论文研究-用分数阶微分提取图像边缘.pdf

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文章是分数阶微分在图像处理中的尝试性应用。首先通过理论上分析得出分数阶微分可以大幅提升信号高频成分,增强信号的中频成分,非线性保留信号的甚低频。据此分析得出分数阶微分应用于图像边缘信息提取将获得高于传统基于一、二阶微分的方法的信噪比。然后由经典的分数阶微分定义出发,推导出了分数阶差分方程,构建了近似的分数阶Tiansi微分模板。最后通过图像边缘提取的实验表明:基于分数阶微分算子不仅可以有效提取图像边缘,而且比整数阶微分算子具有更高的信噪比。为拓展分数阶微分的应用领域,进行了有意义的探索。
杨柱中,周激流,黄梅,等:用分数阶分提取图像边缘 2007,43(35)17 当阶数n为正整数和负实数时, Caputo定义和 Riemann (2-t)/2 0 (n2-n)20(n2-)/2 Liouville定义是等价的。 Caputo定义的最大优点是其初始值与 整数阶导数一样具有明确的物理意义。这两个定义的关系如 (2-n)2 -n(n2n)/2 下式: Dt)=∑(a )(t-a +,D,f(t) T(h P+1) 图2分数阶微分掩模算子 在工程上利用上式相互转换上述两个定义。 Riemann-Li 阶的梯度算子和二阶的拉普拉斯,然后找局部最大值(或过 ouvl定义是为了简化分数阶导数的计算。 Caputo定义是为了零点)。本文选择经典一阶 Sobel、 Prewitt算子和二阶 Laplacian 让拉普拉斯变换更加简洁,从而便于解分数阶微分方程。GL算子与分数阶 Tiansi算子提取图像的边缘进行对比,说明分数 定义在信号的数值实现中表现得更为精确。因此本文从G-L 阶微分提取边缘的有效性和高信噪比。 定义出发推导分数阶微积分算子。 3.1分数阶微分的差分定义 4.1图像边缘信息的提取 根据图2所示的' Tiansi算子提取图像边缘信息。首先将 Grimald- -Letnikov的分数阶微分定义是从研究连续函数 Tiansi模板的每一项除以(8-12+412),然后用Tani模板对图 整数阶导数的经典定义出发,将微积分的阶数由整数扩展到分像进行卷积运算。这样对于邻近的象素值相同的区域(光滑区 数推衍而来。 域),输出象素值不发生变化,对于邻近的象素值发生变换的区 域(包括图像边缘和纹理以及含噪声的区域),输出象素值将有 im1∑(-1 八(t-mh) (9) 所变换。最后用经过 Tiansi模板运算后图像的象素值与原图像 对应象素值相减,得到图像经过分数阶微分运算产生变化的信 其中Gama函数r(n)=etd=(n-1),若一元信号f)的息值,通过对比分析说明由此获得的是具有很高信噪比的图像 持续期为t∈[a,l,将信号持续期间a,l按单位h=1进行等分,边缘信息、 1-a1h 场 可以得到n=h=t-a],推导出一元信号分数阶微分的差分 表达式: df=/D)+(=)(1-1)+(-)(-+1)2)+… 原图 0.3 阶 0.5阶 阶 图3不同阶微分算子提取的图像边缘信息 d't 2 r(-1+1) (10) ft-n) 图3中的图像是不同阶分数阶徼分算子提取的图像边缘 n!r(-+n+1) 信息。通过仿真实验可以观察到随微分阶数的增加,图像的边 二维数字图像信号中x和y的持续区间分别为x∈[x,缘逐渐加强,当微分阶数大于06时,提取的边缘信息值大部 和y∈D,,因此对于数字图像而言,分数阶微分掩模的尺度分已超出图像显示范围(0-255。通过上述图像边缘提取的仿 大到等于数子图像本身的尺度,也是对分数阶微分解析值的最真实验表明,分数阶微分 T算子可以有效提取图像边缘 大逼近。 调节微分阶数可以得到连续提升的图像边缘,同时也显示当微 3.2分数阶微分掩模算子的近似构造 分阶数大于0.6后,提取的边缘信息急剧增加。 般来说在MxN的图像f上,用m×m大小的滤波器掩模4.2图像边缘提取信息经过拉伸后的对比 进行线性滤波由下式给出: 为对不同微分阶次提取的边缘信息进行对比,对各阶次提 g(x,y)=∑∑v(s,)( xts,y+ (11)取的边缘信息进行伸缩变化,将提取的边缘信息限制在图像显 sE-a t=-b 示范围(0~255)内。 这里,a=(m-1)2且b=(n-1)2。为了得到一幅完整的经过滤波 图4的图像是不同阶微分算子提取的边缘信息经过拉伸 处理的图像,必须对x=0,1,2,…,M-1和y=0,1,2,…,N-1依变换后的图像。通过对比上述图像可以看出不同阶微分算子提 次应用公式。这样,就保证了对图像中的所有象素进行处理。 取的边缘信息基本相同。 为实现滤波器且不使误差太大,选择分数阶差分定义的前 三相,同时为构造各向同性滤波器,本文采取5×5的分数阶微 分掩模。