论文研究-证券市场的标度理论及实证研究.pdf

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论文研究-证券市场的标度理论及实证研究.pdf,  运用分形理论探讨证券市场的自相似性与标度不变性 ,分析三种标度指数 ,即自相关指数、Hurst指数、基于 DFA算法的标度指数 .基于标准差时间序列改进 Hurst指数 ,将 DFA推广为动态递推算法 .利用三种标度指数对国内沪深股市进行实证研究 .结果表明 ,沪深股市收益率均不服从正态分布 ,在跨时间尺度的股价指数之间存在着相关性 ,表现
第3期 证券市场的标度理论及实证研究 间为0<∝≤2,时间序列性质受到取值的影响,当2,B=0,01,y1时,分布为正态分布;当1≤K 2时,方差变成无限,表现为分形时间序列;当0<α≤1时,不存在稳定的均值·有效市场假说α必须等于 2,分形市场假说α可以在1和2之间取值·用Lewy分布虽然可以很好地描述市场收益率,但却碰到了厚 尾现象,于是提出截尾的Le’wy分布,即其中间部分用Lewy分布来刻画,尾部用指数分布来刻画,能很 好地描述市场收益率·分形时间序列可以有分数维数,在时间上有足够的自相似性,这会改变时间序列的 许多特性,表现岀局部的随杌性和整体的相似性·一旦作了时间标度的调整,序列的概率分布仍然保持同 样的形状,这种关于不同时间标度的相似性称为标度不变性6 近年,科学家们通过使用DNA法对DNA和殷市价格波动的分析发现,股市价格的波动与DNA技 术中所发现的某些特性极为相似6,例如DNA(脱氧核糖核酸)的绀织结构十分复杂,这主要是因为 DNA的分子链中包含有成千上万个变化,而股市由于每天能产生若干个数据,对股市的研究往往是在几 年或十几年的时间范围内,这样也就产生了大量的数据和大量的变化·两者同时呈现一种长程的、幂指数 分布,具有分形结构的特征,并提出非趋势波动分析的DFA方法6:1 分形分布对证券市场的影响是深远的,在一个具有分形的价格时间序列中,价格的波功可以是不连续 的和突变的,证券市场分形可以解释价格为什么会出现暴涨、暴跌以至股市崩盘现象·这对认识市场的非 随机游动,对市场风险进行监控及风险防范提供了理论支持 32标度不变性的度量指标 l) Hurst指数· Hurst指数对于所有时间序列都有着广泛的用途,它特别强健,对于系统所要求的假 定很少,而且它可以将时间序列分类,区分随机序列与非随机序列·文献[16]给出了 Hurst指数的计算方 法,即 (4) 其中,R/S为重标极差,N为观测次数,b为常数,为urst指数,0<H≤1.当以c表示时间序列的分数 维数,则有=1 在证券市场中,当H<1/2时表现为反持久性,即过去价格增加预示未来价格降低,过去价格的递减 预示未来价格增加.尽管反持久性系统在金融理论中很流行,但在实狝中却很少见当α5<H≤1时表现 为持久性,即过去价格增加预示木来价格仍是增加,反之若过去价格的递减预示木来价格仍是递减·而且 当H≈1时,C(D)≈1,即未来价格与过去价格密切相关,当H≈1/2时,C(t)≈0,未来价格与过去价格几 乎无关 本文提出另一种估计H指数的方法,即根据分形时间序列在时间标度上概率分布的相似性,以标准 差作为一个新的时间序列,计算新时间序列的标准差,则有 std(t)-,t 其中,s()是标准差时间序列的标准差,t是时间标度,H是 Hurst指数·为估计 Hurst指数H方便,可 以直接写成 std(t)= t lg [ste(t)]-H! (6) 2)基于DFA计算的标度指数·分形时间序列具有标度不变性,这一性质可以用标度无关律描述,即 时间序列波动的标准差服从幂函数关系610 F(t) t 其中,F(1)是时间序列波动的标准差,t是时间标度,c是标度指数,0<c<1. Stanley等人在文献[8,18]中 提出有关标度指数的含义如果时间序列波动是完全随机的,则标度指数c-Q5;文献[19]指出,当Q5< c<1时,DNA长程分子链具有持久性;当0∝<Q5时,长程分子链具有非持久性·这就意味着当Q5<c <1时,价格时间序列具有长期记忆,即当前的金融事件和未来事件之间存在长期相关性;而0<c<Q5 时,价格时间序列只有短期记忆,当前的金融事件不会对长期的市场动态产生影响.考虑时间序列波动的 标度无关律式(7),为估计标度指数c方便,可以直接写成 F(+=t 8) 2 C1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 4 系统工程理论与实践 2003年3月 (9) 式(9)中4是待估计参数.