论文研究-基于联盟结构合作博弈的Selectope解集.pdf

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论文研究-基于联盟结构合作博弈的Selectope解集.pdf,  定义了基于联盟结构合作博弈的Selectope解集形式: 首先将大联盟的收益在结构联盟间进行支付; 其次在结构联盟内对局中人进行支付. 将定义的Selectope解集与Pulido定义在联盟结构上的Weber集进行了比较, 得出Weber集总是包含在定义的Selectope解集中, 而这一结论与定义在可行联盟上的Weber集
第9期 李彤,等:基于联盟结构合作博弈的 Sclectopc解集 1747 第2步在结构联盟内进行支付 在结构联盟b;内对局中人的支付,首先确定b内各个联盟的收益函数,由于各个联盟貝有与外鄙结构 联盟进行合作以增加收益的可能性,因此在估算各个联盟收益时需要引入缩减对策 a)在核心的计算中,各个联盟的收益为该联盟与外部所有结构联盟合作所获得的最大边际收益 yis ma. KCM ih U bRUS)-g(k)5, sci 因此联盟结构的核心Cc(N,v,B)定义为 C(N,0,B)=∪sm1C(b v∈C(M,vE) b)在 Weber集的计算中,各个联盟针对排序r∈IM的边际收益定义为 W(s (∪bous)-m(P()Scbh k∈Pr() 这里m(Pn(i)=∑m=0B(P(i).对于每个i∈M,选择该结构联盟内部局中人的一个排序pz∈ k∈Pr() Ib,并计算对应排序π∈ⅠM和μ∈Ib这两级排序的边际向量mm-(简记为mm).因此,联盟结构的 Wcbr集定义为 WC(N, U, B) =1 丌∈ 为了证明这种定义在结构联盟上的核心与 Weber集等价于建立在某种特定可行联盟上的核心与 Weber 集, Pulido给出如下定义 定义3令N为有限局中人集合,B为建立在N上的联盟结构.一个联盟RN称作B-联盟如果 R=SUQ,这里Ssb,i∈M,Q=∪bk对于任意KsM\{}.SB为所有包含B3-联盟的集族 k∈F Cc(N,,B)与以下形式等价 Cc(N,,B)={x∈RN|a(N)=0(N),x(S)≥o(S),S∈!2B} 定义4令B为定义在N上的联盟结构,丌∈IN是B-一致的,如果对于每个i∈bk,j∈bk,k≠k 使得如果a∈P(),有 bk C Pn( 定义在(N,v,B)上的联盟 Weber集与以卜形式等价 WC(N, 1, B)=conu(my T C IB Pulido分别定义了两个可行联盟结构Ω2和Ⅱ来证眀联盟结构合作博弈的核心, Weber集的定义与可行联 盟结构上的定义的等价性 3基于联盟结构博弈的 Selector解集 31联盟结构的 Selector 联盟结构对策的 Selectope解集的定义分以下两个步骤:首先把每一个结构联盟看作一个个体,将大联 盟的收益针对各结构联盟以 Selectope解集进行分配,其次,各结构联盟将获得的支付在联盟内部对局中人 进行 Selectee分配.这里需要假定对结构联盟进行的基于 Selectee的分配是被结构联盟所接受的,这样才 能进行第二步支付的分配 第1步针对结构联盟进行支付 令M={1,2,…,m}为结构联盟的指标集合,(M,vB)为商对策,或者中间对策 vB(K) bk)=vBK), KCM 定义在(M,B)上的 Mobius变换为 K=0, △n(A)108(k)-∑△(T KCM TCK 1748 系统工程理论与实践 第31卷 这个变换对于v,KM,有 (K)= TCK 定义5定义a为基于M上的选择器:a:P(M)\{}→M,对于任意非空联盟KcM.a(K)∈K 定义在M上的所有选择器记为4(M) 定义6令α∈4(M)为一个选择器,基于对策v,结构联盟讠对应着选择器a的选择值为 (vB)-∑ S∈M,a(S)=t 因此对策(M,U8)的 Electone定义如下: Sel(M, vB)=conu(m(vB)aCA(m)) 第2步结构联盟内部的支付 联盟结构形成后,就涉及到了缩减博弈的问题.