论文研究-语言判断矩阵的满意一致性检验方法.pdf

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论文研究-语言判断矩阵的满意一致性检验方法.pdf,  分析了语言判断矩阵具有满意一致性定义的合理性, 定义了一个满意的一致性指标; 给出了满意一致性指标的计算方法, 通过该方法可以找出语言判断矩阵中所有不合逻辑的判断元素组,判定语言判断矩阵的满意一致性程度, 有效地解决存在两个方案无差异的语言判断矩阵的满意一致性的判定问题; 最后通过两个实例表明该方法的有效性和适用性.
106 系统工程理论与实践 第29卷 2)当pk∈,p∈时,m1;∈S左,则称P具有满意一致性 下面对定义2.3做两点合理性分析: 2≤对存在两个方案无差异的语言判断矩阵,即除对角线元素外存在元素为的语言判断矩阵,定义 与定义2.2是不等价的 ASAS LD 例如,若语言判断矩阵为:P=454SAS,那么由p12=A5p3=AS,13=LD,可得 LP ASAS α1~x2~x3>x1,根据定义2.2,P是不一致的;但根据定义2.3,显然,P具有满意的一致性. b)对存在两个方案无差异的语言判断矩阵P,用定义2.来判断其是否具有满意的一致性时,会出现 这样的情况:判断元素组{Pk,pk,P1}与{k,pxPk},其中pk=neg(Pk),对P的满意一致性会产生不 同的影响 例如,在语言判断矩阵P中,若判断元素组{Pk,Pk,p}满足关系:pk∈5,pk=8x,而p∈S, 则元素组{nk,pk,P}不满足定义23中的关系1)P不具有满意一致性.但另一方面,pk∈S,pi∈SL p;=8x,满足定义23中的关系2),因此,元素组{pka,Px,Dk}不影响判断矩阵的满意一致性.而元素组 {Dk,pk,P}和{pk,px,pk}均表示决策者对方案;,x,xk进行两两比较的偏好信息,对判断矩阵的满意 致性的影响应该相同,因此,定义23不适用于存在方案无差异的语言判断矩阵. 事实上,定义2.2等价于 定义2.4对语言判断矩阵P=(P1)nxm,若对v,k,j∈,其中≠k≠j 1)当Pk∈S,pk∈S或p k;∈S0时,P∈ Pik =sT, Pki=5 时 x,则称P具有满意一致性, 为了证明定义22与定义2.4等价,引入下面的引理. 引理21设语言判断矩阵P-(D;)n×n,若P中存在m(m≥4)个“不小于”sx的元素,使得 a1n>m,且在这个方案优劣链中至少有一对方案是严格优于关系,那么P中一定存在 3个或m-1个“不小于”sx的元素,使得cn1xn2xa32xn1或xun32…≥ 1 且 在这些方案优劣链中至少有一对方案是严格优于关系 证明考虑元素p3m1,若p3n1“>”sx,则方案xns3严格优于xn1,即x3>xm1又由已知条件:xn1 T2x23,可得判断矩阵P中存在3个“不小于”sx的元素pu12,pu23,pn1,使得ru1rn2≥x3>x; 若pa“<”sg,则有p1a3“>”sg,因此,x1>xl3.又由已知x3xa4…≥xm>xn1,可得判断 矩阵P中存在m-1个“不小于”sx的元素Pm13,p3u41…,pum1,使得rn1>xn3…2rumx 若pn3n1=8=,则有xa3~xa又由已知条件:P中存在m(m≥4)个“不小于”s的元素使得 xn22…≥ um> u1,且在这个方案优劣链中至少有一对方案是严格优于关系,可得P中存在3个 不小于”S的元素pn12,p203,p131使得xm12xn22an3~xmn同时也存在m-1个“不小于”S 的元素Pu1l3,Psu4,……,Punl1使得a1~n3 m≥cu1:并且这两个方案优劣链中一定有一个优 劣链满足:至少有一对方案是严格优于关系,综上几种情况,可得引理2.1成立 定理2.1对语言判断矩阵P=(p)nxn,下面两个条件等价 