论文研究-层次分析法中几种标度的比较.pdf

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论文研究-层次分析法中几种标度的比较.pdf,  提出了用保序性、一致性、标度均匀性、标度可记忆性、标度可感知性、标度权重拟合性等标准,综合评价层次分析法中的不同标度;并用上述标准对现有的几种标度进行了比较,结论是:对单一准则下的排序,各种标度法都具有保序性,因而建议使用1~9标度;对精度要求较高的多准则下的排序问题,建议使用指数标度e0/5~e8/5或e0/4~e8/4.
第9期 层次分析法中几种标度的比较 表1几种标度的描述 区别同样重要微小重要稍为重要更为重要明显重要十分重要强列重要更强列重要极端重要 1 标度 6 9/~919/ 9/8 9/7 9/4 9/3 )/2 标度 (1)(1125)(.286)(1.5004(1800)(2250)(30004(4500 10/1018/210/1011/9 12/8 13/7 4/6 15 16/4 标度 (1) 122)(1.500)(1857)(2333(30004(4000( (9) 9 9 (629)(2080)(2655(3389)(4327)(5523)(7 标度 (1)|(1414)(200(2828)(4000(5657) (1l314)(16) 4/4 标度 (1.284)(1.649)(2117)(2718)(3490)(4482)(5755)(7.390) 0/ 2/5 3/5 85 标度 (1)(121)(142)(1822)(2226)(2718)(3320)(40553 注:表1中后三个标度是作者筛选出来的,并且指数标度99~9与侯岳衡笔的指数标度9~9略有不同;郭鹏等7 提出的分数标度实际二和10/10182标度相同,故未其刎入本表 根据以上关系,可以得到这九个被比较对象在19标度下的判断矩阵如表2 表2是一个非常典型的判断矩阵,其特点是:对角 表21~9标度下的判断矩阵 线下的第一列就是1~9标度的九个标度值,对角线下 A1|A2A344A5A6A7|A8A9 的第二列比第一列少一个数9(最大标度值),以此类 ⊥||1|工 推,对角线下倒数第2列为1、2 根据例1中被比较对象之间的关系,同样乜可以 A22|1 得到被比较对象在表1中其它标度下的判断矩阵,其 规律与1~9标度下的判断矩阵相同,此时只要把表2 A33「2|1 中对角线以下的标度值(1~9标度下),换成表1中其 它标度下对应的标度值即可由于篇幅关系,这里就不41432|113411 再一一列出,但后面计算权重时实际上要用到不同标 度下的判断矩阵 对例1建立了不同标度下的判断矩阵之后,下面 A66 研究保序性问题 321保序性 A7765432;L⊥ 2|3 所谓保序性,是指根据某标度(建立判断矩阵, 求其最大特征对应的特征向量,并以该特征向量的各 87654|3 分量作为被比较对象的权重)得到的被比较对象的排49876 序结果,能真实地反映被比较对象之间的原来的次序 关系 用数学话言描述保序性如下:对某一排序决策问题D,有n个被比较对象A1,A2,…,A,它们在准则 C下存在一个客观次序R(不失一般性,设这n个对象在准则C下依据重要性的大小,从小到大的次序关 系R是:At,A2,…,A),现利用某一标度S(有若干个标度值)对该问题进行排序,假定人们利用标度S对 问题进行排序时能做出正确判断,如果得到的排序结果与该问题的客观次序R难同,则称该标度对该 排序问题具有保序性 根据以上定义,下面硏究例1中儿种标度的保序性·为∫饼究各标度的俫序性,需要计算例1中9个 被比较对象在不同标度下得到的判断矩阵最大特征根及所对应的特征向量(作为被比较对象的权重),结 o1905-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 54 系统工程理论与实践 2004年9月 果如表3 表3不同标度下所得的权重(AHP法) 不同标度下的 9/99/10/10-18/2y-92~2%2 权重(HP法)标度 标度 标度 标度 标度 标度 标度 A wI Q01834 Q04654003661 003448 001916 Q03346 004385 A y2 Q02473 005881 004750 Q04415 002708 Q04297 Q05356 A w3 Q03501 Q07136 006022 005636 