论文研究-基于Copula函数的组合资产条件相依性模型及其应用.pdf

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论文研究-基于Copula函数的组合资产条件相依性模型及其应用.pdf,  条件概率分布常用来研究马尔科夫序列相依模型的构建.组合资产的相依结构受多方面的影响,资产之间的同期相依与单个资产时间上的短期相依是组合资产两类主要的相依关系. 结合条件概率的理论,考虑组合资产之间的同期相依与时间上的短期相依两类关系,建立基于Copula函数相依关系模型研究了沪深股市指数收益率的相依结构.应用三阶段极
1006 系统工程理论与实践 第31卷 则(xXt-1=xt-1,yYt-1=-1)的 Copula函数C°(,;0·)是变量U=Fx(xYxt-1=xt-1)和V Gy(yY2-1=3-1)的联合分布函数,其密度c(,;0°)是(,1)2上的 Lebesgue可测函数;其中a,B,0°, 为参数向量.由 Sklar定理,联合分布函数为 C·/0Hx(x=1,20,bx)/0F(2=-i:a)0y(m-1,y,0y)/0E12);pm H(e Xt-I=at-1,Yt-1=yt-1)=C(Fx(a Xt-1=Ct-1), Gy(yYt-I= yt 0xt-1 0xt-1 yt-1 ayt_1 h(x|X-1=xt-1,y|Y+-1=t-1)=c°(Fx(x|Xt-1=xt-1),GY(yY-1=%-1);6°) f x(c Xt-1=It-1;a, x).gr(y Yt-1=yt-1; 6, 0r) c·(Fx(x|Xt1=m:-1),Gy(y|Yt1=y-1);6°)·cx(F(mt-1;n),F(xr;a);x) f(x;a)·cY(G(yt-1:B),G(3;③);的y)·9(y;) 从(3)式可以看到,随机变量X|Xt-1=xt-1,YYt-1=3t-1的联合密度分解成了三部分:一部分为Xt 和Y的边缘分布密度∫f(;a)和g(;β);其次是X-1和X以及Y-1和Y的短期相依关系cx(,;Bx) 和cY(…,的);再次是X和Y的同期相依关系c°(,;θ°).因此,在t-1时划收益率已知的条件下,考察 一资产组合收益率在t时刻的相依关系,可以把它分解成边缘分布、单个资产的短期相依关系、以及两资产 的同期相依关系几个部分.这样把复杂的关系变得相对简单且数学上更易处理,由于 Copula函数的性质,对 边缘分布没有严格的限制,适合各种类型的分布,增加了模型的灵活性和适用性: 为了捕捉沪市和深市指数收益率的短期相依结构.式(3)中的cx(,;0x)和c(…,;03)的 Copula函 数选取由 Gumbel函数、 Clayton函数和rank函数混合组成的M- Copula函数 CM(u,v;6,)=u1Cc(,v;61)+u2Cc(,v;62)+u2CF(v,;63) 其中u1+u2+43=1,相依参数δ=(61,062,63),6x和分别为参数向量(6,u) 式(3)中的同期相依Copa函数C(∵,;6°)选取为由Gmbe函数和 Clayton函数混合组成的 Copula 函数 Cc(u,0;6)+u2CC(u,:02) (5 其中权重系数u+u2=1,相依参数6°=(6,62) 进一步,设M个资产在时刻的收益率为X1+,X2,x,…,XM,边缘分布分别为F1(x1+:1),F2(x2,i;(2) ,FM(xM,t;aM),密度函数分别为f1(x1t;a1),f2(x2t;a2),…,fM(xMt;aM),可以推导这M个资产在 t-1时刻收益率已知的条件下,组合资产在t时刻收益率的联合密度可以表达为各资产的边缘密度、单个资 产的短期相依关系以及各资产间的同期相依关系的联合形式 h(x1:X1(-)=x1(-1),…,xM+Xn,(-1)=M,(t-1) 1,(-1) t|M,(t-1 If(xr;|x2;-1)=x;(=1;qbx,) F1(x1;X1,(-1)=m1,(-1),…,FMn(,|xM,(=1)=xM1(-1);6°) Icex.(F(m;(-1;a),F1(x:03):0x),1(x;x; 其中c°为M个资产在t时刻的同期相依关系函数,cx,为资产X在时刻t-1与t时的短期相依关系函 数,°和6x;分别为它们的参数向量 opula函数模型能灵活捕捉时间序列尾部的相依结构和测度,且随机变量在单调增变换下倸持相依结 构和测度的稳定性.