论文研究-基于CVaR准则的Newsboy型商品最优广告费用与订货策略.pdf

所需积分/C币:5 2019-09-20 17:01:04 546KB .PDF

论文研究-基于CVaR准则的Newsboy型商品最优广告费用与订货策略.pdf,  研究了风险厌恶型零售商在面对随机市场需求与广告投入相关时的最优广告投入与订货策略. 通过乘法需求形式将广告投入对需求的影响引入Newsboy问题中, 并以CVaR作为风险度量准则, 建立了风险厌恶型零售商广告投入与订货量联合决策的随机模型; 揭示了风险厌恶程度、需求不确定性以及商品本身特性对零售商最优广告投入
778 系统工程理论与实践 第32卷 22风险度量准则 本文选择条件风险值(VaR作为风险度量准则.(VaR是近年来在经济与金融工程中经常采用的风险 度量,它是基于风险值VaR发展起米的 VaR考虑的是决策者获得一定利涧的置信水平.具体来说.对某一置信水平η∈(0.1,有ⅤaRnx(q,) mnin{2|P(r(,0)≤2)≥m}以ⅤaR为风险度量准则的决策者以求最大化ⅤaRnr(q,),但它有一个非常严 重的缺陷是不便于计算,而CVaR能够较好地解决这一问题. CVaR给出了利润值小于VaR部分的平均值,即 CWR1(,0=E(4)(q,)≤MB1(()=mx{+Emx(g)-,0)}() 由于CVaR便于计算,具有良好的运算特性.η又被称为风险厌恶因子,越小表示苓售商风险厌恶程度 越大,当m=1时,零售商为风险中性.关于CVaR更详细的介绍,可参考[19201 3最优广告投人与订货策略分析 于是,在m-(VaR风险度量准则下,风险厌恶的零售商需要在销售期开始时确定广告投入费用和订货量 的最优取值u*与q*,使得 CVaR{丌(q,)最大化.即 max CvaRn[(, u)l=max maxk(q, u, v)=v+Emin(T(q, u)-v0 q q,0∈B 定理1当给定广告投入费用u>0时,在n-CVaR风险度量准则下,风险厌恶的零售商最优订货量为 G-1( ()F 8 证明对于给定的≥0,在 n-CVar准则下,最优订货量为q()= argmax{maxk(q,x,)};其中, k(q,,v)=”+2Emin(丌(q,)-,0).显然, k (q: u, v) 1 -丌(q,x)]+g(u,x)dx U-p -s(q- c )+cq +utg(,r (U-pq +cq+u)tg(u, a)da 9 下面将根据U的不同取值区间对(9)式分三种情形展开分析: 1)当<sq-cq-u时,k(q,t,0)=v, ak(q, u, v) ≤≤pq-cq-时 v+(c-s)q+u k(q, u, v) v-pT-s(q-a)+cq +u]gu, a). T, Ok(q,1,) 0a 9(a)d-1--c(a,0+(=s)+ 0k(q,u,0) ak (, u, U U=59-cq-u U=pq-cq G(u 3)当7>p-cq-时, 1 ∞ k(q,,0) l-pc-s(q-a)+cq+ u] g(u, a)d. c (U-pq t cq + u)g(u, a)d k(q,,0) 9(t,)d g(u, a)d: <0 由以上的情形1)-3),假设u*(u)为问题maxk(q,,)的最优解,则必然有*(u)∈(sq-cq-,pq-cq- U∈B 成立.因此,对于给定的值,问题maxk(q,,v)存在如下两种情况: U∈ 1)若q2G-(,m,()应使得1-G(u2+=+)=0得o()=(-s1(u,m)-(-s)g-t 则k(q,4,u*()=-(c-8)q (s-p)g(,x)dm,且 ak( da s)<0; 2)若q<G-1(u,m),得t()=p-c-u,则 k(q,,*(x)=(p-c)q (P-8)q-(-8)x]9(,x)da (10 第4期 李绩才,等:基于CⅤaR准则的 Newsboy型商品最优广告费用与订货策略 779 且q 1(p-8)G(u,g) 综上分析,最优订货量q()应满足p-c-(P-8)G(x,g()=0.由此,q(u)=G-1(,n (u)F-1(72-).得证 接下来,我们考虑将广告投入费用也作为决策变量的情况.从定理1的证明可知,对于给定的广告投入 L,在 n-CVar准则下v值的最优取值t(n)=(p-e)q()-.将g(u)=D(u)F-1(m=)、()=pg-cg- 代入(10)式,则可将(7)式转化为关于u的单一变量优化决策问题,即 k()=k(q*(),2,() D(u)F-1(l=) (,)dx -i(nP-c 因此,零售商需要寻找最优的广告投入*≥0使(11)式实现最大化 定理2在m-CVaR风险度量准则下,风险厌恶的零售商最优广告投入费用u*应使下述(12)式成立 D(*) tf (t)dt-1=0 (12) 证明对函数k(u)分别求一阶导和二阶导,得 dk (u) F-1(mz=2) D' f(tdt-1 due D"( f(tdt<0 (14 显然k(u)是关于u的凹函数 所以最优的广告投入费用应满足- 即2D'(x*) F-(7 tf(t)dt-1=0.