003831 Q05517 Q06540 A v 4 005067 008452 007529 007195 Q05418 Q07085 007989 A 007385009889009350Q09184 Q07661 Q09095 009756 A e w6 Q10750 011545011603a1122010835011678011919 7 M 7 Q15546 Q1362501495014963015321 Q14996 Q14557 A s y 8 Q22234 016603 018399 019099 021667 Q19258 Q17781 y 9 Q31210 022214 024191 Q24338 030642 Q24723 021716 由表3可知,被比较的9个对象在不同的标度下所得到的权重是不同的,但对仟何一特定的标度(如 1~9标度),权重又都具有如下性质:W>Wk,当k时(即下标小的权重小)由此可见,对例1中的排序 问题,各种标度都具有保序性 事实上,对例1中的各标度的保序性,我们也可以从理论上加以证明·证明如下: 对于任一判断矩阵A ai)nx 根据文献[12,13]中的相关定理,当a≥a,j=1,2,…,n,就有W≥Wk而对本文所给的例1,用表3 中的几种标度建立起来的判断矩阵4都满足a>w,当讠k,j=1,2,…,9·由上述定理可知,对例1中 的排序,当k时,都有宀W,即下标小的权重小.可见,用各种标度法对例1排序,只要人们能做出正 确的判断,就能得到正确排序,即各种标度对例1中的排序问题都具有保序性·.证毕 根据对例1的讨论,可以得到如下结论: 结论1对单一准则下的任何排序问题,所有标度法都具有保序性 结论1表明:在单一准则下,对任何问题的排序,用以上几种标度都可以得出正确结果(只要判断正 确)·因此,若不考虑其它特性,在单一准则下,以上几种标度无优劣之分 注1这里所谓的“判断正确”或“正确判断”是指能正确判断被比较对象之间的“人小关系”,并给定 某个标度值,但不一定非要给定精确的数量描述事实上,凡是符合下列赋值(标度值)的判断都属于“正确 判断”或“判断正确”,即当某一个被比较对象A比被比较对象A“重要”时,我们给定的标度值a大于1; 当某一个被比较对象A与被比较对象A同等重要时,我们给定的标度值a等于1;当被比较对象A;没 有被比较对象A,重要时,我们给定的标度值a小于1可见,这里对“正确判断”或“判断正确”的要求是比 较低的,也是容易做到的 进一步考察多准则下的排序问题可以发现,不同标度得到的综合权重不仅不同,而且排序结果往往也 是不同的·因此,从某和意义上来说,对于多准则下的排序问题,各种标度都不一定能够保序·由于多准贝 下的排序结果不仅与标度有关,而且与各准则的权重(往往由决策者直接给出,有时也可以用AHP法给 出)有关,因此,多准则排序问题更加复杂,所以,个文不打算也不企望用多准则的排序问题的有关指标 作为研究标度合理性的依据 322一致性 致性本来是用于描述矩阵自身特性的概念·其定义如下:矩阵A=(an)n×n,如果对任意的k(k=1, 2,…,n),等式a/=a×a都成立,则称矩阵A为一致性矩阵 2 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 第9期 层次分析法中几种标度的比较 5 层次分析法中引入一致性概念,主要是用于评判决策者构造出来的判断矩阵是否可以接受·很显然, 如果构造成出来的判断矩阵是一钕性矩阵,则表明:决策者虽然只进行了树两比较,但其做出的定性判断 在逻辑上符合传递性要球,即其所做出的定性判断前后是一致的,因而是可以接受的反之,其所做出的定 性判断在逻辑上不满足传递性要求,即其所做岀的定性判断前后是不一致的,因而需要修正·由于定性冋 题的复杂性,人们对一组事物进行两两比较,所做出的定性判断往往并不能总是保持完全一致,于是,层 次分析法中又引入了一致性指标CR.作为衡量判断矩阵一致性的标准,并规定C.R.只要在一定范围 内,就认为这种不一致性判断矩阵是可以接受的·显然,C.R.越小,则判断矩阵的一致性越好,当C.R.等 于零时,判断矩阵是完全致的 致性指标C.R.的计算方法如下: C.D.