论文研究-基于多线性扩展的模糊双合作博弈的支付分配策略模型.pdf

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论文研究-基于多线性扩展的模糊双合作博弈的支付分配策略模型.pdf,  针对参与联盟的局中人具有一定参与度的情形,研究了具有模糊联盟的双合作博弈的支付分配问题. 首先,给出双合作博弈支付分配方案的一般化形式;其次,提出一种由双合作博弈扩展到模糊双合作博弈的多线性扩展形式,进而给出模糊双合作博弈的支付分配策略,并说明该支付分配方案满足有效性、零元性、哑元性、联盟内部对称性、联盟间对称性和单调性
992 系统工程理论与实践 第37卷 证明任意(S,T),(S0,10)∈Q(N).且(S,T)≤(S,T0).如果i∈N\(S∪T),结论显然成立.下面讨论 i∈S∪T的情况 任意K∈P(S0UT0)i),令L=K∩(SUm)),A=Kn(S0U1)(SUT),有L∈P(S∪T)\ A∈P(S0UZ0)\(SUm),K=A∪L,A∩L=0,则 YK; SoUTo OLUA; SoUTo 4∈P( SoUTo)(SUT) A∈P(SouT0)\(SUT) (S0+|70|-|L-|A|-1)!(L|+|A)! A∈P((S0UT0)\(SU (|5+10)! So|+|T|-|S|-|T So|+T0-|S|-1T)(S0+|70-L-A-1)(L+A A|=0 (|So|+|To|) (15|+-|L-1)!L! (|S|+|T)! YL: SUT 由此可得 ∑^K:sumb(S∩(K分),T∩(U)-b(S门1K,T门K K∈P(SUT)a) ∑ I∈P(Sm)A∈P(SN8D、TKmb(Sn(AUD)心),(AUD)U) b(Sn(AUL),Tn(aul)i ∑srb(Sn(Lu.r∩(LUi)-b(S∩L,T∩L L∈P(S∪T)\i) =(b)(S,T 3模糊双合作博弈支付分配模型 3.1模糊双合作联盟 在经典的合作博弈中,假设联盟中的所有局中人都完全参与到该联盟中,为了放松这个约束规则, aubin1 在m人合作博弈中引入了模糊联盟的概念,从此,联盟形成过程中的模糊性被考虑逃来.在模糊合作博弈中, 某一联盟的局中人并非将他们的决策权都亳无保留的交给联盟,或者说,他们不会完全参与到某个联盟中,而 是以一定的参与卒米参加某个联盟 模糊联盟U可以用向量(U(1),U(2),…,U(m)表示,其中U(i)为局中人i在U中的隶属函数(或称 隶属度),取值在[0,1之间.N上的模糊联盟的全体记为(N) 任意U∈(N),SwpU)-{∈NU()>0}表示模糊集U的支撑集.任意SN,记 (),i∈S 0 n\s 显然SU∈J(N),且SU是U的子集,即任意i∈N,SU(i)≤U() 模糊双合作联盟集合定义为Fg(N)={(SU,TU)min(Sv(),1(i)=0,v∈N,U∈J(N),(S,T)∈ Ω(N)}·在模糊双合作联盟中,任意讠∈N,min(Sτ().Tυ(i)-0表示一个局中人不能同时参加模糊联盟 S和υ.当模糊联盟Sυ和饣υ局中人参与度为0或者Ⅰ时,模糊联盟和清晣联盟一致 对于(S,Tv)∈Jg(N),令[Q(N)]={(SU,T)∈Q(N)|Su()=T()=0},对于Q(N)中的 模糊双联盟结构而言,局中人讠没有参与到其中的任何正联盟或者负联盟.〖(S,Tτ):={(S,T)如果j≠ ,则5(j)=S()r(j)=T()或者S(j)=7()=0;如果j=1,则5()=7(j)=0} 32模型建立 定义3.1设N为局中人集合.b为FQ(N)到实数集合R的映射,即b:Q(N)→R,满足b(0,0)=0, 则将b称为具有模糊双合作联盟的合作博弈,b称为模糊支付函数 第4期 孙红霞,等:基于多线性扩展的模糊双合作博弈的支付分配策略模型 任意(S,Tv)∈Jg(N),b(S,TU)是实数,表示N中的局中人以其在(Sv,T)中的参与度共同合作 时所取得的收益为方便起见,本文将具有模糊双合作联盟的合作博弈简称为模糊双合作博弈.JQ(N)上的 所有模糊双合作博弈的全体记为9B(N) 对于模糊联盟而言,其收益值不容易计算.