即一个结构联盟b;內的联盟S的收益的确定不只局限 于该结构联盟,需要考虑到S有可能与M\{}中的结构联盟进行合作,称这些外部结构联盟为b对应的 参考联盟,即每一个结构联盟所能选择的参考联盟有2m-,但是在一次分配中,每个结构联盟内的联盟只能 与相同的外部结构联盥合作,即如果在一次分配中,考虑S(Sb)的收益,确定参考联盟为κ‘≌M\{i}, 那么对于任意TCb,参考联盟都为K 假设联盟结构在第一阶段中的支付向量x∈Sεl(M,vB)、结构联盟b;在第一阶段分配中获得的支付为 x;,那么b;中局中人的收益函数定义为 U bR US)-z(K"), scb, KisM\fih 这里K是结构联盟b;的参考联盟,KM\{}.Uk(S)代表基于结构联盟支付向量为x,b2的参 考联盟为K的基础上,b;内部联盟的收益函数.考虑到m个结构联盟的参考联盟形成一个m维向量 K=(K1,K2,…,Km).定义这个m维向量为结构参考联盟,所有可能的K的集合定义为A(K) 这里仍釆用 Sclectopo解集来对联盟结构内鄙的对策(b;,vκ)进行收益的分配结构联盟(bn,v;k)的 Selectope解集需要以下几个定义: 定义7定义在(b,v.)上的 Mobius变换 0. △K;(S) ∑△k:( scb 定义8定义在b;上的选择器::P(b;)→b,对于任意非空联盟Ssb,有(S)∈S.定义在b;上 的所有选择器记为4(b2) 定义9令β∈4(b)为一个选择器,基于对策ok(S),b内的局中人j对应着选择器β的选择值 3(2)为 k)=∑△,k( SC5i, B(s=g 在b中形成的选择向量记作m, 因此(b,v2.x)对应的 Selectope集合为 Sel(bi, Ui. k)=conufmaK I B A(bi) 基于第一层结构联盟的支付向量为x∈Sel(M,B),参考联盟为K=(K1,K2,…,km)时,b2的 Selector 解集为 Sel(N,,K,x)=con{8∈M|z:∈sel(bv.K)} 基于联盟结构(N,,B)上的 Selectope解集定义为: Sel(N,2,.B)=com18M2K∈A(k,x∈Sel(l,) z1∈Sel(b;,U 第9期 李彤,等:基于联盟结构合作博弈的 Sclectopc解集 1749 例121令B={b1={1,2},b2={3,4},并且这个对策(N,”,B)的收益函数如下 0({1}=v({2})=0,v({3})=0({4})=1, ({1,2})=({3,4}) 0({1,2,3})-v({1,2,4})-4,v({1,3,4})-({2,3,4})-2,v(N)-5 第1步计算结构联盟的 Selector解集Sel(M,vB Sel(M,v)=c0m{(3,2),(2,3)}={(3a+2b,2a+3b)},这里a,b≥0,a+b=1.采用a,b系数的线性 表示是为了在下一步中不再引入特定的x∈el(M,vB),可以简化Sel(N,U,B)的表达式 第2步计算联盟结构的Sel(N,v,B) 结构联盟b的参考结盟为K1,当K1={0}时, Sel(b1,{0})=con{(3a+2b,0),(0,3a+2b)} 当K1={2}时, Sel(b1,{2})=com{(5+5b-2,2-(2a+3b),(2-(2a+3b),5a+5b-2)} 结构联盟b的参考结盟的结构联盟为K2,当K2={}时 el(b2,{0})=comv{(2a+3b-1,1)(1,2a+3b-1)} Sel(b2,{1})=con{(5a+5b-4,4-(3a+2b),(4-(3a+2b),5a+5b-4)}, Sl(N,,B)=c0m0{Scl(b1,K2)Scl(b2K2)|kl={0}或者{2},K2={}或者{1 该联盟结构的 