论文研究-基于动态因果结构推断的SVAR模型识别:算法和仿真.pdf

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论文研究-基于动态因果结构推断的SVAR模型识别:算法和仿真.pdf,  给定任一满足递归结构假设的SVAR模型,存在一个与其是相同数据生成过程的线性动态因果结构模型,且SVAR模型系数矩阵与动态因果结构之间存在特定的对应关系,故同期变量间因果结构推断可以为SVAR模型提供正确的识别条件.同时还证明同期变量与滞后变量间动态因果结构推断能为同期变量间因果结构的正确推断提供有用信息.据此,在PC
1444 系统工程理论与实践 第36卷 后变量间的动态因果结构隐含了同期变量间因果结构的重要信息,例如:在仅考虑同期变量间因果结构条件 下,若在组成等价类的某一DAG中有%t→3,而在另一DAG中则有t←yt,这样会得到两组不同的 识别条件.然而,在考虑同期变量与滞后变量间动态因果关系条件下,假设存在一个滞后变量yk(-h),在真 实刻画变量动态因果结构的DAG中其仅同t和vt之一是邻接的,我们不妨设其为yt,由于yk(-h是 滞后变量,因此有:3k(-h)→3t,这样在刻画动态因果关系的DAG等价类中下列两种情形仅有一个成立 k(4-b)→yt→3t或(t-b)→yt←3,这是因为后者是一个”-结构,而前者不然,所以二者不可能同 时出现在同一等价类中,这样对系数矩阵B0来讲也就不会得到两组不同的识别条件.因此,本文旨在将基 于同期变量间因果结构推断来构建SVAR模型识别条件,拓展到基于动态因果结构的推断,在更为广泛的信 息基础上构建SVAR模型的识别条件,使SVAR模型能够被正确识别旳情形得到有效拓展 2动态因果结构推断的几个重要定理 为了将司期变量因果结构推断拓展到动态因果结构的推断,我们首先需要将针对截面数据的因果结构模 型的相关概念折展到针对时间序列数据的情形 定义1(动态因果结构)变量集Y={v1t,y2t,…,ynt}上的p阶动态因果结构是指一个DAGG (V,E),其中:V=UB=0Y-h,Y=1,2,…,m,是定义在实数空间上的时序变量,E是由DAGG中所有 的有向边所构成的集合,且有: 1)Ygt∈Y和vy(t-h)∈∪h=1Y-h,(ymt,v(t-b)≠E 2)Vyi(t-k), i(t-h)EUh-1Yt-h, (Ji(t-k):j(t-h)E 显然动态因果结构的定义,是在时间序列数据条件下对因果结构的一个推广,右滞后阶数p=0,动态因 果结构则退化为一个同期变量集Y上的DAG 定义2(动态线性因果结构模型)动态线性因果结构模型是一个二元组M=(G,O),其中:DAGG= (V,E)是变量集Y={yt,y2t,…,ynt}上的p阶动态因果结构,Q是与DAGG相对应的一个参数集 仅赋予∈Y一个线性结构方程,即 yit ∑ + 33(t-h)∈pa(yt,C) 这里:m(,G是DAGG中mt的父节点集,也即m(mG)全{t-b)∈V(my(t-b,vt)∈F,h 0,1,…,n},且-b)∈m(ym,G),其对应的系数a)≠0,5n为相互独立外生随机扰动项,其分布函数同 样也山模型参数集θ所赋予 假设1在式(2)所表示的SVAR模型中,同期变量系数矩阵B是一个主对角元等于1的下三角矩阵, 即SVAR模型具有递归结构 这里我们所给出的假设1,对基于因果结构推断的SVAR模型识别方法而言,是一个最为基本假设,其 对应于因果结构模型M=(G,θ)中G是一个有向无环图.我们需要特別说明的是:虽然,在假设1下,同 期变量系数矩阵B0为一个主对角元为1的卜三角矩阵,但由于与下三角系数矩阵B0相对应的Y中的变 量次序是未知的,我们并不能通过对协方差矩阵ΣU进行 Choleski分解得到系数矩阵B0的一致佔计量.