对给定Xt-1=x-1,Yt-1=-1的条件下,设条件分布分别xt|Xt-1=xt-1~Fx, yYt-1=3-1~Gy,则(xt|Xt-1=xt-1,yY-1=y-1)的 Copula函数C°(,;6°)是变量U Fx(Xt|Xt-1=xt-1)和V=Gy(YY-1=y-1)的联合分布函数,其密度c°(,;0°)是(0,12上的 Lebesgue可测函数;条件上(下)尾相依系数定义为 r=im{1-2+C°(u,v;e°)}/(1-w)和r=linC°(u,v;")/l 第6期 易文德:基于 Copula函数的组合资产条件相依性模型及其应用 1007 其中w是条件分布函数值 4三阶段准极大似然参数估计 对于边缘分布的参数估计已有较多的估计方法在此结合模型(3)介绍极大似然估计方法,估计步骤分 为三个阶段,称为三阶段准极大似然参数佔计法国式(3)的对数似然函数为 M !()=lco(a,6x,0°)+∑(a,x)+∑ lc(a,0x,0°)=∑C(F1(1;|X1,(-1)=x1(4-1),…,F(x,:|XM,(-1)=mM、-1);0”), (a,6x,)=∑cx(F(x;(1y;a),F(x;a);0x), ∑( 其中O=(a,0x,0°),a=(a1,a2,…,aM),Ox=(0x1,Ox 第1步估计边缘分布F1(x1,:a1),……,FM(xMt:aM)的参数a1,a2,…,aM.如果a1,a2,…,aM是 自由变化的,则估计值为 er=arg maxiMa (ai)=arg max >fi(ai t; ai) 如果a1,Q2,…,cM不是自由变化的,则伟计值为 a= argmax ∑lMn(a)= arg max∑∑(x;ia 边缘分布F1(m1,t;a1),…,FM(mM,t;0M)的佔计还可以应用非参数佔计,如经验分布和核密度佔计方 法等.本文的边缘分布用核密度估计方法 第2步在第一步得到了各边缘分布的参数估计a=(a1,a2,…,aM)后,估计各短期相依结构 x,(( ),F1(x;;a);0x) 的参数6x1,…,6xx.如果θx1,…,Oxx是自由变化的,则估计值为 arg maX )=arg max>cx: (Fi(avi,(t-1; ai),Fi(cn, t: a,);0x) 如果6x1,…,xM不是自由变化的,则估计值为 M T 0x=angm∑l(G,0x)= argmax∑∑cx.(F1(x1(-1;0),F1(x,t;);0x) 第3步在前二步得到了参数估计a=(a1,…,aM),Ox=(x1,…,Ox)的基础上,估计各资产收益 序列的同期相依结构的参数,其估计值为 arg max arg max∑(f(xt|x1(-1)=x1,t-1),…,FM(x,|xMm,-1)=xM(=1);6”) 5 Copula模型的拟合优度检验 个 Copula函数模型是否合适描述随机变量间的相依关系,要对 Copula函数的拟合度进行评价.拟 合优度的检验方法很多,本文应用了下面两种检验方法 ①根据 Copula理论,若C(u,v)是一个描述随机变量X和Y的相依关系的 Copula函数,则Y|X=x 的条件分布为(0,1)上的均匀分布.由关系 H (YX=w)=C1(F(a).G() 1008 系统工程理论与实践 第31卷 则C1(,0)=m应是独立的且服从(0,1)上均匀分布.根据 Copula理论的这个性质,可以通过 判断 Copula函数的一阶偏导数C(vku)和C(u)是否是独立的和服从(0,1)上的均匀分布来检验模型 对样本分布拟合是否允分.因此,拟合优度检验问题转化为一元分布的检验间题,运用 Kolmogorov-Smirnov (K-S)检验和QQ图检验一元分布是否服从(0,1)均匀分布,序列自相关检验来判断一阶偏导数序列是否独 立,以此来评价模型的拟合优度. ②如果边缘分布序列{U}和{V},t=1,2,……,T都是服从iid(0,1)上的均匀分布, Copula函数相依 模型的拟合优度检验可以应用ⅹ2检验方法.构造x2统计量:把区域[0.1]×0,1分成m×m个单元格,记 第i行第j列的单元格记为A1,i,=1.2,……,m.设O1,E1(δ)分别是数据点落在单元格Aa1中的观察点 数和由模型(5)计算预测的数据落在单元格Ay中的频觐 E;( 其中 aclu. v: S 因此,ⅹ2统计量为 ()-∑∑ O;-;(0 E(5) 检验统计量x2(6)服从自由度为(m-1)的卡方分布.