Weber集为:Wc(N,v,B)=comv{(0,2,2,1),(0,2.1,2),(2.0,2,1),(2,0,1,2),(0,3,1,1),(3,0,1, 可以验证 Weber集的极点都包含在 Selector中,比如极点(0,2,2,1)=(0,2)②(2,1),(0,2)∈con{(3a+ 2b0)(0,3a+2b)},(2,1)∈com{(3a+2b,0)(0.,3a+2b)},当a=0,b=1时,(0,2,2,1)=(0.,3a+2b)8(3a+ 2b0). Weber集的其他极点也显然包含在Sel(N,”.B)中 下面比较 Weber(N,v,B)与Se(N,,B)的关系 引理1令丌为M的一个置换,定义a:P(M)→M形如:a(S):=丌(max{∈M:丌()∈S}),那么 a是一个选择器,并且对于任意U∈G,m()=m(v) 证明很显然a是一个选择器.由m(v)-c(Pn(i)U{})-c(Pn(i)以及v(5)-∑△2(T)可得: TCS ∑ T'CH(i)u12,13i 第二个不等式是由引理中定义的a的选择方式得到对于每个TsP(i){i},T3i,a(T)=i 引理1的结论说明对于M的任意置换所得到的边际收益都有一个对应的选择器使得mx(v)=m°(), 所以Web(M,vB)sSel(M,vB) 引理2对于任意置换丌∈ⅡM,都存在K=(K,…,K2)使得∈M,v.K:(S)=0(S) 证明对于任意丌∈IM,对应着一个最大链使得{(1)}c{x(1),(2)c…c{(1),…,(m)}.令 结构联盟b的局中人选择的合作联盟为K2=Pn(),即对于任意Scb2,?r(S)=v(bk:US)-(K) b ∪b ∈K 定理1Wc(N,v,B)sSel(N,U,B) 证明由引理1可知W(M,B)cScl(M,vB),对于任意m∈W(M,vB),都存在x∈Scl(M,vB)使得 m(S)=x(S),并且由引理2可知在结构联盟内部的分配中,也存在v2k,使得(S)=K2(S),再次在 结构联盟内应用引理1可得W(b;,0)cSel(b,v.k).因此Wc(N,,B)Se(N,,B) 32可行联盟结构的 Selector Sel(N,υ,B)是建立在联盟结构合作博弈上的解集,可否找到一种可行联盟结构,使得Sel(N,υ,B)等价 于这种可行联盟结构上的 Selectope解集呢? 1750 系统工程理论与实践 第31卷 定义10令N为局中人集合,所有可行的联盟构成的集族称为可行联盟结构,定义为C,C≌P(N) 0,N∈C.定义在C上的对策v:C→R,v(0)=0 定义11定义C2≌P(N)为一种可行联盟结构,包含由部分局中人构成的单点集T={}(∈N),集 合S=QUbk,(Q(b1,Q≠0,KsM\{i}),以及所有结构联盟b(v∈M)以及N,并且T∩Q=0 通过这个定义可以看出,部分局中人,S∪b,b3,(∈M)是属于该可行联盟结构的.T∩Q=0是因 为:一个局中人i的参考联盟只能是或者bk,因此局中人i只能以单点集{}或者5Ubk(i∈5)中的 一种形式出现在可行联盟结构C2中.其实这是为了保证在形成可行联盟时,每个结构联盟内的局中人在比 较自己的收益时,一次只能参照一个外部的结构联盟 每个结构参考联盟K=(K1,K2,…,Km)都对应着一个C2型可行联盟C,由以下三部分构成: (∈bz), Ubk(Scb2),K≠0, ba(i∈M 1)当K2=0时,令所有j∈CR(j∈b),即b;中的每个局中人为可行联盟 2)当K2≠0时,令SUbk:(Scb)为可行联盟; 3)令所有结构联盟b2(i∈M)以及N为可行联盟 由所有K∈A(K)生成的C型可行联盟的集合定义为C2(x,定义在C2上的合作博弈2:C2→R, U2(0)=0.所有定义在可行联盟C2上的博弈的集合记作(C2),m2对应的 Mobius变换为 1)如果S={}∈C2,那么 2(i)=?