850.09397 60 0.02620D.101080.026200.122670.023870.10111 0.040100.125410.040100.154660.036010.12806 30 0.056960.146710.056960.203680.048300.15671 0.068990.166180.068990.22:3080.060740.17318 60 20 0.081390.184420.081390.231970.073320.18452 表1给出了不同时间标度下基于1天基准标度计算的沪深300指数理论和实际收益率与标准差.从表 1可看出:不同标度下组合收益率理论值和实际值相同(mheo=Bea),说明改进Lewy的GSR克服了单期 均值相等的假设.可以看到,随着时间标度的扩大,收益率的理论值和实际值都以递增的速度不断上升(从1 天到60天;但不同标度下的收益率标准差的理论值和实际值却不相符合,推导的ohne< Oreal,表明基于基 准标度的理论推导降低了组合风险.由式(7)推导获得的理论夏普比率GTSR大于实际夏普比率RSR,其 误差来源于组合标准差的非系统误差.需要考虑对GSR值进行校正,以指导投资者正确评价组合绩效 基于表1的计算结果,利用(Rr-Rf)oT可计算得到夏普比率SR.从表2中的计算结果来看,改进的 哩论夏普比率(GTS)和实际夏普比率(S)仍然存在偏差,且随着时间标度扩大偏差加大:GTSR增加 的速度要快于RSR增加的速度,即5B-B>0,此时基于基准标度计算的理论夏普比率的非系统误 差随时间标度的扩大而增大(参见图2).理论推导与实际夏普比率的变化趋势具体涵盖:(1)理论GTSR和 实RSR值随标度扩大而增加.表明投资组合绩效与计量标度相关联,大标度条件下的组合绩效高于小标 度条件下的组合绩效;(②)理论GTSR和实际RSR值的误差随标度扩大呈现递增趋势,产生这一误差的原 因是基于1天基准标度推导获得理论标准差σhne<σreat,且σheo随时间标度扩大呈现递减,造成GTSR 和实际RSR值的误差增大 表2不同标度下SR理论值与实际值 标度(T)1 10 12 20 40 RSR0.0500.08590.10940.13970.148|0.16890.17840.20120.24460.26480.29230.3:313 GTSR0.05010.08720.11390.14260.16700.17630.20650.24420.30160.36760.39230.4167 第9期 杨宏林,等:多标度投资组合绩效度量非系统误差及校正 2191 SR045 Generalized Theoretical Sharpe Ratio (GTSR) Has 0.3 Real Sharpe Ratio(RSr Scale (day) 图2理论夏普比率(GTSR)和实际夏普比率(RSR)的比较 从实证结果来看,在对资产组合绩效进行实证研究中.为计算方便随意地选取一个时间期限(1天、1周 或1月)作为基准标度,推导获得某一具体标度卜的组合绩效时,会产生明显偏差,且偏差随时间标度扩大而 增加,自接影响到了组合绩效度量的准确性.然而这一偏差是米源于基准标度推导具体标度时降低了标准差 所产生的非系统误差,可以通过设计校正函数来给予消除 4多标度投资组合夏普比率误差校正 由Levy的理论推导过程以及实证结果发现:改进的理论夏普比率(GTSR)和实际夏普比率(RSR)发 生偏差的最主要根源在丁基准标度与具体标度不一致,从而导致理论推导标准差与实际值发生偏离(如一致, 则GTSR=RSR.对于这一非系统误差、如果能够拟合出夏普比卒误差随时间标度变化的轨迹和规律,那么 在资产组合实际绩效判断中就可以进行相应的误差消除.通过研究发现,当时间标度设定越趋向于基准标度 时(参见图2),GTSR和RSR的误差就越接近于0;而时间标度距离基标度越远.(TSR和RSR的误差就 越大,呈现出非线性的变化趋势,即2 d>0.如果将夏普比率误差记为△SR=TSR-RSR,则 此误差近似为关于时间标度T的函数.可记为△SR=f(T 基于以上分析,为准确地拟合出△SR=f(T)函数,考虑引入以下两种误差函数:(1)基于泰勒展开的 误差函数F(T);(2)基于二项式展开的误差函数G(T).通过对上述两种误差函数效果的比较验证.选择较 优的校正函数,消除理论夏普比率GTSR误差 41夏普比率误差函数设计 以沪深300指数为例,基于不同时间标度上的SR(包含理论和实际值)的变化趋势,选用指数函数形式 能够近似拟合GISR和RSR关于时间标度的变化关系(参见图3),在此基础上,夏普比率误差函数可以表 示为 F(T)=GTSR-RSR= aoeboT-a1eb1T 其中,αo,bo,α1,b1均为常数,T为时间.依据以沪深300指数计算的理论GISR和实际RSR值,通过误差 平方最小原则,拟合估计得出:a0=0.1012,b0=0.0291,a1=0.0983,b1=0.0241 SR 06 GTSR=0.1012c0 0292T (R-=0.7741) g 忘04 RSR=00983e002417 (R=0.7384) T 图3指数函数对不同时间标度上理论夏普比率GTSR和实际夏普比率RSR的拟合 2192 系统工程理论与实践 第33卷 令T=0,则基于泰勒展开的夏普比率误差函数可表示为 F(T)=GTSR-RSR-a0eo0l-a1eo1 0-a1)+(00bo0-m1b)T+( +(a0b-a1b2)T” )+(a0bo-a1b1)T+(u06-a16)2+(a068-a1b2)7 将ao,bo,a1,b1代入式(⑨),能够得到 F(T)=GISR-RSR=a0c0-a10=0.0029+0.000587+0.00072+114E6T(10) 按照上述类似方法,使用二项式拟合理论和实际的夏普比率(参见图4),得到夏普比率误差函数 G(T)=GTSR-BSR=(a0T2+b0T+co)-(a1T+b1T+c1)=-0.0000137+0.0001+0.0002(11) SR0.45 04GTsR=7E0770002+0.01287+00473 0.35 R=0.9976) 0.3 c0.25 B 0.2 0.15 RSR=2E0670.000372+001287+0.0471 0.1 0.05 0 0 10 0 30 40 50 60 70 Scale ( day 图4二项式对不同时间标度上理论夏普比率GTSR和实际夏普比率RSR的拟合 上述使用泰勒展开和二项式展开拟合得到了夏普比率误差函数接下米需要判断哪一种函数能够更好 地代表夏普比率误差,寻找出较优的误差函数,用以消除多标度组合绩效的误差 4.2夏普比率误差函数校正效果验证 为获得更准确的误差校正函数,有必要对以上提出的误差函数给予验证.