论文研究-基于再生核Hilbert空间的非线性信道均衡算法.pdf

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在高速无线通信领域,为消除码间干扰(ISI)必须研究非线性信道均衡技术。基于再生核希尔伯特空间(RKHS)研究非线性信道的自适应均衡算法。首先基于非线性维纳模型提出均衡器的结构,基于RKHS引入核方法,与仿射投影算法(APA)相结合推导出核仿射投影算法(KAPA),再通过引入松弛因子得到改进的KAPA算法。用蒙特卡罗法对提出的自适应算法进行仿真,从收敛性能、误码率(BER)、跟踪能力、计算复杂度等方面与其他算法做比较。在不增加计算复杂度的情况下,极大降低了误码率,非常适合时变非线性信道均衡的应用。
李亮:基于再生核 Hilbert空间的非线性信道均衡算法 2016,52(16)107 支持向量机通过选择不同的核函数实现不同形式 将式(11)、式(12代入式(9)、式(10)得 的非线性分类器,常见的 Mercer核有多项式核和启斯核 1()=(-1)-nU(d()-U()w(-1 (13) (也称径向基核函数,RBF),本文选用斯核 H()=w(-1)+nU(t)U()2+n (,")=exp(-c|n-p U()d(i)-U()w(-1) (14) 为避兔求解特征映射,在非线性自适应滤波中,川计 参考文[2]的矩阵求逆公式,式(14)化为 算核西数来替代计算内积。关于RKHS的更详尽的内容 (i)=w(t-1)+nU()|U()U()+Er 可参考泛函分析的教材或 Alexander smola的专著 d()-U()w(i-1) (15) 3.2仿射投影算法 称递追推式(13)、(15为仿射投影递推公式记做APA-1、APA-2 由非线性均衡器的结构图2所示,设某吋段自适应由式(14到式(15),[U(U(+门替代∫(()2+门], 滤波器输入向量u()和期望响应d)序列为{u()d(D}、简化了计算,这在内核扩展的推导中非常重要。由文[16 {2(2),a(2)}…{(N)(N)},输入信号a的自相关矩阵得,仿射投影的计算复杂度是O(K2M),M是权向量的 Rn=E(u),输入信号u与参考信号d的互相关向量为长度 rn=E(da),这里的E是指求数学期望。根据最小均方33基于核空间的仿射投影算法 误差准则,均衡器的杈向量的解由代价函数(6)确定,这 由于输入信号和参考信号是高度非线性的,由映射 是个最小二乘问题 关系式(4),将r(映射到高维特征空间F屮,记做 J()=min Ed-w'u (6)o(u(i)),简写成o()。文献[5]基于核空间提出仿射投影 其最优解=Rnl,由 Winner-Ho方程求得。 算法,由序列{d(),d(2)…}和{m()n(2)…}估算权向量 均衡器权向量w由学习算法求得,假设w(从某个a,满足 min ed- op(u))2。由式(13)和(15)可得迭代 给定的初始值开始迭代,逐渐使J(m)朝着最小的方向算法,记为KAPA-1和KAPA-2 变化,直到达到一个值使J(w)收敛。考虑梯度下降算 o()=o(i-1+no(ld(-()o(-1) (16 法(也称最陡下降法),它通过给定的杈重系数w快速的 o()=0(1-1+n(lp()中()+]1 执行如式(7)的更新操作 [d()-φ()o(-1) (17) w(0)=初始猜测值 其中φ()=[o(-K+1)…,9(i1,下文对这两个递推公式 w()=v(i-1)+n[rc-R2w(-1) (7)进行分解。 当 Hessen矩阵不正定时,通过a加入松弛因f,得3,31KAPA-1 到 Levenberg-Marguartd算法,见式(8): 递推式(16)直接用梯度下降法求权重,为简化计算, (O)=初始猜测值 选权重初始值o(0)=0:由RKHS理论,任何解m∈F m()=w(-1)+(Rn+D)Tra-Rnw(-1(8)都处在F空间所有训练样本()张成的子空间中,在其 这里,是步长,E是比较小的正数,I是单位矩阵。