i)P中不存在m(m≥3)个“不小于”Sg的元素,使得xu1>xu2…∑x;>x xu1,且 在这个方案优劣链中至少有一对方案是严格优于关系; i)对vi,k,j∈I,其中i≠k≠j,P中元素pk,k,;满足: 1)当p∈S",k∈出或p1”,D∈S时,n1;∈S; 当P 时,P 证明“i)→i)”(反让法)假设条件i)不成立,即存在,k,∈I,其中i≠k≠j,使得元素pk,Pk,P 不满足1)或2),则pkP3,P满足P∈S,m∈但P∈5数;或pk∈S,m∈S但∈ 或pk=S,k=5但p≠SE·具体地有,元素D,DP满足下面关系之一 卩ik 从∈S但m;∈S;Dk∈S,p 但 ST 第1期 魏翠萍,等:语言判断矩阵的满意一致性检验方法 107 Pk∈S,pk=8x但p1;∈S;pk∈S0,pk=8x但P Dk=Sg,pk∈但p;∈S1;pk=s ∈但=S5 Dk=8x,pk=8x但p∈S p.k=5F,mD=8但p;∈S0 综合以上各种情形,叮得P中存在元素pk,Pk1,P:其中1≠k≠,满足pk∈S,pk∈S,但 p∈,并且其中至少有一个元素不等于;或pk-5,P-5,但v∈S,因此,P中存在3个 “不小于”S的元素pk,Dk,D使得:x2k2x22,并且至少有一对方案是严格优于关系;或P 中存在3个“不小于”sx的元素py,k,pk使得:x;>x;~mk~x这两种结果均与已知条件成立 矛盾.故假设不成立,由条件i可得条件i成立 “i)→i)”(反证法)假设条件)不成立,即P中存在m(m≥3)个“不小于”Sz的元素,使 得xn1xm22…xun-1 u> cu1,且在这个方案优劣链中至少有一对方案是严格优于关系, 则由引理21及归纳可得,P中一定存在3个“不小于”8=的判断元素pk,p,p,其中≠h≠j i,k,∈{u1;v2…um},使得x:≥xkx1x;并且其中至少有一对方案是严格优于关系,由此可得,P 中存在元素pk,Pk,D,其中i≠k≠j,满足:p∈S,pk∈S,但p;∈S,并且其中至少有一个元 素不等于S也即,存在k,∈1,其中1≠h≠,使得元素pk,D从,D不满足关系1)2).此结果与已知 条件ⅱ)成立矛盾,故假设不成立,由条件i可得条件i)成立 由定理2.1,可得定义2.2和定义2.4是等价的.根据定义2.2和2.4,在下一节我们给出语言判断矩阵 的满意一致性指标以及满意一致性的判定方法. 3满意一致性指标及计算方法 对语言判断矩阵P=(m1)nxm,构造P的有向图G=(V,E),其中顶点集V={1,2,…,n},边集 E={(川)i≠j防∈S},即,若i≠,∈S,则G中有一条从到j的有向边,记为(j).由此可 得,若p=sx,则P的有向图G中有一条从到j的有向边,也有一条从j到i的有向边 设G=(V,E)为7个顶点的有向图,构造m阶矩阵M=(m2)mxn,其中m 1,(i,)∈E; 0,其它 称 M为G的邻接矩阵. 对语言判断矩阵P=(P1)nxa,其有向图G的邻接矩阵M=(m21)n×n满足m1= ∫1,m∈8号,≠ 0,其它 根据语言判断矩阵P与其有向图G、G的邻接矩阵M的关系,易得下面的定理. 定理3.1语言判断矩阵P=(P1)nxn的有向图G中有一条长度为3的有向圈(简称为3圈)(i→ k→j→),记为(k,,i,当且仅当P中存在元素pk,Pk;,其中≠j≠k,满足下列关系之 L)Dk∈S,p∈S,∈S,且其中至少有一个判断元素不等于8 2)P2k Pki=st, p 根据文[11,G中3圈的总数可以由卜面的定理求出 定理32设语言判断矩阵P=(P)nxn,P的有向图G的邻接矩阵M=(m23),矩阵B=(b1)= M2oM,即M2和M的 Hadamard乘积,则b是G中包含有向边(,的3圈的个数,并且∑∑b 为G中3圈的个数的3倍 注意到,当pk,Pk,P满足定理31中关系2)时,这些元素不影响判断矩阵的满意一致性,而只有 满足关系1)的元素组{pk,PkP}才会使判断矩阵不具有满意的一致性,而且这样的元素组越少,说明判 断矩阵的满意一致性越好.