所以在不确定环境下计算双合作博弈的求解是比较困难的,但 是如果可以建立清晰联盟与模糊联盟支付值之间的关系,即:构建经典双合作博弈与模糊双合作博弈之间的 关系,那么问题就迎刃而解.下面给出一种由双合作博弈b到模糊双合作博弈b的多线扩展形式 定义32设双合作博弈b∈9(N),(S,1)∈JQ(N).如果由b扩展的模糊双合作博弈b∈gr(N) 满足如下条件 ∑ ∏maxS(,()} (L1, L2)C(Supp(Su), Supp(Tu))lEL1UL2 (1-max{Sc(),7(})C·b(I12) 则称模糊双合作博弈b具有多线性扩展形式,并称b是对应于模糊双合作博弈b的经典合作博弈.具有多线 性扩展形式的模糊双合作博弈的全体记为9F(N). 注31在式(2)中,当(L1,L2)≤(SwP(SU),SuP()时,(L1,L2)≤(S,T).由于l∈SUT时, max{Su(1),v(l)}-U(1),l∈SUT时,max{S(l),Tv()}-0,因此式(2)可以表示如下 b(S,) ∑ (1-0()}·bL1,L2)(3) (L1, L2)C(Supp(Su), Supp(Tu))(LELIUL ∈(Spp(SUTu)(L1uL2) 在N人参加的双合作博弈中,对于U∈(N),给定模糊双联盟结构(S,)∈JQ(N),当局中人i以参与 度max{Sυ(),σ(i)}参与合作时,根据式(3),局中人i在模糊双合作博究b中的支付分配策略φ(b)(S,1υ 定义如下 定义3.3给定b∈(N),(SU,TU)∈Fg(N).支付分配策略d:9(N)→(R)M定义如下 φa(b)(SU,TU)= ∑ (1U(1)}(b)(L1,L2) (L1, L2)C(Supp(Su), Supp(Tu))(leLIUL l∈(Supp、SUUr)(L1JL2) ∈ 下面给出支付分配方案(b)(SU,T)的其他表示形式 命题31设(57,T)∈FQ(N),b∈93(N),则 0;()(Sr,77)= (1-U()}·0;(b)(S∩R1,T∩R2) (R1,R2)∈Q(Sup(U)9,Spp(U)r)(t∈R1UR2 其中SppU)s和Spp(U)m分别表示包含sp(S)和8p(1)的集合,且Spp(U)s∩Spp(U)r=0, Supp(U)sU Supp(U)s= Supp(U), Q( Supp(U)s, Supp(U)T)=I(A B) AC Supp(U)s, BC Supp(U)TH 证明任意(R1,R2)∈g(SuPp(U)s,Sup(U)),令L1=S∩R1,L2=T∩R2,A1=B1\L1,A2= R2L2.于是有(L1,L2)s(Sup(U)snS,Smpp(U)r∩T),(1,A2)∈Q(Smp(U)s\S,Spp(U)r\T), (R1,R2)=(L ),(L1∩A1,L2∩A2)=(0,0),因此 ∑ ⅠU()Ⅱ(1-U()}(6)snR,TR2) (H1,H2)∈g(Sup(U)s,5pp(U)r)(∈r1UR l∈R1JR ∑ U() (1-U()0}·a(b)(L1,L2) (L1, L2)C(Supp(U)nS, Supp(U)nT)\(LEL1UL2 LE Supp(SU UTU)\(L1UL2) ∑ U (1-U() (A1, A2)E@(Supp(U)s\S, Supp(U)T\T))(LEA1UA2 LE(Supp(U)\(SUTUA1UA2)) 994 系统工程理论与实践 