可 见,假设1明显弱于基于 Choleski分解的SVAR模型识别方法所隐含的假设条件 定理1给定任意一个满足假设1的SVAR模型,存在一个与其是相同数据生成过程的线性动态因果结 构模型M=(G,6),且:y(-n)∈V以及va∈Y,((x-b),y)∈E当且仅当系数矩阵Bn的第i行和第 列元素b)≠0,这里h=0 证明给定SVAR模型,我们以Uh=0Y-h为节点集构造一个满足如下条件的有向图G=(V,E):1) vt∈Y,p(ym,O)={9t-b)∈Vb0≠0,h=0,1,…,p};2)Vyjt-h)∈U=1Yt-h,p0(yt-b:G)=( 不难看出,在假设1条件下,有向图G中不存在环,故其为一个DAG,且:W∈Y,(/t-h),9)∈E当且 仅当b(b)≠0.接下来我们对AGG进行参数化,t∈Y2O赋予其如下形式的结构方程 t ∑b θ同时赋予ξ誌与SVAR模型扰动项5第个元索5t相同的分布.显然,m个如式(4)所示的方程所 组成的线性动态结构方程系统与SVAR模型是相同的数据生成过程,证毕. 第6期 张二华、等:基于动态因果结构推断的SVAR模型识别:算法和仿真 1445 我们令DAGC0=(Y,E0)是动态因果结构DAGG在同期变量节点集Y上的限制,即:Eo=E∩(Yt Y).根据定理1,从SVAR模型生成的数据出发,利用PC,SGS等算法对同期变量间因果结构即 DAG GO 的推断,就可以得到SⅥAR模型识别条件,这也正是目前基于DAG方法的SVAR模型识别的普遍做法.但 是,根据观察等价定理29,上述算法得到的是一个包括同期变量问真实因果结构 DAG GO的等价类,该等 价类中所有的图均有着相同的架构和υ-结构.所以除非该等价类中的元素是唯一的,否则这一方法并不能 使SVAR模型被完全识别、事实上,由于滞后变量与滞后变量间的动态因果结构蕴含了同期变量间因果结构 的重要信息,因此如果能够对整个动态因果结构DAGG做出正确推断,那么SVAR模型被完全识别的情形 将会得到有效拓展 引理1给定真实的数据生成过程为线性动态因果结构模型M=(C,Q),Wyt∈Y和Vy1t-h)∈UB=1 Y4-h,若在DAGC=(V,E)中,有((-b),y)gE,则三yY4,V∈,将vt投影到由y和 U=1Y-中所有元素张成的线性子空间中,则其在列-b)上的线性投影系数D(G,6)=0,这里|e‖ 表示参数集合O中元素的个数 证明我们给出一个构造性证明,vyat∈Yt,令: ∩pa(a 显然有:vs{Yt-de(yt,G)以及m(vt,G)s{=1Yb}∪y,这里,de(v,G)表示vt在DAGG的 后裔节点集.由于在真实的数据生成过程线性动态因果结构模型M=(G,O)中有: =∑ay(c-b)+5 g(t-h)∈pa(yt,G) 所以根据线性投影原理,我们有: Poi(my,Yn,Y2…,Y-n)=Po(∑a30-)+5nB,Y=,Y1-2,…,Y- y5(t-h)∈pa(ytG) Ui(t-h)+ Proj(Sit ly ∈pa(yat,G 因为ys{Y-de(yt,G},也就是说:gk∈3,有 kl f de(列t,G).因此,在模型M=(G,)中,扰 动项独立于集合yt和UB2=1Y-h中的所有元素,故而: i(Eat lyt, Yt-1, y 这样根据式(7)和(8),我们有 Proi(yitlyt, Yt-1,Y pa(yit, G) 由于(y(-b,w)E,即bm(m,(),我们有:ay、(G,6)=0,证毕 引理2给定真实的数据生成过程为线性动态因果结构模型M=(C,),wwt∈Y和vy(t-h)∈∪"=1 Y-h,若在DAGG=(VE)中,有(yt-b),m)∈,则vygY,参数集{6∈B|O1,(G,)=0}在 R‖空间中的 Lebesgue测度为零 证明YyCY,以及y∈Y和yi(t-h)∈Uh=1Y-给定(v(t-b,i)∈E,也即(t-h)∈ p(y,C,显然线性投影系数AG)是关于的一个多项式因此,参数集{⊙cP2Dn(G, 0}为P空间中的一个超曲面故其 Lebesgue测度为零,证毕. 