在实际应用中,通常将观测点较少(<5)的单元格 合并(观测点太少会影响检验的有效性),如果模型中有p个参数,q个单元格被合并,那么ⅹ2统计量的自 由度为(m-1)2-p-(q-1).显然,统计量x2(6)的值越小模型拟合数据越好对显著性水平a,如果 2(6)>x2 (a,(m-1)2-p-(q-1)2 则拒绝原假设,认为模型(5)不适合描述序列间相依关系 6实证分析 6.1数据及其统计描述 选取沪深股市指数对数收益率为研究对象股票日指数对数收益率{RL}定义为 RL , t ,t m2,-1 其中{Pm}为日收盘指数序列,m代表沪市和深市t=1,2,…,T.因为1996年12月16号起沪深股市实 行涨跌幅限制,因此选取样本时间段为199701.02-2009.07.17,共3019个数据.表1是这沪深两市日指数对 数收益率数据的统计特征分析表和单位根检验的ADF检验值.从表中我们可以知道各序列的统计特征,各 序列都是有左偏和高峰现象,且拒绝正态分布假设,经单位根检验,ADF检验统计量在显著性水平0.01下显 著,因此两序列都是平稳序列.认为两时间序列是一阶平稳的马尔科夫序列,因此满足短期相依模型的条件 表1沪、深股市日指数对数收益率的统计分析表 项目 均值 标准差 偏度 峰度 JB 值 ADF检验 SH(RL) 0.0002 0.0076 0.1735 7.3494 2394.79×* 55.2773** ZH(RL) 0.0002 0.0083 0.1409 6.5944 1635.18** 24.7741** 注:**表示为0.01水平下显著 62边绿分布的估计 构建 Copula模型的第一步是选取一个恰当的边缘分布,选取较好的模型边缘分布是正确构建 Copula 函数模型的重要前提.这一步也是三阶段准极大似然估计的第一步,这里用非参数核估计方法估计各标准 残差序列的边缘分布.非参数核( kernel)估计是非参数估计方法中应用较广泛的一种估计方法,这样估计 得到的核密度函数对样本的拟合度高,能够较好地描述变量的无条件边缘分布.核密度估计方法的步骤 般分两步:确定核密度函数k();寻找最优窗宽h.核函数有很多,但当样本数量较大时,核密度函数的选 取对估计结果影响不大,因此本文选取光滑性良好、应用较广泛的正态核函数,其核密度函数为:k(x)= veT CXP 甲(号)对于样本m,t=1,,T在点a处的分布函数F()的估计值为:F()= h∑1(元).其中函数()和()分别是标准正态分布的密度函数和分布函数,h为窗宽窗宽的选 第6期 易文德:基于 Copula函数的组合资产条件相依性模型及其应用 1009 取采用 Bowman于1997年提出的最优窗宽h选取方法:hm=1.06T-15,其中合=mam(r=u 是样本标准差的估计值,为序列{x=1的中位数经计算沪深股市指数对数收益率的最优窗宽分别为 0.0012和0.0013,图1是沪深股市指数对数收益率用正态核密度估计方法积分变换后的序列的Q-Q图,检 验其是否为(0,1)均匀分布,从图1可以看出,所得的边缘分布能较好地拟合标准残差序列数据 图1沪深股市指数对数收益率用正态核密度估计方法积分变换后的序列Q-Q图 63沪、深股市指数对数收益率短期相依结构 完成了第一阶段的参数估计,得到了沪、深股市指数对数收益率的边缘分布,通过概率积分变换转换成 (0,1)均匀分布.下面进行第二阶段有关各市场的短期相依结构的参数估计,短期相依结构的模型取由式(4) 给出的混合 M-Copula函数模型,假设各序列模型的参数是自由变化的,由极大似然估计方法估计模型参数, 表2为参数估计结果,图2和图3分别为沪市和深市指数对数收益率的边缘积分变换后的散点图、短期相依 结构模型概率密度表面图和由短期相依结构模型计算的条件概率与均匀分布的QQ图.通过拟合优度检验 方1检验(省略)、模型适合描述两市场收益率的短期相依结构,由表2和图2、图3可知混合 M-Copula 函数模型中的 Gumbel函数的权重系数最大,Frak函数的权重其次且函数参数为负值,因此各市场指数对 数收益率的短期相依结构表现为上尾高于下尾,且混有负的相依现象.经过短期相依结构模型对序列的短期 相依拟合,可以消除或降低边缘分布序列的阶序列自相关性.