首先考虑到将x方向的左右和y方向的上下,于是这 两个方向上面分别有2个f(x,y)项,这样就有了4个f(x,y)。 再考虑到斜向45°方向上面象素的影响,于是需加上4个斜方 原图 0.3阶 0.5阶 0.7阶 图4经过的不同阶微分算子提取边缘信息的伸缩变换图 向的项,由于每个斜向上面都包含一个f(x,y)项,将所有不同 方向上的f(x,y)项相加共有8个。因此得到如图2所示掩模。43各不同阶 Tiansi算子提取边缘的对比 本文采用的只是分数阶微分的一种近似算子,所以肯定存在其 选择不同阶数的 Tiansi算子对图像进行边缘提取,对比不 它不同的算子。因此命名为 Tiansi算子。 同阶数提取边缘的情况。 上述8个方向的分数阶微分掩模算子具有旋转同向性。 图5的图像是不同阶 Tiansi算子提取的边缘信息,在选定 阈值107后,二值化图像边缘的对比图。从图5中可以看出随 4图像边缘提取的实验仿真及结果分析 微分阶数的减小,提取的边缘信息基本不变,但噪声有所减小 在图像处理中,边缘检测常常基于整数阶微分运算尤其是这说明微分阶数的减小有助于提高边缘提取的信噪比。 82007,43(35) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 坛的机理的探究,是分数阶微分在图像处理这一领域中进行的尝 03除发%奖试性应用,是对分数阶微分所蕴藏的许多珍宝进行探索性发 掘,是一个刚刚起步的研究课题。(收稿日期:2007年8月) 7阶 0.5阶 图5不同阶微分算子提取的图像边缘 参考文献: 44各种算子提取边缘信息的对比 [1 Loverro A Fractional calculus: history, definitions and applications 图6的图像是经典一阶 Sobel、 Prewitt算子和二阶 Lala- for the engineer[D]. USA: University of Notre Dame, 20(4 ications cian算子与分数阶 Tiansi算子提取边缘的对比图。从图6中可2euJs, Papamarcou A. On estimating the spectral exponent of 以看岀一阶 Sobel和 Prewitt梯度算子提取的边缘信息接近,二 fractional Brownian motion[J .IEEE Trans IT, 1995, 41(1): 233-244 阶 Laplacian算子与分数阶 Tiansi算子提取的边缘信息类似。3] Liu szu-Ch, Chang Shyang Dimension estimation of discrete-ime 从图中可以清楚地看到二阶 Laplacian算子与分数阶(0.5阶) fractional Brownian motion with applications to image texture clas Tiansi算子提取的边缘信息远比一阶 Sobel和 Prewitt算子提取 sificationJ. IEEE Trans on Image Processing, 1997,6(8): 1176-1184 的边缘信息丰富。 4] Oldham K B, Spanier J.The fractional calculus[M]. New York Aca demic press. 1974 [5] Podlubny IFractional diffcrcntial cquations[ M/Mathcma atics in Sci ence and Engineering. [ S.1. Academic Press, 1999 Sobel算子 Prewet算子 Laplacian算子 f-f [6 Marr D, Hildreth E Theory of edge detection(C]/Proceedings of the 图6不同算子提取的图像边缘信息 Royal Sociely of London, Series B, Biological Sciences, February 45各种算子提取边缘的对比 1980:187-217. 图7的图像是经典一阶 Sobel、 Prewitt算子和二阶Iapa-7 Jeong H, Kim C Adaptive determination of filter scales for edge cian算子与分数阶(0.5阶) Tiansi算子提取边缘信息,在选定阈 detection[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelli 值107后,二值化得到图像的边缘对比图。