定理2给定真实的数据生成过程为线性动态因果结构模型M=(G,θ),以下结论在模型参数Q定义 域所对应的实数空间B°上几乎处处成立在DAGG=(V,E)中(v(t-b),y)E当且仅当三yt∈Y, t在91(-b)上线性投影系数(G,)=0 证明可由引理1和引理2直接得到,证毕 根据定理2,除非对模型M=(G,θ)的参数θ作特别设置,否则就我们可以搜寻同期变量集Y的子 集v,并通过对((G,)是否为零的判断来对m和v(t-b在DAGG中是否邻接的做出正确推断 1446 系统工程理论与实践 第36卷 因为若ysY1,有(G,6)=0则在DAGC中,必有(0(-,ym)≠E;反之,则在DAGC中,有 ((-b),yi)∈E.这样,根据定理2,我们就可以对同期变量和滞后变量间的动态因果结构做出正确推断接 下来,我们重点研究如何利用动态因果结构推淅得到的信息对同期变量间的因果结构作进一步推断,在正式 讨论这一问题之前,我们先给出与该问题有关的一个前提假设 假设2真实的数据生成过程即模型M=(G,O)的先验概率分布满足以下两个条件:1)令G是节点 为V的所有DAG构成的集合,G中所有元素的先验概率均严格为正;2)参数集6在R空间上的先验 概率分布关于 Lebesgue测度是绝对连续的 应该注意到假设2并不是一个十分严格的假设条件,而具有明显的一般性,因为:除非我们掌握或持有 真实的数据生成过程模型M-(G,O)特别的先验信息或信念,否则在有关DAGG的先验概率分冇中,没 有理由将任何一种可能的情形排除在外;同样,在关于参数集Q的先验概率分布中,也没有理由赋予Re 空间中的某个点或可数个点严格正的概率.实际上,在贝叶斯方法中,当缺乏参数的先验信息时,均匀分布作 为先验分布是个不错的选择,因为从逻辑上讲,既然我们对参数一无所知,那么我们就没有任何理由认为未 知参数在其定义域上的某个点或区域上取值的可能性大于或小于另一个点或区域,而在DAGG和O的先 验概率分布是均匀分布的情形下,假设2显然成立 引理3在假设2条件下,w∈Y和1(-)∈U=1Y-h以及ysY,给定线性没影系数ai(G, )=0,则G∈C12的后验概率Prob{∈C121(G,6)=0}=1,其中C12{∈Cy=(Y1 de(yit, G) 证明给定y∈Y和y;(t-h)∈∪n=1Yt-h以及v≤Y,我们首先定义G两个子集 14{G∈G(m(m,a∩Y) c yt and yt c(Yt-de(mt,G)} (10) G2全{G∈G|重(vt,)≠0 and yt C(Y-le(yt,G)} (11) 其中:Φ(yt,y)全{kt∈m(yt,G) ykt E y},显然我们有:G12=G1∪G2.我们再令G3=G-∪G12,这 样GG2,G3就构成了集合G的一个分划接下来分别讨论给定G1,G2和G3条件下,B(G,)=0 的条件概率 首先,给定G∈G1条件下,根据定理2,我们有 ∑cec; ProbE(G Prob{分0(C,6)=0G∈ y i 1} (12) G∈G 其中:G1={G∈G1|91(t-b)≠poa(yt,C)}, ProbE是G上的先验概率分布,显然在假设2条件下,式(12) 的分子和分母均严格为正 给定G∈C2条件下,,(G)=0的条件概率 Prob iM, (G,0=0G E G2= G∈G2 ProbE( G)Probet∈l|n11+∑,n)ahB(G,)=0 EGeG ProbE(g ProbE(GP,robo{e∈Pl h) G∈(G2-G2) e(32)kBky2(G,O)-0} (13) 其中G2={G∈G2V(t-b)∈pa(v,C)}, Probe是e在R空间上的先验概率分布由于参数集 {a1+∑n0(,)p的(G,0)=0}是Pe空问上的一个超曲面,因此在假设2条件下,我们有 (C2 ch)ProuG(G)Probe1e (h) ProbB!