得证 定理3在ηCVaR风险度量准则下,零售商最优的广告投入费用u*是关于?的增函数,最优的订货 量φ*是关于η的增函数.也就是说,零售商对风险越规避,其最优的广告投入费用越小,最优订货量也越小 证明a)由(13)式,得 D(u tf(tdt+du F p-s tf(t)dt+(p-c n o D'(u) F(tdt>0 (15) 再考虑到+60<0,则根据隐函数求导定理可知u*是关于m的增函数按照CVaR对风险厌恶的定 义,η越小,对应的零售商对风险越规避.从而有零售商对于风险越规避(越小),其最优的广告投入费用 将越小(a*越小) b)由于q*、t*分别需满足(8)式和(12)式,得 q =[D() da F p-C +D( F (16) 11 义因为零售商期望需求D()是关于u的增函数,零售商的最优广告投入费用*是关于m的增函数, 所以4>0,即零售商最优的订货量q是关于n的增函数同理零售商对风险越规避(越小,其最 优的订货量将越小(q*越小)得证 定理4在η-(VaR风险度量准则下,随机需求情形下的最优广告投入费用u*小于确定性需求情况下 的最优广告投入ut4 证明当面临确定性需求X-D()时,零售商的利润函数为(x)-(p-c)D(x)-u.易知,函数rd(u) 是关于u的凹函数由一阶条件可得,此时最优的广告投入费用a应满足(17)式 )D(u2)-1=0 0 系统工程理论与实践 第32卷 且对任意的>tt,有(P-c)D(x)-1<0成立 此外根据(15)式可知42是关于m的严格单调增函数,则 dh(u) p F-1(n2=) D(u) f(t)dt-1 (p-sD(u lf(du f(t)dt (-c)D()-1+(c-s)D(u)-(p-s)D( tf(t)dt (p-c)D()-1+(c-s)D() tf(t)dt-(p-cD( tf(t)di F1( 因为D()F-(m=)(p-c)Jr(=f(t)d-(c-8)Jmf()d=0,所以有, dh(u) (p-c)D(x)-1+(c-s)D'( t-F f(t)dt (P-c)D() f(+) ≤(-c)D(u)-1 (18 显然对于任意的u>t,有“2<0.所以满足方程(12)式的根必定小于得证 定理5在CVaR风险度量准则下零售商最优的广告投入费用*(最优订货量q*)分别是关于商品 单位进价c的减函数、关于商品零售价γ的増函数、关于商品处理残值s的増函数 证明可参考定理3的证明过程,具体证明过程略 表1对以上分析的结论进行了汇总 4数值分析 为说明本模型,下面进行必要的实例数值分析 假设某商品的期望需求函数为D(u)=60000#-000),其中Dm=60000个单位;p=55元/单位, c=36元/单位,s=20元/单位;均值为1的正随机变量ε分别服从均匀分布、指数分布以及正态分布三种不 同的形式 1)E~U(0,2)、即ε在区间[0,2]上服从均匀分布,相应的概率密度函数为 0<t<2. 0,其他 2)ε~e(1),即ε服从均值为1的指数分布,相应的概率密度函数为 f(t) t≥0, 0,其他 3)e~N(1,1/3),即c服从均值为1的正态分布,为保证ε出现负数的可能性极小,故选取其标准差为 1/3.相应的概率密度函数为: c(t-1) ,0≤t<+∞ 第4期 李绩才,等:基于CⅤaR准则的 Newsboy型商品最优广告费用与订货策略 781 表1分析结果汇总表 决策变量 风险中性 风险厌恶 小于确定性需求时的广告费用 小于确定性需求时的广告费用; 小于风险中性时的广告费用; 广告费用 对风险越规避,投入的广告费用越少; 随商品单位进价c严格单调减:随商品单位进价c严格单调减; 随商品零售价P严格单调增; 随商品零售价p严格单调增; 随商品处理残值s严格单调増.随商品处理残值s严格单调增. ()=D()F-1( (0)=D(-(nm=) 小于风险中性的订货量, 订货量 对风险越规避,订货量越小; 随商品单位进价c严格单调减:随商品单位进价c严格单调减; 随商品岺售价p严格单调增: 随商品零售价p严格单调增; 随商品处理残值s严格单调增.随商品处理残值s严格单调增. 在需求无风险情况下,根据(17)式的分析,零售商最优的广告投入为68565元,最优订货量为59947个 单位而在需求不确定的情况下,当n=1时,若c服从均值为1的指数分布,风险中性的零售商最优广告投 入为5780.1元,最优订货量为46845个单位:;若c服从均值为1的均匀分布,风险中性的零售商最优广告投 入为6245.6元,最优订货量为65038个单位:若ε服从均值为1的正态分布,风险中性的零售商最优广告投 入为65777元,最优订货量为62081个单位 当η在区间(0,1)内变化时,η表示零售商对风险的厌恶程度,"越小代表零售商对风险越规避.