如果对GTSR剔除误差之后 得到的校正值等于(或接近)RSR,即校正值与RSR之间偏差趋向于0,那么就可以认为误差函数是有效的 验证步骤如下 步骤1将时间带入到夏普比率误差函数F(T)和G(T),求出不同标度下的误差值 步骤2在理论夏普比(TSR中消除误差F(T)和G(①),得到校正值,记为△1 步骤3将△1-RSE记为△2,如果△2→0,则误差函数是有效的 误差校正函数的验证过程和结果通过表3、4给出.从表中可以看出,在相同的验证过程下,泰勒展开获 得的不同时间标度下校正值△1′与真实值RSR的差异要明显大于二项式条件下校正值△1与真实值RSR 的差异.这说明基于二项式拟合的误差函数G(m)比泰勒展开获得的误差函数F(T)能更好地反映GTSR 与RSR之间误差,进而使得夏普比率误差的校正更为有效为资产组合绩效有效校正提供了帮助 表3基于泰勒展开的误差函数(F(T)的多标度绩效拟合误差效果 标度(1) 10 12 F(T 0.003510.004940.006690.010040.012840.01015 GTSR 0.050100.087200.113900.142600.167000.17630 △1′=G7SR-F(T)0.046550.082270.107200.132600.154190.16011 RSR 0.050100.085900.109400.139700.148100.16890 △2=△1-RSR 0.003510.003580.002170007050.00614 0.00883 标度(T) 15 30 40 50 60 F( 0.022200.0356 0.078080.147060.249400.39194 GTSR 0.206500.244200.301600.367600.392300.41670 △1′=GISR-F(T)0.184330.208560.223520.220530.142920.02471 RSR 0.178400.201200.244600.264800.292300.3130 △2=△1-RSP 0.005950.007350.021030.044250.149340.30654 第9期 杨宏林,等:多标度投资组合绩效度量非系统误差及校正 2193 表4基于二项式展开的误差函数((①))的多标度绩效拟合误差效果 标度(T 3 5 12 G(T) 0.000300.001060.002540.005930.008900.01235 GTSR 0.050100.087200.113900.142600.167000.17630 △1=GTSR-G(T)0.049760.086150.111350.136710.158130.16391 RsR 0.050100.085900.109400.139700.148100.16890 △2=△1-RSR 0.000300.000290.001980.002940.010030.00503 标度(T) 30 40 50 60 0.018310.029800.055100.077000.087000.07940 GTSR 0.206500.244200.301600.367600.392300.41670 △1=GTSR-G(T)0.188220.214380.246500.290590.304620.33725 RSR 0.178400.201200.244600.264800.292300.33130 △2=△1-RSR 0.009820.013180.001900.025790.012320.00595 图5反映了基于泰鞫和二项式展开两种误差函数的校止值与RSR的比较.从图5可以看出(其中△1 和△1′分别表示基于二项式和泰勒展开的误差校正值当时间标度小于30天时,两种误差函数校正的效果 都较为理想,校正值与实际值RSR比较接近;而当标度大于30天时,泰鞫展开获得的误差校正值随时间标 度不断偏离真实值RSR,误差校正的有效性大大下降.相反,基于二项式拟合获得的校正值与RSR的变动 一致,其误差校正效果更优 SR0.4 0.35 RSR=2E-0670.0003T2+0.01287+00471 0.3 0.25 1=2E-06790.000372+0.01287+0.0471 0.2 天0.15 △1=4E-07-0.0002m2+0.0122T+0.0444 0.1 0.05 40 70 图5RSR与两种误差函数校正效果比较 当然,这里的硏究还只是提供了基于基准标度的组合绩效误差校正的思路.在获得夏普比率关于时间标 度的函数表达式时仍然存在着值得改进的地广由于数据样本量较少,得到的误差函数表达式并不精确在 对资产组合绩效实际计算中,可以将时间标度进一步细化,通过对更多数据点的拟合获得更精确的数表达 式,这样会使误差消除结果更加准确、有效. 5结论 以沪深300指数为样本的实证发现,投资组合的夏普比率与时间标度存在关联.基于基准标度推导获得 的多标度夏普比率存在非系统误差,当基准标度距离实际标度越远,夏普比率的非系统误差就越大.基于泰 勒和二项式展开的夏普比率误差校正函数能够一定程度消除组合绩效度量的非系统误差.其中二项式误差校 正函数在更大的标度范围内比泰勒展开式有更好的误差校正效果,校正后的组合绩效度量(夏普比率)能够 较明显接近不同时间标度上的实际夏普比率值,为垮期投资组合绩效的准确度量提供支持.未来通过标度细 化,增加拟合样本米改善误差函数的拟合精度,提高误差校正精度;此外时间标度小于基准标度条件的组合 夏普比卒的误差变化特征也将是犬来关注的重点 参考文献 1 Levy H. 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