第37卷 (1-U(l) ∈N\(Svpp(U)∪(S∪r)) ∑ (1-U()(:0(6)(1,1 L1,L2)≤(Supp(U)nS,p{U)n)(l∈L1uL2 SupP(SUUTU)(L1UL2 II U() (1-U(1)}·(b)(L1,L2) (L1, L2)C(Supp(Su), Supp(Tu))lEM1ul2 LE Supp(SuUTu)\(liULi) 33支付分配方案的性质 本节主要介绍支付分配方案满足的几个性质 性质31(有效性)设SU,U∈FQ(N),b∈3(N),那么∑:∈N(b)(SC,T)=b(S,TU) 证明任意SU,TU∈FQ(N) ∑9(b(Sr,T) U() (1-U()(b)(L1,L2) i∈N(T1,l2)(Swp7(Su),Sm(T)(∈L1UL 1 g(Supp(Su)Usopp(Tu\(l1ul2 II U( 1-()∑()(LL (L1, L2)C(Supp(Su), Supp(TU))lLELIUL N ∏I (1-U()b(L1,L (L1 L2)C(Supp(Su), Supp(Tu))(Le lg(Supp(s pP(TC\(LiU TU) 定义34任意b∈9r(N),∈N,(S,T)∈[QN)] 1)如果b(S∪),T)=b(S,7U)=b(SU,(7∪),那么称局中人是b在U上的零元 2)如果b(S∪),T)-b(SU,T)=b(SU,(T∪))-b(S,T)=入,那么称局中人是b在U上的 哑 性质32任意b∈sg(N),(SU,T)∈FQ(N) 1)如果局中人i是b在U上的零元,则(b)SU,Tv)=0 2)如果局中人是b在U上的哑元,则φ(b)(S,T) 证明任意b∈9(N),(SU,)∈JQ(N).由命题2.1和命题3.1可得 Pi(b(Su, Tu) U(0)Ⅱ(1-(0)}(6(SnR1,T∩R (R1,R2)∈Q(Sup(U)s,Sup(U)r)(t∈h1∪B2 lERiUR2 IU()I(-C() (R1, R2)EQ(Supp(U)s, Supp(U)T)(LER1UR lgR1∪f 7K:N[b(B1∩S∩(KUi),B2∩Tn∩(K∪分))-b(R1∩S∩K,B27T∩K (5) K∈P(N)\ ∑k: U/(l)) K∈P(N) f1,f2)∈g(Spp(U)s,Sp(U)r)(l∈1U 好R1UR ×b(1∩Sn(KUi),R2∩T∩(K∪a)-b(B1∩S∩k,R2∩T∩K K:Nb(S∩(K∪i),(T∩(K∪)x)-b(S∩K)U.(T∩K)U K∈P(N) 第4期 孙红霞,等:基于多线性扩展的模糊双合作博弈的支付分配策略模型 995 如果局中人i是b在U上的零元,当i∈S时,T∩(KUi)=T∩K,当i∈T时,S∩(KUi)=S∩K, 那么b(S∩(KU)U,(T∩(KUi))-b(∩K)U,(T∩K))=0,因此φa(b)(SU,T)=0. 同理如果局中人是b在U上的哑元那么b(S∩(KU),(Tn(KU)x)b(S∩K)U,(T∩K))=入 因此o;(b)(SU,TU)=入 注32式(5)给出了局中人支付分配策略的另外一种计算方法,即:可以通过式(3)计算模糊双合作博 弈b的支付值,然后再通过式(5)计算每个局中人最终的支付分配额.