因此,P中所有满足定理3.1中关系1)的元素组的个数,即G中3圈的总数 减去满足定理3.1中关系2)的元素组对应的3圈的个数,可以反映判断矩阵的满意一致性程度.为叙述方 便,满足定理3.1中关系1)的元素组称为P中不合逻辑的判断元素组 定义31设语言判断矩阵P=(p)nxn,其有向图G的邻接矩阵M=(mx;),矩阵B=(b) 108 系统工程理论与实践 第29卷 MP2。M4·称3-t为P的满意一致性指标,记为SCI,这里t为G中满足定理31中关系2)的 判断元素组对应的3圈的个数 显然,SCⅠ值越小,P的满意一致性程度越高. 定理33设语言判断矩阵P=(m)nm,则P具有满意一致性的充分必要条件条件是SCI=0 证明必要性由P具有满意一致性及定义22可得:P中不存在3个“不小于”S买的元素 Pk,pk,P1,使得rz≥xkx≥x并且至少有一对方案是严格优于关系,因此,P中不存在判断元素 pk,Pk3,2;满足:pk∈S2,pk∈S4,;∈S2,且其中至少有一个判断元素不等于8·又由定理31 可得P的有向图G中3圈的个数等于满足定理31中关系2)的元素组对应的3圈的总数,口SCI的定 义可得SCI=0 充分性(反证法)若P不具有满意一致性,则P中存在m(m≥3)个“不小丁”sx的元素,使得 xnmn>xm1,且在这个方案优劣链中至少有一对方案是严格优于关系.类似于 理21中“i)→i”的证明可得,P中一定存在判断元素pk,pk,其中i≠k≠,满足:Dk∈S, p;∈S2,但p;∈S兰,并且其中一定有一个元素不等于sx;而由已知SCI=0及定理31可得,P 的有向图G中不存在满足定理31中关系1)的元素对应的3圈,即P中不存在元素pk,Pk,p满足 pk∈Sy,P∈S号,P1∈S即P∈S,并且其中一定有一个元素不等于:二者矛盾,故假设不成 立,P具有满意一致性. 定理34若P=(/)a×n为具有严格偏序关系的语言判断矩阵,即除对角线元素外不存在其它的元 素等于s,则P具有满意的一致性的充分必要条件是P的有向图G中3圈的个数为0 证明由P为具有严格偏序关系的语言判断短阵及定理3⊥可得,P的有向图G中有3圈(,k,,2) 当且仪当P中存在判断元素ph,PA,P满足:p∈S,p∈S,mi∈S.因此,若P的有向圈G中3 圈的个数为0,则P中不存在元素pk,Pk,D满足,pk∈S0,ph;∈S,m:∈S0,也即,对任意的,j,k, 若pk∈S,p∈S,则p∈S,即p∈S0.因此P具有满意的一致性 反之,若P具有满意的一致性,则P中不存在元素pkPk,P满足:p∈S,pk∈S0,而p∈S1 因此,G中3圈的个数为0. 对一般的语言判断矩阵P,当G中3圈的个数为0时,P具有满意一致性.反之则不一定成立 对正互反判断矩阵,文[中给岀了确定其有向图G中所有3圈的方法,这种方法同样适用于确定语 言判断矩阵P的有向图G中所有的3圈 定理351]矩阵P,M,B如定理32中所设.设a1,a2,a3∈{1,2,…,n}且a1<a2<a3 Ba1,a2,n3]表示由B的m1,2,a3行及m1,m2,3列上的元素组成的3阶主子矩阵,则P的有向图G中 有一个包含顶点a1,Q2,a3的3圈,当且仅当B中相应的主子矩阵B(1,2,a3]无零行零列 由1中对该定理的证明过程可以得到,若B中存在3阶主子矩阵B1,a2,C]无零行零列,并且 有ba1a3≠0,b2≠0,b2a1≠0,则有向图G中一定有3圈(1,a2,a3,a1),与此3圈对应的元素组为 {pa1a2,pa2a3,Pa3a1}这样我们叮以找出判断短阵P中所有不合遐辑的判断元素组,从而得到P的满意 致性指标值.