(1) 2)如果S=QUbk,QCb;, 2(S)=0(5)-∑△(by)(a∈A(M) CM,a(Y)∈ 0 △(S0k)=1(Su)-∑△:mUbk),Scb 3)如果S=b2 )=∑△m(by)-∑△m2(SUbk) 定义12定义在C2上的选择器γ:C2→N,选择器的选择规则如下: , S={} (5)=1(∈q),S= QUbki j(∈bz) 定义在C2上的所有选择器记作4(C2) 基于对策v2,局中人对应着选择器α,~的选择值为 S∈C2.(S)= 可以验证2(N)=(N),由于 ∑n2()+∑∑△a2(S) i∈MS=QU ∑∑△2(SUbk)+∑∑ △(SUb i∈MK=0,SCbz i∈MK≠0,SCb ∑∑ Ki 上式第一个等式成立是由于{|i∈C2yn{Q|Qubk:∈C2}=0,当K=时,等式右端△(5Ubk) 02(N)=∑△2(S)=∑∑△n(by)=(N i∈Ma(Y)=i 第9期 李彤,等:基于联盟结构合作博弈的 Sclectopc解集 1751 定义在可行联盟C2上的对策v2的 Mobius与传统的Mbis的区别在于,本文定义的 Mobius变换中 需要引入结构联盟的选择器参数α,实际上是将两步计算的 Selectope进行了结合.将这种M∂bis构成的 Selector记为Sel(C2,v2) Scl(C2,2)=con{ma(2)y:C2→N,a:P(M)→M} 定理2S(N,,B)=5el(C2a(k),2),这里A(K)是联盟结构对策中所有参考联盟的组合形式 在联盟结构的 Selectope构造中,首先选取对应任意选择器的选择值x=m°(o)∈Sel(M,vB)作为对 结构联盟的分配,接着在结构联盟内部对局中人进行分配,假设m个结构联盟确定的结构参考联盟为K (K,K 下面证明总存在一种C2结构的可行联盟C使得Se(N,”,K,x)cSel(Ck,v2).对于每个参考联盟 K=(K1,K2,…,K)都有一个C2型可行联盟与之对应,记作CR,由△2的定义有 1)sci Utk(s)=v2(S), 2)VS=QUbKi, Ab ki(Q)=Aa (S), Ab ki(bi)= An(bi) 由Sel(b,)的定义,可知 Sel(N, U, K, a)=conv ziE Sel(bi, Ki)= Sel(ck, v2) 由于对于任意x∈Sel(M,vB),根据 Selectope的定义,x可以表示成任意两个 Selectope极点的线性组 合,因此,我们只考虑选择值的情况即可,因为选择值涵盖了所有 Sclcctopc的极点,所以 sel(N,v,B)=co{i∈Mz|z;∈sel(b,k),K∈A(K),∈Sel(M,vB)} conu sel(C2,t2)|Ck∈CA(k,a∈.4M) Sel(cz 4结语 本文定义了联盟结构上的 Selector解集,主要分为两个步骤:第一步,建立以结构联盟为局中人的中间 对策的 Selector解集;第二步,将结构联盟在中间对策中获得的支付以 Selectope解集旳形式对局中人进行 分配这个分配涉及两个步骤:首先,定义结构联盟内部局中人的收益函数时引入缩减对策以全面衡量局中 人的收益水平,然后在结构联盟内部建立 Selectope解集.所有结构联盟的 Selectope解集的笛卡尔乘积构 成了联盟结构对策的 Selectope解.证明了 Pulido所定义的联盟结构上的 Weber集是包含在本文所定义的 Selector解集中的,这与经典情况是一致的,也与建立在可行联盟的 Weber集与 Selectope解的关系是一致 的通过定义一种新型的可行联盟结构,以及基于这种特殊结构的新型Mσbius变换,证明了基于联盟结构的 Selectope解集与定义在特定可行联盟结构上的 Selectope解集等价. 参考文献 1 Shapley L s. 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