该计算方法不用计算经典合作博弈b 的支付值 b(5∪x,)=b(U)n,1n),2j∈T时,有b(s,(m)=b(Sn,(TU)),那,∈S时,有 性质33联盟内部对称性)任意b∈92(N),,∈N,(SU,T)∈F(N)如果 Pi(b)(Su, Tu)=,(b)(Su, Tu 证明由式(5)可知 oi(b)(Su, Tu) Km.KMb(5n(KUi),(Tn(KU动))-b(S∩K),(T∩K)U ∑?N|b(S∩(K1)n,(Tn(KU)n)-6(s∩)u,T∩)) ∑ KNb(S∩(Ku),(T∩(KUi)U)-b(5nK)U,(T∩K)) gK,∈K 如果,∈S,则有 p:(b)(Su,Iu)-2: b((sn(K Ui)),(T'n(K Ui)u)-b(s n K)U,(TnK) KCN +2 YR ((sn(KUi)u,(Tn(KUi)u)-b((Sn K)u, (Tn K)uI 仔K,∈K CA K 6((Sn(K Uj))0,Tn(KUj))u)b(s'n K)u, (Tn K)U +2 YK i((S(K j)u, (Tn(KU j)u)-b(Sn K)u,(Tn K) i(b(Su, Tu 同理可得,当,∈T时,如果有b(SU,(∪iU)=b(5,(U)),那么 pi(b)(Su, TU)=;(b)(Su, TU) 联盟内部对称性主要用于描述局中人的无差别性.性质3.3说明在模糊双合作联盟中,如果正联盟或者 负联盟中的局中人讠和j具有相同的边际贡献,那么他们得到的支付分配额也相同 性质34(联盟间对称性)任意b,b2∈9"(N),讠∈S,j∈T且{}U={j}U.如果(S,T)g [(S.T)],有 ((S Uiv. TU-b1Su, TU=b2 Su, TU)-b2(Su (T"Uju) ((S Ui)U: (TUju)-b1(Su, (Tj) (SUi)U, Tu)-b2((s Ui)U, TUj)v) 那么 ci(b1(Su, Tu)=-p(b2)(Su, Tu 证明当a∈S,j∈T时,由式(5)可知 6(0(、)=∑7KN[(5n(Kua,(rF(KU))-b(S∩k(mn(KU)) KCN i,ieK +∑^KN|51(Sn(U),(rn))-b1(S∩k),(r∩k K 996 系统工程理论与实践 第37卷 ∑?KN[(S∩)JD,(∩A)u)-b(snkm(Tnk)u kN|6(5∩K)~),(∩K))-61(S∩K,(T∩ ∑ ∑7KN|2(S∩)ui),(CnK)ujn)=b2(6)uiu,(T∩K)c) 安F ∑ KAN2(s∩K),(TnK)J1)-b2(SnA),(∩K)) j K ESL Yk: b2((sn k)Uj)u, ((Tn K)Uj)v)-b2((sn k)Ui)U, T K)U p:(b2)(Su, Tu) 联盟间对称性说明在模糊双合作联盟中,如果正联盟中的局中人和负联盟中的局中人j具有相同的参 与率,且两个局中人的边际贡献正好相反,那么他们得到的分配绝对值相等,但符号相反 性质35(单调性.任意b,b∈9B(N).如果存在i∈N,对于(So,T)∈Q(N)2满足下列条件 b1(S,7)一b2(S,T), b1((SUi),T)≥b2(S),), b1(S,(T∪i)≥b2(S,(T∪) 那么 (b1)(SU,TU)≥中z(b2)(SU,TU) 证明如果∈S,由式(5)可知 d:(b1)(SU, Tu)-2 TK: N bu(sn(KUi))u,(Tn(K Ui))v)-bu(( n K)U, (Tn K)u ∈P(N)\i ∑飞[1(snkK)uan(mnK))-6(SnK)(TnA)) ∈P() ∑k|2(5n)u,(T∩K))-b2(Snk),(T∩k K∈P(N) oi(b2(Su, Tu) 同理.如果i∈T,那么 φ(b1)(SU,T) ∑7k…N|1(s1k)(Tn)u))-b(Snk),(TnK K∈P(N)\i ∑7K2(s∩K),(TnK)u)-b(SnK)、Tnk) K∈P(N) φ(b2)(SU,TU) 算例分析 现假设有三家制造商在生产中需要同一种微毒半成品,该半成品在生产过程中会对环境产生污染.由于 生产能力有限,该产品需要进口,为了降低成本,三家制造商欲结盟合作进口该半成品.