式(8)或(9)的对数形式,即 F(t- clg 或 IgF(a)=Ig Igi (9) 3)自相关指数·设z1,z2,…,zN为等间隔时间序列,在平稳性假定下,若时间的间隔为k,那么z1和 k之间滞后k的自相关函数对任意t都是相同的,其定义为 P(k)= ⊥E[(z1-1)(zk-1)]E[(z1-)(zrk-) (10) F[( 其中,P(k)是清后为k的自相关函数,是z的期望,a是z的方差·这里蕴含p(0)=1·其标度指数关系 为 P(k)k 其中,y是自相关指数 对任一过程,如果k>q时,所有的自相关函数p(k)都为零,则自相关佔计的方差由 Bartlett2近似式 给出 var(P()≈/ 1+2 k> g (12) 当q=0时,该序列是随机的,自相关函数P(k)的标准差成为(1)的简单形式 4标度指数的计算 41自相关指数的计算方法 设p1,p2,…,pN+1为N+1个等间隔观测值的时间序列,其计算步骤如下: 步骤1建立DNA一维随机游走模型·令z=Sgn[gpn1-lgp],即如果当前值大于前一时刻的 值,则z产1;如果当前值小于前一时刻的值,则z--1;如果当前值等于前一时刻的值,则z=0 步骤2计算k步滞后自协方差C(k),即 C(k) ∑ 什+k N z),k=0,1,2,…,K (13) 其中,z=∑zN为收益率均值 步骤3计算k步滞后自相关函数p(k)的估计值p(k),即 (k)-C(k)/(0),k-0,1, K (14) 步骤4计算标度指数y·对标度指数方程(11)的对数形式按最小二乘法,则有 =-[X(k)x(k)]X(k)f(k) (15) 其中,X(k)=[g1,g2,…,1gK],f(k)=[gp(1),lgP(2),…,lgP(k)] 42基于标准差时间序列的H指数计算方法 以标准差时间序列代替重标极差R/S估计 Hurst指数(重标极差R/S计算详见文献[11),其计算步 骤如下: 步骤1设时间序列pA,△t为时间增量,其对数收益率 lgp(+ lgp n (16) 其中,T为时间窗,n为T内观察次数,T=n△t 步骤2定义每个时间窗的风险为对数收益率的标准差,即 (17) 其中 zi△t o1905-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 第3期 证券市场的标度理论及实证研究 步骤3对长度为T,互不重叠的全部时间窗计算标准差s() 步骤4以s()为新的时间序列,计算t步风险位移之和y()=∑(,F1,2,…其增量△y() y(to+1)-y(o),to为初始值 步骤5计算增量Δy()的标准差,即 std(t) △y(t)-△y(t) (18 步骤6计算 Hurst指数H·对 Hurst指数方程(6)的对数形式(6)按最小二乘法,则有 H=[X(OX(OJ X (Of(O (19) 其中,X1()=[g1,lg2,…,lgt],f(=[gsld(1), lgstd(2), istd(t) 43基于DFA的标度指数计算方法 1)静态DFA算法静态DFA算法可以归纳如下步骤,即43 步骤1建立DNA一维随机游走模型·令z=Sign[g-lg],即如果当前值大于前一时刻的 值,则z1;如果当前值小于前一时刻的值,则z---1;如果当前值等于前一时刻的值,则z0 步骤2确定DNA游走t步之后的位移,即个单位步长之和y()=∑2( 步骤3计算步位移的增量,即Δy()=y(to+t)-y(to),初值是1o=1,2, 步骤4计算标准差F(ω),它是位移增量平方均值与增量均值平方之差的均方根值,即 F(a △y(t (20) 其中,是均值的符号 步骤5计算标度指数c对于标度指数方程(8)的对数形式(8)按最小二乘法,则有 x()X(t)](t)f(t) (21) 其中,¥(t)=[lg1,g2,…,lgJ,f(t)=[lgF(1),lgF(2),…,lgF(a) 对于标度指数方程(9)的对数形式(9), X(O 1g 1 Ig2 lgt 按最小二乘法估计参数lg4利标度指数c,则有 [XH(1)X4()]X(t)f( (21) 2)动态DFA算法随着证券市场信息网络的发展及电子数据处理技术的完善,证券市场的数据是 以“高频率出现的,可以周、天、小时、分钟计算冇储·因此,对于标度指数的估计而言,动态递推估计可以 减少在线计算量,比静态批量估计具有更好的效果 对于服从标度不变性波动规律的方程(8)或(9),根据文献[22]递推最小二乘方法,其递推算法是, 6t+1)=6(t)+k(t+1)[lgF(t+1)-d(t-1)6()] (22) k(t+1) Pn 1+Φ(t+1)P()(t+1 (23) P(t+1)=[-k(t+1)Φ(t+1)]P(t) (24) 其中,对于方程(8),0c,中()=[F();对于方程(9),0=[g,c],Φ()=[1,gF(l)1.0()是标度方 程中参数和标度指数的动态估计值,它反映时间序列波动的动态行为;k(t)是增益矩阵,反映对于新信息 