(G, 0)=OGEG2 ykt∈重(yt,3t) (G,O)=0} ∑c∈c2Poc(G) 同样给定G∈G3条件下,B列(G)=0的条件概率 P-woiLG, O)-OIGE G3)-<: ProbG(G) Probe0E R(h) (G,0)=0) G, ProbE(g 第6期 张二华、等:基于动态因果结构推断的SVAR模型识别:算法和仿真 1447 给定GC3,3VACv, ykt c do(m,C),故A((CG,6)是关于的多项式,所以{e∈R3,(G )=0}是空间上的一个超曲面,因此在假设2条件下,我们有 (h) b{B,(G6)=0(∈G3}=0 16 故而由式(12),(14)和(16),我们得到(G,0)=0的先验概率 Po0,)=0}=∑(∑Pobc)pobi6)-0∈c}-∑Pl()+ ProbE(G) Probe1e∈r 3kus(o)ah)(,6)=0 由于在假没2条件下:式(17)右侧的第一项严格为正,所以先验概率也同样严格为正,根据贝叶斯法则 以及式(12)和(14),给定A(G,)=0,G∈G12的后验概率 h) PGE Giand B., (G, 0)=0+ProblG e G2 and Bmu G,0)=01 Prob(33,(G,⊙)=0) GeG. Probo(G) Probe、G,)=0G∈G1H+(∑cec2Prbe(G)PbAb(G,)=0G∈G2} (h) Prob(,(C,)=0) GEG, ProbG(G)+ 2GE(G2-G) ProbE(G Probe1ee Rllell 0)a(i kt∈重(yt,yt) 'ih ik yt (G,)=0} b(3D,(G,.)=0} (18) 根据式(17)和(18,有:P1b{G∈C121))(G,)-0}-1,这就得到了我们所需的结论,证毕 定理3给定真实的数据生成过程为线性动态因果结构模型M=(G,⊙),在假设2条件下,以下结论 在参数定义域城所对应的实数空间P上几乎处处成立:Wyt,ykt∈Y以及W(-M∈UB=1Y4-h,若 在DAGG中,t和k是邻接的,kt和y(t-b)也是邻接的,但vt和y(t-b)是非邻接的,则节点三元组 (yt,9kt,y(t-b)是DAGG中的一个v-结构当且仅当对于vyt∈ Supset(v5(t-b),vt),均有yt≠yt,其中 Supsct(3,(t-h), yit)=ytcYtBiiu, (G O)=0) 证明首先我们反证法来证明定理的“→”鄙分结论如若不然,则彐y∈5 Upset(y1(4-h)yt),有 kt∈v:也即:彐yY1,B1,(,)=0且k∈y,这样根据引理3,vkt∈s(Y-de(a,G),由于 vt和yMt是邻接的,所以在DAGG中必有:wkt∈p(yG),这显然同(ya,ykt,y3(-b)是DAGG中的一 个v-结构相矛盾 接下来我们同样用反证法来证明定理的“←”鄙分结论.如若不然,则(3t,3%xy(-1)是DAGG中 的一个顺连结构,即:mt←队←y(t1),故w∈p(,G).由于vgyt∈ Supset(y;(tb),vlt),均有wkty, 且(31(t-,vkt)∈E,所以在由y和U=1Y1-h中元素张成的线性子空间中关于v/(t-h)的投影系数 4),(C,6)是关于6的一个多项式.这样在假设2条件下,有:Pob(B),(G,6)=0}= Probe{e∈ Loath) (G,O)=0}=0,显然这同 Upset(1(t-h),a)定义相矛盾,证毕 定理3表明:同期变量与滞后变量间动态因昊结构推断可以为同期变量间因果结构的正确推断提供有 用的信息,从而使SVAR模型完全被识别的情形得到有效拓展.例如.在同期变量间因果结构推断的结昊中 存在未定向边vt-3k,这样所得到的SVAR模型的识别条件并不唯一的但是,若3y(t-)∈Uh=1Y-h,在 DAGG中,31(t-b)同且仅同yt和ykt中之一是邻接的,不妨设为3kt,定理3,若彐yt∈ Supset(91t-h),ya) 有ykt∈yt,则(3yt, 是DAGG中的一个顺连结构,即:t←3t←9;(-1),其对应的识别条件 为:b0≠0和 反之,则( )是DAGG中的一个结构,即:t→kt←3(t),其 对应的SVAR模型识别条件为:b1=0和b0≠0,从而得到唯一的一组识别条件 3动态因果结构推断的算法 由于计算效率等方面的优势,PC算法在基于同期变量间因果结构推断构建SVAR模型识别条件方面应 用最为广泛,242.