用张成的空间做投影,其系数记为a(),见式(19),迭代 瞬时值R2=l(m(),r=d(m(代替R、r代入式(7) 0(0)=0 (8),得LMS算法(9) e(1)=nd(1)(1)=a1(1)p(1) ()=w(t-1)+mu(Od()-u()w(i-1 (9) w()=w(i-1)+m(m()u()+I -1=∑a1(-1)m() d(i)-u(i)w(-1) (10) 式(10)称为功率归一化的LMS算法 e(i)=d(1)-中(0)o(i-1 根据文献[6],相对LMS只用当时的瞬时值近似期 o(i)=0(-1)+n(i)e()= 望值,仿射投影算法用最近K个时刻的输入信号和接 收信号估计R、r ∑a(-1)0()+∑e(0)0j+) (18) U(i)=[(-K+1,…,()l2xK o()=∑a09(),v>0 (19) d(i)=[d(-K+1),…,d(i)] 这里x:;=k(n(i),m(),权向量在特征空间展开成式(19 R,=U(c(i) (12)的级数形式。由 Mercer核定义(2)进行向量点积,可以 U()d() 进行核化,得到自适应滤波器的输出。 l08 016,52(16) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 (;k)=0(0()=∑a1(-19k)q( r()=x()-0.9x()+n() (23) 这里n(1)是方差为a2的加性高斯白噪声。选抽头数l=3, ∑a(-1 (20)延时D=0,仿射投影算法用最近的10组输入信号和观 测信号,即K=10。均衡器自适应算法的优劣主要从收 时刻,训练数据向量u()使数据了空间由C(-D扩大敛速度、计算复杂度、误码性能、时变信号的跟踪能力几 到c(),可得此时权向量更新系数在RKHS的投影: 个方面评价。下面进行3组仿真测试,对本文基于核方 a1()=e(i;i) 法设计的非线性均衡器进行评价。 a,()=a1(-1)+e(i;j,j=i-K+1 1 41不同算法均衡器学习曲线及计算复杂度 a,()=a1(-1)=1,2 本节用蒙特卡罗法( Monte-Carlo)在σ=0.1时仿真 C()={C(-1),l(1)} LMS、APA-1、KLMS、KAPA-1、KAPA2算法。做 总结上述过程,得仿射投影算法如下: 50次独立重复实验,得到均衡器系数及均方误差,画出 初始化:学习步长n,a1(1)=d( 学习(收敛)曲线。由图4看出LMS和APA-1算法的学 while输入{n(i).d()}有效do 刁曲线几乎重合,且均方误差都很大,这说明其性能比 a(-1)=0 较接近;KAPA-1和KLMS学习曲线非常接近,与线性的 for k-max(1, i-K+1)to i do LMS、∧PA-1算法相比,收敛性有明显改善;性能最好的 均衡器是基于KAPA-2算法,收敛速度最快而且MSE 计算输出:v(,k)=∑a(-1) 最小。由图4图5,刚开始迭代吋,计算规模迅速增加, 计算误差:e(i;k)=d(k)-y(i;k) 2000次迭代后,眢算法开始收敛,规模增加缓慢。分 更新系数:a()=a4(-1+〃e(:k) 析可得KLMS、KAPA-1、KAPA2的计算复杂度接近, 8000次迭代后KAP∧A-2的计算复杂度咯优于前二者。 if i>k the 1.0 for k=1 to i-k do LMS APA-1 存储系数:a4()=a1(-1) EI KLMS KAPA-2 0.6 end if end while 3.3.2KAPA-2 0 将APA-2递推式(17)分解得功率归一化KAPA算 法,记作KAPA-2,m(在RKHS空间展开,展开系数的 200040006000800010000 更新类与KAPA-1类似。参考文[2]的方法:引入一个扰 teration 动项(也称松炮项)(ε是一个小的正数),得到功率 图4不同算法非线性信道均衡器的学习曲线 归一化LMS改进算法,比NLMS算法数值稳定性吏 120 高。这里,引入KxK的矩阵[G+e对误差e()做 功率归一化,当ε=0时,Φ(iG(i)+el是范数为1的向 量,类比分析得KAPA-2的数值稳定性高于KAPA。文 献[9分析了 KLMS KAPA的算法复杂性为O(K2)。 4D) KAPA KAPA e(1)=d()-o(i)m(-1) (21) 200040006000800010000 G()=(1)(a m()=0(-1)+m(G()+e]le(a) 图5三种核方法均衡器的复杂度 2误码性能比较 4仿真实验及分析 本节用蒙特卡罗法研究不同信噪比下的误比特率 用与文献[10,17]一样的信道模型,定义如下: 用不同的训练序列和发送数据序列进行20次重复独立实 x()=s()+0.5(t-1) (22)验,这里训练序列长度是500,数据序列长度是50000 李亮:基于再生核 Hilbert空间的非线性信道均衡算法 2016,52(16)109 通过训练使得式(6)的代价函数最小,既MSE最小,这样 l60 均衡器的系数接近最佳值。