论文研究-一种DEA效率概率占优方法研究.pdf

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论文研究-一种DEA效率概率占优方法研究.pdf,  决策单元间的效率关系研究是效率研究中的重要领域.传统DEA模型通过计算决策单元各自最优权重情景下的效率最大值,来判断决策单元间的效率排序关系.而这种最优权重往往是极端权重,没有考虑其它权重情景.采用其它权重时,决策单元的效率值和排序往往会发生较大的变化.本文考虑了所有权重情景,提出了DEA效率概率占优模型,定义了决策单元的占优效率概率和被
第10期 唐宵,等:一种DEA效率概率占优方法研究 2643 (7)式经变换可得 Max/MiEA=∑n1nA Un. n B=c∑mmmB UmMa= l 通过(8)式,在决策单元B的效率为a时决策单元A的效率最大值与最小值可以得到,即PA>B可 以经(3)式和(8)式计算.同理,PA>B也可用同样的方法计算·因此,两个决策单元的效率概率占优值可 经(1)式得到. 定义2若(8)式所得 max ea<a,则称决策单元B效占优于决策单元A且PB>A=0. 定义3若(6)式所得 min Ea≥a,则称决策单元A效率占优于决策单元B且PA>B=1 定义4决策单元A效率概率占优于其自身的概率为0,即P4A=0 定理1PA(值与决策单元B的效率取值a无关 证明原线性规划为 Max/Min Er s.t. E 该线性规划可变化为 Max/Min E yrL r rK 7s. sL 矩阵形式表达为 ax/Min f=Cz .az= b 其中,z为变量,C=(0,…,0,L,…,孙sL);A= Q1K-OrK,y1F·ysF b=(0,1);z L 因为(x,y)均不为0,所以A的秩为2.因此,最优解的可行基B为一个2*2的矩阵 OTbK 可知B有两种情况:(1)B 和(2)B (aK 6K 其中a和b分别属于 b )和 分别讨论: (0,0) B (bkal-ca kclA ce(aakcol-cbraaL beaL 线性规划的最大值为fMx=CBB1b=(0,0)B1/0 0 (ii)CB=(0, ybL B 0 0 线性规划的最大值为fMx=CBB-1b=(0,yz) yb 显然(i)的目标函数值大于(i)的目标函数值,即Max必为一个实数乘以a.同理,可知fmn中必为一 个实数乘以a.故P=Mm=n值与决策单元B的效率取值a无关即P4B1值与决策单元B的效率 取值a无关,得证 定理2P4}B值与决策单元A的效率取值a无关 证明同定理1. 定理1和定理2表明决策单元A与决策单元B之间的效率占优概率值与所固定决策单元的效率取值 无关因此,为了方便计算,本文取a=1. 2644 系统工程理论与实践 第36卷 3效率概率占优矩阵 敚率概率占优模型将决策单元敚率占优扩展到效率概率占优.效窣概率占优能够描述任意两个决策单元 间的效率关系.而在实际效率评价等活动中,决策者往往面对的一个决策单元集,包含众多决策单元因此, 此处将研究一个决策单元与一个决策单元集间的效率关系 假设一个决策单元集合S有n个决策单元,分别为1)1,D2…,D2决策单元间的效率概率占优关系表 示为PD>D,,∈(1,2,…,m).因此,该决策单元集的效率概率占优矩阵如表1所示 定义5决策单元Da卢优效率概率PD2和被占优效率概 率PD2分别为 表1效率概率占优矩阵 P P Di>D D1 0 1 D P D2>D1 Pr Don (10) 其中n≠1.当=2时,该效率概率占优矩阵即为两个决策 Dn PDn>D, PDn>D2 单元间的效率概率占优 由(1)、(2)、(3)式知:PD;+PD-1 决策单元D的占优效率概率PD,指决策单元υ效率能占优其它决策单元效率时的平均概率,是决策 单元D效率概率占优决策单元集S的一个效率关系指标.它反映的是决策单元D2能够占优其它决策单元 的一个效率关系指标.若决策单元的占优效率概率值越大,说明该决策单元越容易占优其它决策单元,表明 该决策单元的效礻值在评价过程中以较大的概礻可能大于其它决策单元的效礻值 决策单元D的被占优效率概率PD,指决策单元D被其它决策单元占优时的平均概率,是决策单元D2 效率被决策单元集S概率占优的一个效率关系指标.