= C. R R 其中,R.L是给定的统计意义上的常数 毫无疑问,判断矩阵的一致性与决策者个人判断是否能保持逻辑上的一致性密切相关·然而,进一步 分析不难发现:对同一个排序问题,即使是同一人,做出的定性判断也相同(如稍为重要、明显重要等),如 果运用不同的标度求解,得到的判断矩阵的一致性一股情况下都是不同的·可见,判断矩阵的一致性与柯 度本身乜有关·基于以上分析,本文将典型的排序问题(见例1)、用不同标度求解得到的判断矩阵的一致 性作为衡量标度优劣的一个重要指标 下面对例1中不同标度下构造出来的判断矩阵的一致性进行比较·由于例1中不同标度下的判断矩 阵的阶数都相同(n=9),因此,只需要比较C:.(见表4),就可以知道哪一个标度下判断矩阵的一致性更 较好一些(C:绝对值越小越好) 表4不同标度下所得的最大特征根及C:L.(AHP法) 不同标度下最大 9/99/110/0-18/29-9 0/48/4 特征根及CI 标度 标度 标度 际度 标度 标度 标度 940198901381 902452 903663 900096 99996 899989 C/ 005025 Q00173 00030l Q00458 0000l2 Q00001 Q00001 从表4可以看出,各种指数标度下的C.′都较小(除9"9标度外),1~9标度的C.最大,分数 标度(即9)9标度和1010-18/2标度)的C.4介于两者之间.由此可以得出结论2 结论2各种指数标度法的一致性最好,分数标度法的一致性次之,1~9标度法的一致性最差 注2从理沦上说,表4中所列出的各种指数标度下的C..都应该为零,因为在例1中,各种指数标 度下的判断矩阵都具有完全一致性.之所以不为零,是由于计算误差造成的.同理表4中9~9标度 下的C.L,比10/10~18/2标度下的C.L大,也是由于计算误差造成的,因为该指数的底为9,比较大,所 以计算误差也大·此外,需要特别指出的是:例1中,不同标度下得到的判断矩阵都满足一致性检验(C:R. <01)因为1~9标度下的CI最大,但它的CR.=003438(R.I=14616,参见文献[12]),小于Q1 故满足一致性检验 323标度均匀性 所谓标度均匀性,是指在某一标度下,所有相邻的两标度值的差或商的值大致相等的程度 显然,对一个特定的标度,如昊其中某两个相邻的标度值的差或商,比该标度下其它两个相邻的标度 值的差或商大得太多,那么这种标度就不是很合理·因此,标度均匀性可以作为衡量某一标度是否合理的 重要标准 为了研究标度均匀性,现给出以下儿个定义: 2 01995-2005 TSinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 56 系统工程理论与实践 2004年9月 定义1某一标度下相邻的标度值差d;为: i+1;i=1,2,…,8, 其中,s;s,为某一标度下相邻的两个标度值 定义2某一标度下相邻的标度值商D;为 D j=i+1;i=1,2,…,8. 其中,s、s,为某一标度下相邻的两个标度值 定义3某一标度下标度值差的距离(记为d),为该标度下最大标度值差与该标度下最小标度值差的 差 d=maxi dis- m in( dy i 8 定义4某一标度下标度值商的距离(记为D),为该标度下最大标度值商与该标度下最小标度值商 的商 D=max()/m in Dii, j 显然,对于某一标度,如果所有的d(=计+1,i=1,2,…,8)都相等(此时d=1),则该标度值差的均 匀性好:如果所有的Dn(=计1,1,2,…,8)都相等(D=1),则该标度值商的均匀性好因此,如果只考 虑单项指标d或D,那么,d=1或D=1(或者是否近似等于1),就可以作为该标度的均匀性判断标准.然 而,对于某一标度,只考虑单项指标d和D有时并不合理,所以,还必需综合考卮指标d和指标D·为此, 引入平衡性指标b 定义5某一标度的标度值距离的平衡值为d或Da的最大值,即 b= m ax(d, D/d) b之所以称为平衡值,实际上反应了决策者并不希望d比D(或D比d)大得太多,同时又不能相差太 小·如果d比D大得太多,将会导致标度权重(见定义8)过于集中在等级较大的标度值上·比如指数标度 10~103,b=10,标度值108的权重为Q9,显然不合理.即使d比D大得不是很多,但若超过一定范围 (相对而言),也将会导致等级差很不均匀,比如标度9/9/1,其D=D921=2/1125=1778;d=d9 d2-=45/0125=36,b=25.