图6给出LMS”、APA-12、 KLMS、KAPA-1和KAPA-2的误比特率性能曲线,这 120 里用归一化SNR,定义为101g(1/3)。由图6可看出在 E80 咔线性情况下用线性算法LMS和APA-1进行均衡,几 乎不起作用。基于核函数的KLMS、KAPA-1和KAPA2 - KLMS 算法比LMS、APA-1有明显的改善,而KAPA-1相对 ---KAPA-1 KAPA-2 KLMS改进并不明显。这是由于本程序只取10个最近 500 1000 1500 2000 的数据做回归,即K=10;若K=1,KAPA-1算法就是 Iteration KLMS算法。KAPA-2相对KAPA-1和KLMS有明显收善。 图8信道突变时(第600次迭代)各算法复杂度的变化 5结束语 非线性信道均衡是克服高速无线通信中码间干扰 问题的关键技术。本文基于再生核希尔伯特空问研究 非线性均衝器的自适应算法,通过加扰动项对核仿射投 影算法进行改进,用 Matlab软件和蒙特卡罗法在非线性 APA-I KLMS 维纳信道上对提出的算法进行仿真,并与LMS,APA -KAPA-1 KAPA-2 KLMS、KAPA等自适应算法在收敛速度、误码性能、时 10 变信道的跟踪能力等方面做对比,验证了基于 RKHS改 Normalized SNR/dB 进的仿射投影算法具有最快的收敛速度、最小的剩余误 图6同算法均衡器的误比特率曲线 差、最好的误码性能,可跟踪不断变化的信号,计算复杂 4.3跟踪性能比较 度比KLMS和KAPA稍优,非常适合时变非线性信道均 本节用图1的非线性维纳信道模型设计均衡器 衡领域的应用。 训练序列长度是2000,发送前600个数据时非线性部分 由式(23)确定:在600个数据后,信道非线性函数突然参考文献: 变成式(24): [] John G. Proakis数字通信[M]张力军,译,5版北京:电子工 业出版社,2011:447-508 r(t)=-x(t)-0.9x(t)2+n(t) (24) 对这几种算法进行100次蒙特卡罗仿真得到学习2张贤达矩阵分析与应用M北京:清华大学出版社,200 440-442 线。由图6可知KAPA-2的跟踪性能明显强于其他儿种 3]李君宝模式识别中的核自适应学习及应用[M北京:电子 算法,KAP∧A-1和KLMS的性能接近。由图7知,KIMS、 工业出版社,2013:9-35 KAPA和KAPA2的计算复杂度接近;第600次迭代信41 Kahphooi s Nonlincar adaptive rbf neural filter with Ly 道特性发生变化时,几科核方法的计算复杂度迅速增 apunov adaptation algorithm and its application to non 加;当图6学习曲线收敛时(1500次迭代后),问题复杂 linear channel equalization [J]. Signal Processing and its 度增加不大且KAPA-2稍优 Applications, 1999,1: 151-154 5 Tian Junxia, Du Liping. Online adaptive nonlinea LMS equalization using RBF neural networks[C]/Computational APA-I KLMS Electromagnetics and its Applications Proceedings, ICCEA APA-I KAPA-2 2004:300-303 16 Engel Y, Mannor s, Meir RThe kernel recursive least- squares algorithm[J].IEEE Transactions on Signal Pro 1.0 cessing,2004,52(8):2275-2285 0.5 [7 Iiu Weifeng, Pokharel P, Principe IThe Kernel least mean square algorithm[J].IEEE Transactions on Signal Processing 500 1000 15002000 Iteratio 2008,56(2):543-554 图7信道突变时(第600次迭代)各算法的学习曲线 (下转120页)

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