它测度的是决策单元D2被其它决策单元占优的一个 效率关系指标.若决策单元的被占优效率概率值越大,说明该决策单元越容易被其它决策单元占优,表明该 决策单元的效率值在评价过程中以较大的概率可能小于其它决策单元的效率值 同一个决策单元的效率占优概率和效率被占优概率之和为1.决簧单元的效率占优概率和效率被占优概 率均是反映决策单元与决策集间的效率关系指标这两个指标在决策单元效率排序、效率评价以及效率改进 等许多方面均有实际应用 4实证分析 本文采用了Salo文章中的机器人评价的数据在CCR模型对原始数据分析的基础上,我们用本文 所提出的方法对机器人的投入产出效率进行了排序.机器人效率分析有2个投入指标,分别为:成本和重复 性;有2个产出指标,分别为:速度和负载能力.27个机器人的数据如表2所示 表227个机器人投人产出指标数据 投入指标(X)产出者标(Y) 投入指标(X)产出指标(¥) 编号成本重复性速度负载能力‖编号成本重复性速度负载能力 NO.(X1)(X2)(Y1)(Y2)‖No.(X1)(X2)(Y1)(Y2) 40.157.2 3.68 47 B 0.05 4.8 1.1 6.88 80 1.27 1.27 O D0.0257.2 1.5 0.66 10.26.310 E0.25 9.6 0.05 S0.050.9410 0.3 F 0.3 T 0.161.5 0.8 1.76 1 2.81 27 1.7 3.2 15 05 3.8 0.9 26. 10 1.1 0.1 1.25 2.5 .5 J0.0524 0.1 1.37 2.5 0.5 0.52 0.9 0.23.63 6.9 13.6 0.15 21.275.370 1.25 M 0.05 3.2 1.2 AM2.03 4 205 0.75 N0.054 30 1.2 第10期 唐宵,等:一种DEA效率概率占优方法研究 2645 通过(1)、(2)、(3)和(8)式的分析,每个决策单元与其它决策单元两两比较的占优概率和被占优概率均 可计算得到.此处,以决策单元H和T举例说明其占优效率概率的计算方法.决策单元H和T占优其它 决策单元的概率如表3所示 表3决策单元H和T占优其它决策单元的概率 C E H H0.35480.60690.72200.67000.87131.00000.63270.00001.0000 T0.48220.48020.48520.49710.50140.50950.45060.47120.4911 J K L M N O O H0.47730.64691.00000.32690.03290.63860.65791.00001.00 T0.46140.47500.52540.46440.47060.48080.49010.52510.4916 S T Y AM H0.39170.52880.71010.73060.85330.90221.00000.63290.5274 T0.47000.00000.46710.49740.47490.47850.47990.48320.4850 表3中每行为决策单元H和T占优其它决策单元的概率,即PH>和P12其中讠为其它决策单 元决策单元H和T占优其自身的概率为0.即PH=0和Prxr=0.根据(9)式和(10)式,决策单元 H和T的占优效率概率为PH=0.6890和Pr=0.4842.由此,其它决策单元的占优效率概率均可以通过同 样的方法得到,如表4所示.表4同时还列出了各个机器人在CCR模型下的效率值 表427个机器人占优效率概率 机器人代号占优效率概率CCR效率机器人代号占优效率慨率CCR效率 0.7182 0.513 0.61 0.5672 0.90 0.4757 0.60 0.4136 0.1751 0.40 0.4105 0.3566 37 E 0.3472 0.59 0.7739 0.48 0.4842 G 0.6500 0.4709 0.85 0.6890 0.78 0.3843 0.3706 0.38 0.46 0.4077 0.64 0.5685 0.4888 0.55 0.1069 0.10 0.5126 0.58 0.7672 AM 0.5463 0.8716 由表4知,决策单元N、S、M、A和J的占优效率概率较高,表明这几个决策单元的效率有较高的 概率可能性大于决策单元集中其它决策单元的效率.