此时,极端重要与更强列重要之间的等级差是同等重要与黴小重要之间的等 级差的36倍,显然也不合理·同样,如果差别太小,即b接近1,也不合理·比如取标度为1.00000 1.008此时不仅标度权重过于平均,而且无论从心理上还是从感觉上人们根本无法区分这些标度值, 更谈不上用它们作为心理上的判断标度·因此,只有当b取值适中,标度才比较合理·研究表明:b在11 到20之间标度均匀性比较理想:b在21到60之间,标度均匀性比较好;b取其它值,标度均匀性比较 差 根据以上指标,现分别考察几和标庋的均匀性 对于1~9标度,所有的d都相等(d-1,-计+1,-1,2,…,8,故d-1),因而1~9标度的标度值差 的均匀性好;但其标度值商的均匀性就不如其标度值差的均匀性好,因为D2=s/s1=2/=2,D2=s3/s2 9/8-1125,所以D-D2/-21125-1778.故b D/=1.778b值较理想 对于999/标度:d=d/21=45/125=36,D=D9/2=2/1.125=1.778;故b=max(d/ ,D/a)=d=20250.b值过大 对于10/10~18/2标度:d=d9/l21=45222=2025,D=Ds21=1.778/12221455;故 max(d加,D/)=d=2Q25/455-13918·b值过大 对于9~9标度:d=d9/a=1702/277=6,所有的Da都相等O=L27),因此,D=1;故b max(d,D/)=d=6.b值适中 对于22~28标度:d=d/21=4686/414=11319,所有的D都相等O=1414),因此, =1;故b=max(,Dh)=db=1l.319.b值过大 对于c~e"标度:d=dls/d21=1635/284=5570,所有的D都相等(D=1284),因此,D=1; 701995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 第9期 层次分析法中几种标度的比较 7 故b=max(d/,D/)=d/=5570·b值适中 对于c~c%标度:d=d/a21=Q898221=4063,所有的D都相等ODa=1221),因此,D=1 故b=max(d,D)=d=4063.b值适中 不同标度下的dD、b列表如表5所示 表5不同标度下标度值的几和距离 1~9 标度值的几种距离 9/9101018/2y9222cec"e 标度 标度 标度 不度 标度 标度 标度 标度值差的距离 36 20250 11319 5517 4063 (d) (最小) (最大) (较大) (较小) (较大) (较小) (较小) 标度值商的距离L778 l.778 L455 (较小) (较小) (较小) (最小) (最小) (最小) (最小) 标度值距离的平衡值1778 20250 13918 l1319 5517 4063 (b) (最小) (最大) (较大) (较小) (较大) (较小) (较小) 根据表5中标度值距离的平衡性指标b的大小,可以得到结论3 结论31~9标度的标度均匀性最好,9/99/标度的标度均匀性最差,1010~18/2标度和20 28标度的标度均匀较差,99标度、c~标度和c~c%标度的标度均匀性较好 324标度可记忆性和标度可感知性 人们在构造判断矩阵时,往往是一边判断,一边用标度值填写判断矩阵,囚此,标度值是否便于记忆, 是否易于感知(是否便于理解和把握),对问题的分析和求解都很重要这是因为:人们在作判断的时候,不 仅要用‘同等重要”、“稍为重要”这些比较抽象的概念来衡量被比较对象,而且还要用心理上的“倍数关系” (标度值)加以感知,才能得出比较正确和比较一致的判断 定义6标度值可记忆性,是指对某一标度的所有标度值进行记忆的难易程度 定义7标度值可感知性,是指在实际比较过程中,某一标度的标度值是否易于感知、易于把握.即是 否易于操作 由定义6和定义7可以得到结论5 结论51~9标度的标度值便于记忆,易于把握,其标度值可记忆性和叮感知性最好;其它标度的标 度值般都带有小数,因此,不仅难于记忆,也难以把握,因而可记忆性和可感知性都较差 325标度权重拟合性 定义8标度权重,是指对某一标度下的9个标度值(将其看作9个被比较对象的某种度量),用直接 加权的方法求出的9个标度值的权重 定义9标度权重拟合性,是指对某一标度下的9个标度值(将其看作9个被比较对象的某种度量), 用该标度法计算其权重,与用该标度值进行直接加权所得的权重的拟合程度 标度权重拟合性,巾是反映某一标度是否合理的一项重要指标·因为从某意义来说,层次分析法把在 同一数量级上可以比较的客观事物的大小关系仅分为9个等级,即用不同标度下的9个标度值来表示,也 