的修正程度;P(υ是协方差矩阵,于是标度指数可以棖据式(22)—(24)动态递推估计汴意到,时间序列数 据是对序号i的,而递推计算的数据序列是对序号t的 将上述标度指教动态递推佔计的算法式(22)—(24)代晳非趋势波动分析DFA静态算法步骤5,就可 以得到动态递推DFA算法 o1905-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 系统工程理论与实践 2003年3月 5标度指数在股票市场中的实证研究 51股指收益率的基本统计量 表1股指收袷率的基本统计量 资料取自上海股票市场上证综合指数 均值标准差偏度峰度 19901219200126每日收盘指数,计 上证综指Q00051Q0168322301447341 2720个交易日数据;深圳股票市场深圳成分 指数199143200126每日收盘指数, 深成指Q000140012102183269241 计2668个交易日数据.为观察股价指数变化 的特征,首先计算上证综指、深成指收益率的均值、标准差、偏度及峰度,其结果列于表1 52股指收益率分布曲线及 Hurst指数 对式(16)取T=5,n=5,Δ匚1;式(18)取r=1,2,…,35·将s(1)取值范围划分40个均等区间,估计标 准差频率分布如图2、图5 上证综指计算结果如图1,图2.图3所示·深成指计算结果如图4,图5,图6所示·分别对图3、图6 的35个点,根据式(19)按最小二乘法计算 Hurst指数,得到上证综指的H=Q6975,深成指的H 06880. 100 湖50 hhhA和 0 100 200 00 400 500 图1上证综合指数标准差时间窗T(5天) 0.3 0.2 50 100 0 0.5 图2上证综合指数标准差分布s(%) 图3上证综合指数误差条形图g-t(天) 湖50} 100 200 300 400 500 图4深成指标准差时间窗T(5天) 2 C1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 第3期 证券市场的标度理论及实证研究 3 0.5 1.5 0.1 50 100 0.5 1.5 图5深成指标准差分布s(%) 图6深成指误差条形图lg-t(天) 53股指收益率自相关曲线及自相关指数 根据式(12)—(14)上证综指自相关计算结果示于图7,自相关估计标准差示于图8·深成指自相关计 算结果示于佟9,自相关估计标准差示于佟10·根据式(15)按最八二乘法计算自相关指数,得到上证综指 的yQ8453,深成指的yQ8372 0.2 0.026 0.024 0.1 0.022 飞 0 0.02 0.018 200 10 400 图7上证综合指数相关函数(滞后k) 图8上证综合指数标准差(滞后k) 0026 0.024 a0022 002 0.018 10 200 400 图9深成指自相关函数(滞后k) 图10深成指标准差(滞后k) 54基于DFA的股指收益率标度指数 根据式(20)—(22)上证综指标度指数计算结果如图11,.成指标度指数计算结果如图12所小·上证 综指标度指数c=06908,深成指标度指数c=Q6870 0.68 ocatE 066 ooo⊙o 64 0.62 0.6 2.5 lg(t) 图11上证综合指标度指数曲线(°°°表示静态表示动态)lgt 201995-2005 TSinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 系统工程理论与实践 2003年3月 0.7 0.68 066 0.64 Se. 6282D00000000o00oO 062 Ig(t 图12深成指标度指数曲线(°°表示静态; 表示动态)lgt 6结果分析 上述对中国股票市场的自相似性及标度指数的实证计算,得到如下的基本结论 1)基本统计量分析由表1可知,沪深两市股指收益率都具有非负的正偏度,同正态分布相比,收益 率的峰度远远大于3,显现岀高峰态·标准差直方图1、图4出现奇值,记述岀政策调控的痕迹·标准差 频率曲线图2、图5表现为偏态分布,呈现出典型的高峰、厚尾现象,且上海市场的峰度大于深圳市场·比 较图3、图6,上海股票市场的误差发散大于深圳股票市场,说明其股价波动大于深圳市场 2) urst指数分析沪市H=Q6975,分形维数c=1.4337;深市=Q6880,分形维数1.4535 两市的分形维数α均小于2,市场具有分形结构特性,显示出非线性随机游走过程所产生的具有长期记忆 系统的特征· 3)标度指数分析图11给出沪市的标度指数c=06908,图12给出深市的标度指数c=Q6870,两 市的标度指数均大于Q5,股价指数为分形时间序列,具有分形结构特征·从标度指数图11、图12可看出, 标度指数在超过一定的时间标度t以后开始下降,表明股价指数时间序列对初始信息的记忆是有限的,超 