假设三家制造商独 立进口时的成本均为5万元,如果考虑联合进口,由于进口数量越多,单位价格就会越低,则任意两家制造 商合作进口的总成本均为8万元,三家制造商合作进口的总成本为10万元.此时的结盟方式如图1左图 所示,该结盟方式与经典博弈的结盟方式相同,也可以用双联盟表示,此时负联盟用空集表示.令b表示博 第4期 孙红霞,等:基于多线性扩展的模糊双合作博弈的支付分配策略模型 997 弈的成本的函数,则成本可以表示如下b({4},0)=b({2},0)=b({3},0)=5,b(0,{1})=3,b(0.0)=0, b({1,2},0)=b({1,3},0)=b({2,3},0)=8,b({1,2,3},0)=10 随着国际环境的变化,半成品的进口价格有了大幅度的增加,而此时,制造商1具备生产该半成品的能 力.制造商1生产该半成品,除了满足自己的需求外,还可以将该产品供应给制造商2和制造商3.此时的 作模式有了变化,如图1右图所示.在双合作联盟模式中,从环境保护角度看,制造商2和制造商3是正 贡献者,制造商1为负贡献者.制造商为三个企业成本的降低做出了贡献,但是该产品的生产会增加制造商 在污染环境方面的支出.在双合作联盟({1,3},{2})中,假定成本表示为b({2},{})=b({3},{1}=3 b({2,3},{1}=5 制造商 句造商2 制造商1 微毒产品 微毒产品 制造商3 制造商 訇造商3 图1三家制造商合作模式 假定三家制造商的参与率分别为(0.6,0.5,0.4),此时假设模糊双合作博弈b具有多线性扩展形式,则根 据式(③3),b({1,2,3},0)-6.14,b({2,3},{1})-3.68.下面分析不同合作方式下的成本分摊策略.在不同的合 作模式下.根据式(1)计算总成本的成本分摊策略如表1所示 表1a(b)(S,T)值 制造商({1},0)(2}.0)(3}.0)(,2,0)(1.3,0)(2,3},D)(1,2,3},0 123 0 4 0 0 4 制造商(2,0)(30)(041})({2(1})(3,{)(23}0)(231} 050 005 205-2 17 6 0 4 根据式(4)和表1的计算结果,在不同的合作模式下,各制造商的成本分摊额如表2所示 表2不同合作模式下各制造高的成本分摊结果 结盟方式制造商1制造商2制造商3 ({123},0) 2.0 ({2.3},{1})0.61 1.71 1.36 由表2可知基于模糊双合作博弈的成本分摊策略:在三家制造商分别以参与率0.6、0.5和0.4参加合作 联盟时,当三家制造商依赖于进冂时,三家制造商合作的总成本为6.14万元,其中制造商1、制造商2和制 造商3的分摊成本分别为2.5万元、2.04万元和1.6万元当制造商1决定自己生产该半成品时,三家制造 商的总成本和分摊成本均有所下降,此时的总成本为368万元,其中制造商1、制造商2和制造商3的分摊 成本分别为0.61万元、1.71万元和1.36万元 5结束语 双合作博弈是一种基于双联盟结构的博弈形式,双联盟结构是对经典联盟形式的拓展.本文在双合作 博弈的基础上,针对参与联盟的局中人具有一定参与度的情形,硏究了模糊双合作博弈的攴付分配策略问题. 998 系统工程理论与实践 第37卷 提出了双合作博弈扩展到模糊双合作的博弈的一种新的扩展形式,给出了模糊双合作博弈的支付分配方案, 并给出支付分配方案的三种计算方法进而研究了支付分配方案满足的性质 由经典的合作博弈到模糊联盟合作博弈的扩展形式有多种,如多线性扩展形式、 Choquet积分扩展形式、 等比例值扩展形式等.本文仅仅将多线性扩展形式推广到模糊双合作博弈的问题研究中,如何根据实际问题 选择更加合理恰当的扩展形式可作为今后的研究方向 参考文献 1 Bilbao J M. 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