就是用这9个数来度量可以比较的两个事物的大小关系因此,判断这9个数能否比较合理的反映客观事 物之间的关系,最直接的想法就是用某一标度来度量在该标度下的9个标度值,由此得到的权重,与用9 个标度值直接加权所得到的权重进行比较,以其拟合的程度判断该标度是否合理 对于某一标度,令w是第个标度值通过直接加权得到的权重,w是第;个标度值用AHP法得到 的权重,d平均=(-w|+p-w班+…+-w哥,其中和w真为两种方法所求得的权 重差的绝对值·显然,d*均越小,该标度下的权重拟合性越好 下面通过例2对各种标度的标度权重拟合性力以分析 例2以1~9标度为例:假定有一组被比较的对象A1,A2,A3,A4,As,A6,4,As,A,已知它们在 某一准则下的某种度量分别为:1,2,3,4,5,6,7,8,9(比如是长度,单位为米或分米;或者重量,单位为公斤 2 01995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 8 系统工程理论与实践 2004年9月 或斤:或者为大小基本相同的物体,第一堆有1个这样的物体,第二堆有2个这样的物体,以此类推,第九 堆有9个这样的物体).显然,这9个数就是1~9标度的标度值,由于该组事物巳有了度量,因此可以对其 采用直接加权的方法,求其中的某个对象在整体中的权重.结果见表6中的第3列 现让决策者(假定决策者不知道已冇的度量)凭自已的感受,利用1~9标度法来计算它们各自的权 重.假定决策者能够作出正确的判断,那么他得到的判断矩阵应该与前面例1中1~9标度下的判断矩阵 一样,计算其权重如表3中的第3列 对于9/9~9/标度,只要把以上的度量1,2,3,4,5,6,7,8,9,换成其标度值9/(1),9/8(1125) 9/2(45),9/1(9),再分别用直接加权法和9/991标度法求其权重分别见表6中的第4列和表3中 的第4列 对于其它几种标度,作类似的计算,结果见表6和表3中对应的列 表6不同标度下所得的权重(9个标度值直接加权) 不同标度下的权1-9909/100-18/299222 058/5 (标度值直接加权)标度 标度 标度 标度 标度 标度 标度 A 002222 003928 003381 003456 Q01915 003346 004385 A2 N2 Q04444 Q04419004125004412a02709 004297 Q05355 w3 006667 005051 005071 005632 Q03830 005517 Q06541 W 4 008889005891 006278 007190005412 Q07084 007989 y 5 Q11l11 Q07070 007887 009178 Q07661 009096 009758 A 5 W 013333 Q08837 a10142011716010834011680 Q11918 A 015556 Q11783 013523 014955 Q15322 Q14997 Q14557 A 017778 Q17674 019159 019091 Q21668 019257 017780 A 02000035348 030427 024370 Q30643 Q24726 Q21217 根据表6和表3,可计算出不同标度下的权重差的绝对值的平均值d平均,结果见表7 表7不同标度下标度值权重差的绝对值的平均值d平均 9/91100-18/29-922-2%2 48/4 标度 枟度 标度 标度 标度 标度 标度 d平均 003481 0031560015540000000100001 Q00001 如前所述,例2屮,指数标度下得到的判新矩阵是完全一致的,因止,按照理论计算,表7屮的各种指 数标度下的d都为零,乜就是说:用特征向量法得到的权重和直接加权得到的权重是相等的(只需简单 地证明,就可以得出这样的结论) 由表7可以得结论5 结论51~9标度的权重拟合性最差,所有指数标度的拟合性最好,90~91标度权重拟合性和10 10~18/2标度拟合性介于1~9标度和所有指数标度的拟合性之间 结论5也是比较客观的,因为9/9~9/1标度和10/1018/2标度是通过差分得到的 根据以上的比较,现列表如表8 由表8和前面五个结论可知,所有的标度法对于单一准则下的排序都具有保序性,而对于多准则下的 排序都有不一定具有保序性(主要是由于多准则下排序的合成权重不仅要受到各准则下排序权重的影响, 