从图中可以清楚的 gence,1992,l4(5):579-585 看到二阶 Laplacian算子与分数阶 Tiansi算子相对于一阶So-8 I Turgut A Y, Remez e a, Bule S. Multidirectional and multiscale bel和 Prewet算子提取了更为丰富的边缘。同时 Tiansi算子提 edge detection via M-band wavelet transform J. IEEE Trans Image 取的边缘相对于一阶 Laplacian算子提取的边缘噪声较小。 Processing, 1996, 5(9) [9 Elder J H, Zucher S W. Local scale control for edge detection and blur estimation [J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1998,20(7):699-716 [10] Andrew PP Directional filtering in edge detection[J. IEEE Trans Sobel算子 Prewitt算子 Laplacian算子 Tiansi算子 图7不同算子提取的图像边缘 Imaging Processing, 1998, 7(4) [11 Sze C J, Liao H Y M, Hung H L, et al. Multiscale edge detection 46结果分析 on range images via normal changes [J].IEEE Trans Circuits and 仿真实验表明基于分数阶微分的 Tiansi算子在有效提取 Systems-I,1998,45(8):1087-1092 图像边缘信息的同时相对应传统的一阶和二阶微分的边缘算[12 Olson C f. Adaptive- scale filtering and feature detection usin 子具有较高的信噪比。同时随微分阶数的减小,所提取的边缘 range datalJ.IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intel- 信息的信噪比有所增加。但分数阶 Tiansi微分算子本身是分数 ligence,2000,22(9):983-991. 阶微分算子的一种近似,所以如何获取最佳边缘提取的微分阶13 Zhou d L,PanQ, Zhang H O. An improved algorithm of edge 数有待进一步的研究。 detection based on fuzzy sets[J Image Graph, 2001, 6(4): 353-358 [ 14] Demigny D An optimal linear filtering for edge detectionJIEEE 5结论 Transactions on Imag [15 Konishi S, Yuille A L, Coughlan J M, et al.Statistical edge detec 目前分数阶微积分的研究在国内外才刚刚兴起,虽然分数 tion: learning and evaluating edge cues J. IEEE Trans on Pattern 阶在各领域的应用基本上都是尝试性的,但其优越性正逐渐显 Analysis and Machine Intelligence, 2003, 25(1): 57-74 露出来。本文通过理论分析得出分数阶微分用以图像的边缘检 [16 Bao P, Zhang Lei, Wu Xiao-lin Canny edge detection enhance 测较传统的整数阶微分有明显的优势,并且构造了近似的分数 ment by scale multiplication[ J. IEEE Transactions on Pattern 阶微分 Tiansi模板,实验结果显示基于分数阶微分的图像边缘 Analysis and Machine Intelligence, 2005, 27(9): 1485-1490 提取方法有效效果良好,表明分数阶微分在图像处理这一领17]wujm-bo, Yin zhou-pig, Xiong You-lu, The fast multilevel 域有广阔的发展前景 fuzzy edge detection of blurry images[J.IEEE Signal Processing 本文是对分数阶微分所蕴嶽丰富多彩的内容及奥妙深邃 Letter,2007,l4(5):344-347

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