风险 厌恶型零售商只要能馅对风险参数进行合理的预测和估计,当对于任一给定的n∈(0,1),根据()式和(12) 式,可以很容易地分别计算出对应的最优广告投入和最佳订货批量.图1反映了在CVaR风险度量准则下, 最优广告投入和最优订货批量随风险参数的变化关系即令售商对于风险越规避,其最优的广告投入费用 和订购批量都越小;并且零售商在面对不确定性需求时旳最优广告投入将严格小于零售商面对确定性需求情 况下的最优广告投入 n a)*-n关系 b)q*-m关系 图1在CⅤaR风险度量准则下,风险参数?对最优广告投人和最优订货量q*的影响 此外,若固定=0.8时,分别改变p、C、S的取值(同时保证8≤c≤p关系),最优广告投入和最优订货 量隨它们的变化关系如图2、3、4所示.在CVaR风险度量准则下,最优广告投入u*和最优订货量q*分别 随商品零售价υ增加而增加、随商品单位进价c増加而减少、随商品处理残值s増加而增加. 782 系统工程理论与实践 第32卷 a)-p关系 b)q-P关系 图2在CⅤaR风险度量准则下,商品零售价p对最优广告投人u和最优订货量q的影响 a)*-c关系 b)q*-c关系 图3在CVaR风险度量准则下,商品单位进价c对最优广告投人u*和最优订货量q的影响 a)*-s关系 b)q*-s关系 图4在CaR风险度量准则下,商品处理残值s对最优广告投人u*和最优订货量q*的影响 5结论 本文考虑了在 Newsboy模型环境中,面对随机市场需求与广告宣传投入相关的“季节性商品”,风险厌 恶型零售商在(VaR风险度量准则下的最优广告投入与订货策略.研究表明:1)零售商的最优广告投入和 最佳订货量随着风险厌恶因子的增加而增加,即零售商对风险越规避,其最优的广告投入越小,最佳订货量 第4期 李绩才,等:基于CⅤaR准则的 Newsboy型商品最优广告费用与订货策略 783 亦越小:2)无论零售商是风险中性的还是风险厌恶的,需求的不确定性都致使他们减少广告宣传投入;3)在 CⅤaR风险度量准则下,零售商对最优广告投入和最佳订货量分别随商品零售价p提高而增加、随商品单位 进价c增加而减少、随商品处理残值s增加而增加.这些结果将为企业的运营部门和销售部门的经营决策提 供一定的参考 在供应链环境中有关风险问题的研究还很不充分,需要研究的问题还有很多.例如,存在缺货惩罚时,在 CVaR风险度量准则下零售商的广告投入和订货策略有何不同?供应商和零售商都是风险厌恶的情况又怎 样?这些问题都需要进一步深入探讨与研究 参考文献 1 Porteus E L Stochastic Inventory Theory [M//Heyman D P, Sobel M J. Handbooks in OR and MS, Vol. 2 Elsevier Science Publishers B. V. Amsterdam. The Netherlands. 1990: 605-652 2 Khouja M. The single-period(news-vendor) problem: Literature review and suggestions for future research Omega,1999,27(5):537-553 3 Lau A, Lau H. The newsboy problem with price-dependent demand distribution[J]. IIE Transactions, 1988, 20(2) 168-175. 4 Polatolu L. Optimal order quantity and pricing decisions in single-period inventory systemsJ. International Journal of Production Economics, 1991, 23(1/3): 175-185 5 Federgruen A, Heching A. Combined pricing and inventory control under uncertainty. Operations Research 47(3):454-47 6 Petruzzi N, Dada M. Pricing and the newsvendor problem: A review with extensions J. Operations Research 1999,47(2):183194 7 Cachon G. Supply chain coordination with contractsJ. Handbooks in Operations Research and Management Science,2003(11):229-340 岗]周永务,杨善林. Newsboy型商品最优广告费用与订货策略的联合确定[J系统L程理论与实践,2002),22(11):5963 Zhou Y W, Yang S L Joint determination of optimal advertisement cost and order policy for newsboy-ty merchandise J. Systems Engineering Theory Practice, 2002, 22(11):59-63 9 Khouja M, Robbins S. Linking advertising and quantity decisions in the single-period inventory model[J. Inter- national Journal of Production Economics, 2003. 