而且还要受到各准则本身权重的影响);而从标度均匀性、可记忆性、可感知性来看,1~9标度都是最好, 但1~9标度的一性和权重拟合性差;所有的指数标度和分数标度的可感知性、可记忆性差,但所有的指 2 C1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved 第9期 层次分析法中几种标度的比较 59 数标度的一致性和权重拟合性都很好,特别是99标度、c4-c标度和3-标度的均匀性也比 较好;分数标度的一鈫性和标度权重拟合性居于1~9标度和指数标度之间因比,对于精度要求不高的排 序问题(特别是单一准则下的排序),建议使用1~9标度;由于多准则下的排序问题对计算精度要求较高, 建议使用c~c标度或c~c"标度(不用9~9°标度,主要是考虑到其计算误差较大) 表8不同标度的相关特性比较 9/9911010~18/29099 持性 标度 标度 标度 标度 标度 标度 标度 保序 保序 保序 保序 保序 保序 保序 保序性 多准则不一定 不一定 不—定 不一定 不一定 致性 差 较好 较好 好 标度均匀性 最好 最差 较差 较好 校差 好效差差好 较好 标度值可记忆性 好 标度值可感知性好 差差 差差 差差好 标度权重拟合度差 较好 较好 差差好 差差好 结束语 本文提出用保序性、一致性、标度均匀性等标准综合评价层次分析法中的不同标度,主要有三个目的: 其一是试图建立一套较为客观的评价标准,以克服目前较为普遍存在的仅以“致性”作为泙价标度优劣 的唯一标准可能产生的弊端;其二是通过对不同的标度的比较.试图帮助人们克服在应用AHP法时在标 度选择上的盲日性;三是防止在标度“创新”(即提出新标度)上的随意性及由此导致的因标度过多而产生 的混乱应当说,本文的示例分析和部分理论证明表明:本文提出的标准是符合客观实际的,给出的在不同 情况下选择何种标度旳建议,在一定程度上可以消除人们在标度选择上的盲目性和困惑,同时,用新标准 对标度的评价也更加全面,因而,对防止在标度上的随意“创新”也会产生一定的作用 需要指出的是:尽管本文得出了若T结论,但是也应该看到,这些结论有的是通过理论证明得到的,有 的是未加证明而是通过分析得到的(如对多准则下排序的有关结论),也有的是通过经验总结得到的,因 此.本文提出的评价标准还有待于实践的进一步检验.同时,还应该看到,对定性问题进行定量化研究,本 身就存在很多主观因素,因此,对AHP法的认识也需要不断深化 参考文献 [I]左军层次分析法中判断矩阵的间接给出法[}系统工程,1988,10(6):56-63 Zuo Jun Indirect m ethod fo r constructing judgm ent m atr ix in ahP[i F Ch inese Journal of System s eng ineering, 1988,10(6):56-63 「2]徐泽水层次分析法中构造判断矩阵的新方法门1系统工程,1997(增刊):204-206 Xue Ze-shui New method for constructing judgm ent m atrix in ahp[I Chinese Journal of System s eng ineering 1997(Supp len ent): 204-206 3」徐泽水层次分析新标度沄J」系统匚稈理论与实践,198,18(10:74-77 Xu Ze-shui A new scale method in AHP[J] Chinese Journal of System s Eng ineering- Theo ry Practice, 1998, 8(10):74-77 [4]舒康,梁镇伟AHP中的指数标度[J]系统工程理论与实践,1990,10(1):6-8 Shu Kang, L iang Zhewei Index num ber scale in AHP[J I Chinese Journal of System s Engincering- Thcory Practice,1990.10(1):6-8 [5]汪浩,马达层次分析法标度评价与新标度方法J]系统工程理论与实践,1993,13(5):24-26 2C1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. 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