即由短期相依模型计算的序列条件概率的序 列无一阶序列自相关性 表2沪、深股市短期相依结构的混合ⅵ- Copula模型的参数估计值 金融时间序列 权重系数 相依参数 w2 2 0.4991** 0.1358** 0.3651 1.3222** 3.0911* SH (0.1601) 0.0524) (0.1108) (0.5128) 2304 0.6048*本 ZH 0.1604 0.2248 1.1974* 0.7206 5.3751* (.1161)0.0828) (0.0625)0.3836) (1.139) 注:括号中数值为估计的标准差;“*”和“*”分别表示在显著水平5%和1%下显著. 从图中可以看到两金融时间序列短期性相依结构是复杂的,当然形成这种复杂相依结构的原因也是多方 面的,我们可以从投资者的角度对这种相依结构进行一定的解释:两金融时间序列的短期性相依都表现为混 有正相依和负相依的混合相依特征;正相依结构反映在证券交易时表现为今天下跌而明天也下跌、或今天上 涨而明天也上涨的连续惯性,说明投资者有追涨杀跌的交易行为;而负相依结构反映在证券交易时今天下趺 而明天上涨、或◇天上涨而明天下跌的交替性,说明投资者有下跌补仓和获利了结的投资行为,投资策略表 现为波段操作的技术手段.但对于比较大的利空和利好消息,也反映出投资者跟风的心里.对较大的利空市 场岀现暴跌行情时,投资者会感到恐慌,会釆取跟风杀跌的行动;而对于较大的利好消息市场出现暴涨行情 时,投资者又会采取跟风追涨的投资行动,但杀跌和追涨的尾部相依性又表现出非对称性,即对等量利空和 利好,杀跌和追涨的程度不一样.这表现在尾部相依的存在和非对称性.从各图形的相依结构中我们基本能 读懂图形反映的信息 1010 系统工程理论与实践 第31卷 沪市搾数短期相依 密度表面图 品 (b) 图2沪市指数收益率滞后一阶散点图、短期相依混合M- Copula密度 表面图和由短期相依模型计算的条件概率对均匀分布的QQ图 市指数短期 密度表面图 图3深市指数收益率滞后一阶散点图、短期相依混合M- Copula密度 表面图和由短期相依模型计算的条件概率对均匀分布的Q-Q图 6.4沪、深股市指教对数收益率同期相依结构 为了说明模型的优越性,对沪深股市指数对数收益率冋期相伈结构的硏究采用了两种方法,以便于模型 的对比.一种是考虑了单个市场时间上的短期相依关系,即应用模型(3)研究两市场的同期相依结构;另一种 是没有考虑单个市场时间上的短期相依关系,即直接由两市场指数对数收益率的边缘分布研究的同期相依结 构.结合两市场指数对数收益率积分变换后序列散点图(图4、5左)的相依特点,两种方法的同期相依结构 模型都采用由 Gumbel函数和 Clayton函数混合而成的(5)式,它能灵活描述上下尾的非对称相依和正相依 结构模型参数的估计为极大似然估计法,.用模型(3)时为第三阶段的极大似然估计法 表3列出了两种方法的参数估计值,模型中的( umbel数的权重系数明显大于( Clayton函数的权重系 数,表明沪深股市的同期相依结构更多的表现为 Gumbel函数上尾高的结构特征,从图4、5中可以看出,两 市的冏期相依呈现上尾略高的较强的正相依结构.说明两市场有很强的联动性,价格波动和趋势比较一致, 上尾高的非对称性说明对等量利空和利好,杀跌和追涨的程度不一样,投资者更愿追涨这与以前的研究下 尾高的结果有点矛盾,可能是因为数据的选取问题,本研究数据区间是在市场处于整体上涨期间.如果是这 个頂因、相依结构的非对称性与市场表现有关系,上涨期问表现为上尾比下尾高,下跌期问表现为下尾比上 尾高.从参数系数和图形来看,两种方法没有太大的差別,原因是单个市场的短期相依程度比较微弱,如果单 个市场的短期相依性增强,两种方法的差别会更明显 第6期 易文德:基于 Copula函数的组合资产条件相依性模型及其应用 1011 表3同期相依结构混合 Copula模型的参数估计值 是否考虑沪深指数收益率短期相依结构 权重系数 相依参数 考虑短期相依 0.6342米 4.2847* 4.2847*米 0.3658 (SH, ZH (0.0255) (0.1202) (0.2436) 不考虑短期相依 0.6243* 1.38 18110** 0.3757 (SH, ZH) (0.0253) (0.1218) (0.2313 注:括号中数值为佔计的标准差 沪深股市考虑短期相依关系率积分后散点图 沪深股市同期相依结构模型概率密度表面图 图4考虑短期相依关系沪深股市收益率概率积分后的散点图及同期相依结构模型概率密度表面图 沪深段訂不考虑斯相依关系概率积分后的散点图 沪深股市同期相依结构模型概率密度表面图 图5没有考虑短期相依关系沪深股市收益率概率积分后的散点图及同期相依结构模型概率密度表面图 表4刎出了沪、深股市的短期和同期相依测度,以两种方法计算其相依测度,一种是指数对数收益率观 测数据计算,另一种是由 Copula模型根据式(7)计算.