86(2): 93-105 10 Wang S D, Zhou Y W. Supply chain coordination models for newsvendor-type products: Considering advertising effect and two production modesJ. Computers Industrial Engineering, 2010, 59(2): 220-231 1l Wang S D, Zhou Y W. Coordinating ordering, pricing and advertising policies for a supply chain with random demand and two production modcs J. International Journal of Production Economics, 2010, 126(2):168-180 12 Lau H. The newsboy problen under alternative optinization objectivesJ. Journal of the Operational Research Society,1980,31(6):52553 13 Eeckhoudt L, Gollier C, Schlesinger H. The risk-averse(and prudent) newsboy[J. Management Science, 1995 41(5):786-794 14 Choi T M, Li D, Yan H. Mean-variance analysis of newsvendor problem J. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics: Part A, 2008, 38(5: 1169-1180 15]杨建奎,周清,杨磊报童模型的利润与亏损风险平衡分析.系统工程理论与实践,2009,29(3):100105 Yang J K, Zhou Q, Yang L. Trade-off analysis of revenue alld risk of loss of the newsvendor Inodel[J. Systems F g Th 16ChenX,SimM,Simchi-levi,etal.Riskaversionininventorymanagement[r].WorkingPaperinMit,https //netfiles. uiuc. edu/xinchen/www/papers/, 2003: 1-32 17]许明辉,于刚,张汉勤带有缺货惩罚的报童模型中的(ⅤaR研究].系统τ程理论与实践,2006,26(10):1-8 Xu M H, Yu G, Zhang H Q. CVaR in a newsvendor model with lost sale penalty cost[J. Systems Engineering Theory Practice, 2006. 26(10): 1-8 18 Chen Y, Xu M, Zhang Z. a risk-averse newsvendor model under the CVaR criterion[J. Operations Research 2009,57(4):10401044 19 Rockafcllar R T, Uryasov S Optimization of conditional valuc-at-riskJ. Journal of Risk, 2000(2): 21-42 20 Rockafellar R T, Uryasev S. Conditional value-at-risk for general loss distributions[J. Journal of Banking and Finance,2002(26):1443-1471

...展开详情
img
  • 至尊王者

    成功上传501个资源即可获取

关注 私信 TA的资源

上传资源赚积分,得勋章
相关内容推荐
  • 下载 -

    -