而对于决策单元R、E、F、Q和Ⅰ的占优概率效窣较 低,即其被占优效率较高,表明这几个决策单元的效率有较高的概率可能性小于决策单元集中其它决策单元 的效率 因此,通过各个决策单元的占优效率概率,各个决策单元的效率排序为表5所示表5同时还列出了按 照CCR效率值进行的排序.表5中排序数字代表决策单元效夲大小顺序.按占优效率概率排序时,决策单 元N为效率最高,决策单元L为效率最低 由于CO模型尤法判断有效单元效率值的高低,因此在表5中按照CCR效率值的决策单元效率排序 时,所有有效决策单元的效率排序均为1.其它无效决策单元按照其效率值高低进行排序 通过表5,可以发现按照决策单元占优效率概率的排序和按照CCR效率值的排序并不完全一致.如决 策单元1在占优效率概率排序中为14,m在CCR效率排序中为1;决策单元Ⅹ在占优效率概率排序中为 20,而在CCR效率排序中为16.产生这种排序不一致的原因是CCR效率值只是各个决策单元的最大效 值,只选取了最大效率值下的一组权重集,而其它情景下的权重集均没有考虑.而占有效率概率则考虑了所 有权重情景,并通过占有概率高低来反映该决策单元效率值的大小.对于决策单元H和决策单元T,决策单 元T是CCR有效的决策单元H时CCR无效的.但是决策单元H的占优效率概率反而比有效决策单元 2646 系统工程理论与实践 第36卷 T的占优效率概率大.这正是因为CCR模型没有考虑其它权重情景所造成决策单元H的效率比决策单元 T的效率低的原因 表5基于占优效率概率的27个机器人效率排序 机器人代号占优效率慨率排序CR效率值排序机器人代号占优效率概率排序CR效率值排序 4 17 B 10 15 18 26 19 23 E 24 19 T 16 11 6 13 21 12 22 25 17 14 5 X 21 L 20 1 5结束语 效率占优是指无论投入和产出指标的权重怎样变化,一个决策单元的效率值始终大于另一个决策单元的 效率值的情景.效率占优分析」两个决策单元间的效率关系.但是大部分决策单元间的效率关系往往是随着 杖重的变化而不断变化,并不一直都是一个决策单元的效率占优另外一个决策单元的效率.因此,本文将效 率占优的框架扩展到效率概率占优基于两两比较的效率概率占优,构建了效率概率占优矩阵,并定义了决 策单元与决策单元集的效率概率占优关系,即该决策单元的占优效率慨率和被占优效率概率.最后将其应用 于决策单元效率排序中去 实证分析部分很好的展示本文的三个意义 1)在效率占优的基础上提出了效率概率占优.将严格的效率占优概念扩展到所有决策单元均可以进行 比较的效率穊率占优.效率占优只能描述在所有可能权重情景下具有严格占优的效率关系,而效率概率占优 能够描述任意两个决策单元在考虑所有可能权重情景卜的一种效率关系;并且效率占优是效率概率占优框架 下效率占优概礻等于1或O的一种特殊情况 2)将效率概率占优扩展到决策单元与决策单元集比较的占优概率.效率概率占优摧述的是决策单元间 两两比较的一种效率关系.通过构建效率概率占优矩阵,本文将两两比较的效率占优关系进一步扩展到决策 单元与决策单元集比较的占优概率 3)为效率评价和投入产出决策提供了新的一类信息,占优效率概率和被占优效率概率;并且构建了效率 评价与概率论之间的一个连接,用概率去描述决策单元之间的效率关系.传统DEA模型能够提供效率值和 效率排名.效率排名是效率值所延伸的二级信息.本文提出的效率概率是与效率值同一级别的信息,能够为 效率评价和投入产出决策提供辅助支持. 最后需要说明的是本文虽然着重分析效率概率占优在决策单元效率排序中的应用,但是效率概率占优在 决策单元的效率改进和效率评价等分析中同样可以应用.未来的研究思路主要集中在如何进一步测度占优效 率概率以及其在实际效率评价和效率改进中的应用 参考文献 1 Charnes A, Cooper WW, Rhodes e. 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