具体步骤如下: 步骤1对n阶语言判断矩阵P=(Px),构造其有向图G及其邻接矩阵M;计算B=(b1)=M2oM =3.若=0,则SC=0,P具有满意一致性,转步骤6:否则转下一步 步骤2找出B中无岺行零列的所有3阶主子矩阵,从而得到G中所有3圈及相应于这些3圈的判断 元素组.所有这些判断元素组的集合记为C 步骤3判断P是否具有严格偏序关系,若P具有严格偏序关系,则P的一致性指标SCⅠ=l,转步 骙5,否则进行下一步; 步骤4从C中找出并去掉满足定理3,1中关系2)的判断元素组(这些元素组的个数记为),则P的 一致性指标SCI=1-t; 第1期 魏翠萍,等:语言判断矩阵的满意一致性检验方法 109 步骤5输出C 步骤6输出SCⅠ. 4算例 例19-10两个决策者对4种传真机进行评价,分别给出如下偏好信息 AS LD MP HD As LD MP MD (1) LP AS HP MP LP AS VLD MD MD HD AS HD MD VLP AS HD 依据上面的步骤, HP MD HP AS MPMP HP AS 对P(1),P(2)的满意一·致性进行分析 P()的邻接矩阵M1及B1=M2。M1分别为 0010 0000 1011 0000 0000 0000 1010 0000 由此可得,P(1)的满意一致性指标SCⅠ-0,P(1)具有满意一致性 P(2)的邻接矩阵M2及B2=M2M2分别为: 0010 0100 1000 0010 0100 1000 1110 0000 由此可得,G中3圈的个数l-1.又由P2)为具有严格偏序关系的语言判断矩阵,因此,P(2)的满意一 致性指标SCI=1,P(2)不具有满意的一致性,其有向图中有一个3圈 B中所有3阶主子阵为 123 124 134 234 123 010 010 1/000 2/010 001 2000 3100 3000 100 4 000 4(000 00 主子矩阵B1,2,3无零行零列,并且b31≠0,b23≠0,b12≠0,因此,G中有3圈(1,3,2,1),P2)中 不合逻辑的判断元素组为{u13,032,m21} 例25个方案在某准则下的重要性进行比较,设决策者给出的偏好信息为语言判断矩阵 As VLP LP As MP VLD AS VLD LP VLD LD VLP AS AS H AS LD A AS VLD MD VLP HD VLP AS 显然,P是一个不具有严格偏序关系的语言判断矩阵,下面来判定其是否具有满意一致性 P的邻接矩阵M及B分别为: 01111 00030 00010 10100 01011 B=10020 10100 02102 01010 10100 由此可得G中3圈的个数l=5,B中5个不含零行零列的3阶主子矩阵分别为: 124 134 45 234 345 3 1/003 1/030 2/0103/020 100 3102 400 4102 4020 4(010 5(100 4(210 5(100 110 系统工程理论与实践 第29卷 由此可得,G中5个3圈分别为 (1,2,4,1),(1,3,4,1),(1,5,4,1),(2,4,3,2),(3,5,4,3) 这5个3圈对应的判断元素组均不满足定理3.1中的关系2),因此,P的一致性指标SCI=5,P不具有满意 的一致性.P中不合逻辑的判断元素组分别为{a12,a24,a41},{a13,a34,a41},{a15,a54,O41},{(a24,43,a32}, a35,54,a43} 5总结 本文讨论了语言判断矩阵的满意一致性定义的合理性;对存在两个方案无差异的语言判断矩阵,给出 了一种判定其是否具有满意一致性的有效方法,解决了文献[9]中提出的问题 参考文献 1 Zadeh L A. 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