可以看到两种方法计算的 Kendal和 Spearman相依 测度是比较接近的,而两种类型的相依结构都表现为上尾比下尾高的非对称特征 表4沪、深股市的短期和同期相依测度 相依类型 市场与计算方法 Kendall Spearman上尾相依下尾相依 沪市 数据计算0.02200.0309 单个市场的短期相依测度 模型计算0.02500.0372 0.11430.080391 深市 数据计算0.03150.0461 模型计算0.0344 0.0515 0.1307 0.0613 两股市的同期相依测度沪市与深市数据计算0.7481 .9075 模型计算0.72810.8999 0.5231 0.3672 1012 系统工程理论与实践 第31卷 65模型的拟合优度检验 由极大似然估计方法得到模型的参数,代入模型(5)求出各股票市场相对应的 Copula函数的一阶偏导 ({a)和C°(aul)序列,检验其是否服从iid(0,1)上的均匀分布.对各序列作自相关检验判断其独立 性,与均匀分布的QQ图检验其是否服从(0,1)上的均匀分布图6给出沪深股市指数对数收益率在考虑 各市场自身短期相依情况下的同期相依模型的一阶偏导序列对均匀分布的检验Q-Q图,从图6可以看出两 个一阶偏导序列服从(0.,1)上的均匀分布;经自相关检验,各序列接受无自相关,因此是序列独立的(没有考 虑短期相依情况检验结果从略).认为模型(5)能够摧述各市场收益率和交易量变化率之问的相依关系 Theoretical Quantile-Quantile Theoretical Quantile-Quantile 1.2 1.0 0.8 4 0.2 0.0 0.2 0.00.20.40.60.81.0 CVUMCOPTENMCOP CUVMCOP TEMMCOP 图6沪深股市指数对数收益率同期相依模型的一阶偏导 C°(v|)和C°(u”)序列对均匀分布的QQ图 为了进一步检验模型描述数据相依结构的充分性,以及是否要考虑短期相依情况的必要性,再经过ⅹ检 验,检验统计量见表5,除一个检验统计量的值外,表中计算的x2统计量都小于显著性水平为5%时的临界 值根据第2节介绍的ⅹ2检验方法的原理,因此认为这两种方法都能应用模型(5)描述两市场收益率的同 期相依结构.但考虑短期相依情况下的x2统计量明显小于没有考虑短期相依情况下的ⅹ2统计量,说明考 虑了单个市场短期相依情况下的模型能更充分地拟合两市场的同期相依结构,能提高模型的拟合效果 表5x2检验统计量 14 16 18 5%的临界值22.362038885155.7585779305973510117.6317145.4607164,2162 考虑短期相依17189319.181023.946733.270945.86115298870.303467.2116 不考虑短期相依43.304531.946447.599046.158877.829173.296882.5668855281 结语 资产价格时间上的前后关联性和资产间的相互影响,即单个资产的短期相依关系和资产间的同期相依关 系是组合资产两类主要的相依关系.考察组合资产的相依性时应同时考虑这两种类型的相依关系,融合这两 类相依关系是研究组合资产相依性的关键.本文先考虑单资产的短期相依关系,建立短期相依 Copula函数 模型,结合条件慨率理论,再融合资产间的同期相依关系建立 Copula函数相依模型.应用三阶段准极大似然 估计方法对模型的参数进行估计,ⅹ2检验方法对模型的拟合优度进行模型优度的比较 通过对沪、深股市指数对数收益率的实证研究表明:沪、深两市都存在时间上的短期相依关系但相依程 度较弱,研究两市的同期相依关系时不可忽视市场自身时间上的短期相依影响.各市场的短期相依结构和两 市的同期相依结构都表现为上尾高于下尾的非对称的尾部相依特征,各市场的短期相依结构较复杂,既有正 相依又包含有负相依结构;两市的同期相依结构表现为较强的正相依结构及非对称的尾部相依特征. 参考文献 Nelsen R B. 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