所以,下面我们在PC算法的基础上根据定理2和定理3,将同期变量因果结构推断 算法拓展到整个动态因果结构的推断 1448 系统工程理论与实践 第36卷 算法1基于PC算法的动态因果结构推断 输入:模型M=(G,)生成的时间序列{Y}=1 输出:包含真实动态因果结构DAGG的等价类g,9中所有元素具有相同的架构和-结构 1)利用PC算法,得到一个Y上正确刻画同期变量间全部或部分因果结构的图Go,判断图G0中所有 的边是否均为有向边:若是,运算停止,得到唯一的一个 DAG GO;反之,则进入下一步运算 2)利用图Gu,在节点集∪1=0Y-h上构造个既存在有向边又存在无向边的部分有向图G1( partially directed graph),G1在同期变量节点集合Y上的限制即为PC算法的运算结果即图Go,且y∈Y和 vy(t-b∈U=1-n:若彐vs(1-),B=0,则在图G1中,31(-b)和ya是非邻接的,并记 GH∈ Supset((t-b),i);否则,在图G1中的有:(t-b)→3 3)对于图G1中所有由两个同期变量和一个滞后变量构成的三个节点组合(,k,3(-h),其中:t 和3kt以及3kt和y(t-h在图G1是邻接的,但t和3x(t-b)在图G1是非邻接的,且vat和3kt边未定 向判断是否存在一个yt∈Spet(y(t-)3a)且有kt∈9:若存在,将t-3kt←y(-)进一步定向为 t+狄kt←9(t-b);反之,则将yt-ykt+(-h)进一步定向为:t→孙kt←3y(t-h),这样就得到了一个 新的部分有向图 4)对于图G2中所有的无向边3t-yrt:若存在一条由yt到ynt的有向路经,则将边ya-y/nt定可为: vit→孙kt;反之,运算停止,我们将最终得到的图记为G3 事实上,由于在图G3仍然可能存在一个由同期变量构成的未定向边,所以算法1最终的运算结果图G3 不一定为一个DAG而有可能为一个部分有向无环图.这也就是说,算法1最终的运算结果实际上为一个包 含真实动态因果结构DAGG的等价类9,等价类9中所有元素均与DAGG有着相同的架构和υ-结构,且 其分别对应于一组不同的SVAR模型识别条件.但是由于算法1是建立在PC算法基础之上,并利用动态 因果结构推断获得的信息对那些在PC算法中未能定向的边予以进一步定向,所以相对于PC算法,算法1 条件下SVAR模型识别得以完全识别的情形将得到有效拓展. 在算法1中,步骤1〕主要基于PC算法.由于SVAR模型识别条件的构建最终仅依赖于同期变量间因 果结构.因此,如若PC算法得到的是同期变量节点集Y上唯一的DAGC,这样SVAR模型就会被完全识 别,我们也就不需要对动态因果结构予以进一步推断;如若PC算法得到的是同期变量节点集Y上的一个 部分有向图Go:则我们可以通过动态因果结构推断对部分有向图G0中未定向边进一步定向.步骤2)主要 基于定理2,对同期变量与滞后变量间动态因果结构关系予以推断.步骤3)是主要根据定理3.利用同期变 量与滞后变量间动态因果结构中所隐含的同期变量间因果结果的重要信息,对PC算法运算结果中未能定冋 的边予以定向.步骤4)则根据动态因果结构DAGG的定义,从逻辑方法上对于那些经过步骤3)后仍未定 向的边进一步定向 4动态因果结构推断方法下SVAR模型识别的充要条件 由于算法1最终得到的是一个包含真实动态因果结构DAGG的等价类G,因此,除非g中的元素是唯 一的,否则SVAR模型将不能被正确识别.根据定理1,DAGG与SVAR模型的系数矩阵B,存在特定对 应关系,所以正是这些系数矩阵的结构特征决定了SⅥAR模型在动态因果结构推断条件下是否能够被正确 识别 定理4在算法1条件下,式(2)表示的且满足假设2的SVAR模型是可识别的当且仅当=1,2,…,m 下面三个条件之一必成立: 1)=0,其中:会{b≠0 2)<m)矩阵B0中的元素m01和0中有且仅有一个为零,也即:b=0且≠0或者 m0=0且=0.