过这一点,对初始信息的记忆就会丢失 4)自相关指数分析当股价指数时间序列为随机序列时,根据式(12)上证综指自相关估计的标准差 为(1/2720)2=00192,深成指自相关估计的标准差为(1/2668)=00194但从图8图10可看出,标准 差随滞后k的增加而增大,且上证综指yQ8453,深成指yQ8372,两市场的自相关指数均小于1,表 明股价指数存在序列相关性,股价指数相邻观测值的依赖性,成为我国股票市场的一个重要特征 5)计算效率分析对上海股市波动分析中,在586微机上对比 Hurst指数与基于标准差计算的 Hurst指数,其计算时间分别为480s和12s;在标度指数的静态、动态计算方法中,DFA为55s,DFA递推 算法为40s,表明了两种算法的计算效率 标度不变性广泛存在于自然和金融系统,它可以揭示证券市场波动的复杂性及其内在规律关于收益 率分布高峰、厚尾的讨论,使人们普遍接受了分布具有高峰的这一观点,但对随机游走理论是否就受到严 重动摇的争论却十分激烈本文利用三种标度指数对国内股票市场进行实证研究,指出市场具有分形结构 特征,这为研究国内证券市场复杂性提供一定的参考作用 参考文献 [I] Sk jeltorp J A. Scaling in the Nor eg ian stock m arket [j] Physica A, 2000, 283: 486-52& [2] M liver J, MonterM, Porra JM. a dynam ical model describ ing sto ck m arket p rice distributions [J Phy isca A 2000.283:599-567 [3 R aberto M, Scalas F. Volatility in the Italina stock m arker: an emp irical study [I] Physica, 1999, 269(1): 145- 155 [4] PengC K, Buldyrev SV, Havlin S, et al Mosaic organization ofDNA m ucleotides [J] Physical Review E, 1994, 49 (2):1685-1689 [5 Peng C K, Buldrev S V, Goudberger A L, et al F in ite size effects on bng range co rrelation: imp lications for analyzing DNA sequences [J] Physical Review E, 1993, 47(5): 3730-3733 (下转第30页) 2 C1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved. 系统工程理论与实践 2003年3月 逐渐被市场所淘汰,转而被高附加值、低耗能的产业所取代,这必将减缓对能源需求的增长· 第二,科技进步的影响·.科技进步对能源消费量的影响,主要表现在以下两方面·一是琏着科学技术 的进步,节能技术进步发展,使节能率大大提高,从而节约了能源消费,二是科技进步使新能源的开发利 用成为可能,从而导致能源消费结构的根本性变化,进而从根本上改变能源消费量的发展变化趋势 第三,国家政策的调整·国家政策的宏观干预,比如限制用煤政策的岀台、石油进岀口政策的调整、鼓 励能源消费旳市场化等政策措施的实施都会在一定程度上影响和改变能源消费量的发展变化趋势 参考文献 [1]陈锡康,丁静之绿色战略2030年玊经济发展战略日标探讨[A↓牛文元绿色战略[C↓青岛:青島出版社, 1997 「2]刘思峰,郭天榜,党耀国,等灰色系统理论及其应用M北京:科学出版社,2000 L3」张晓峒计量经济分析M↓北京:经济科学出版社,2000 [4]统计午鉴编写组中国统计年鉴(2000年版)M]北京:中国统计出版社,2000 [5 Kouris, George Energy consump tion and econom ic activity in industria lized co: a no te [J] Energy Econom ics,1998,207-212 [6 Logan, Jeffrey. Energy Consumption and Eco nom ic Change in China: A n Econom ic Study[M I Honolulu, HE East West center, June 1995 (上接第8页) [6 Lux T, MarchesM. 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