其中m(0)会Mx∈} 3)=1,2,…,p和=1,2,…,n,矩阵Bn中的元素b2k和b)中有且仅有一个为零,也即 N0=0且b0u)≠0,或者bmbk≠0且b)=0 证明如前所述,算法条件下SVAR模型是可识别的当且仅当包含真实动态因果结构DAGG的等价类 G中的元素是唯一的,所以我们只需证明:等价类g中的元素是唯一的当且仅当定理4中三个条件之一成立 首先我们来证明“→”部分结论,也即:给定等价类9中的元素是唯一,则ⅵ=1,2,…,m,定理4描述 三个条件之一必成立.我们用反证法来证明其逆命题,若彐,以下三个条件均成立:a)J72≠0;b)<m(2), 矩阵B0中的元素bm和b0或同为零,或同不为零h=1,2,…,n和Ⅵk=1,2,…,n,矩阵B 第6期 张二华、等:基于动态因果结构推断的SVAR模型识别:算法和仿真 1449 中的元素bmk和b或同为零,或同不为零.因为≠0,所以m()是有定义的,这样在DNGG有 ym(0t→yt,显然若条件b)成立,则j<m(i),三元组(y1t,yt,ym(+)在DAGG中均不构成一个-结构 根据假设1和m(i)定义,W≥m()且j≠i三元组(y,y,ym()在DAGG中也不构成一个-结构 这样在DAGG中,所有的j≠m()和j≠i三元组(t,3t,Wm(at)均不是一个”-结构此外,因为条件 )成立,所以h=1,2,…,和V=1,2,…,m,三元组(v,m1),k(t-b)均不是一个v结构.因此仅 将DAGG中的连接31m(at和9nt的有向边由ym1a)t→gt改变为ym(a)t←9ht,所得到的新图G与DAG G具有相同的架构和v-结构.此外,由于对于所有满足m()<l<i的1均有:b=0,也即:在DAGG 中,vat和mt是非邻接的,所以,这样的改变并不会导致在图G′中产生环,因此图也是一个DAG,且其 与DAGG有着相同的架构和υ-结构,显然,这同包含DAGG是等价类¢中唯一的元索相矛盾. 接下来,我们来证明“←”部分结论.同样用反证法,如若不然,ⅵ=1,2,…,n,定理4所描述三个条 件之一成立,且9中存在一个和DAGG不同的DAG(′.由于DAGG和DAG("具有相同的架构和v- 结构所以根据动态因果结构的定义,至少存在一个由同期变量构成的节点二元组(t,vt)在DAGG中 有:→vt,而在DAGG′中则有:vyt←n,显然条件1)不成立,故m()有定义,且在DAGG中有: ym(t→vt下面我们将证明,若2)成立,则存在yt,在DAGG中有:t→m(),而在DAGG中则 有:t←9m()t,这样上述过程可以不断重复,这显然同DAGG节点是有限的相矛盾.给定条件2)成立, 则玉<m(),有:b0=0且≠0,或者bm0k≠0,0=0.一方面,若bmk=0且b≠0 则三元组(3kt3,3m()是DAGG中的一个v-结构.此外,因为在DAGG中:3→wt←yn(ay 且(yx,t,m(1)不是DAGG中的v-结构,故在DAGG中必有:t→m()t.由于DAGG′∈9 在DAGG中必有:vt←ym(,否则三元组(3t,y,ym()是DAGG中构成一个环,所以令l=j 即得到所要的结论。另一方面,若bm0k≠0且b=0,则在DAGG中有:纵→m(0→+t 且yt→ym(t·而在DAGG中则存在以下两种情形:3kt→3m(t→yt←nt且t→ym()t;或者 kt←ym()t←vt←y,对于前者令1=j,而对于后者令l=k,就得到我们所需的结论.最后,若条件 3)成立,则=1,2…,和=1,…,m,bmk=0且≠0,或者bm0k≠0且=0.若 m0=0且b≠0,则(0(=b),,m(2)是DAGG中的一个结构故有m()≠,因此在DAGG 中有:yt→9a←m(nt且3)→3m(a),而在DAGC中则有:;←y←3m(t且y)←ym()t,此外在 DAGG中还有:0(t-5)→,否则(k(t-b),9t,y元)在DAGG中的一个-结构,而在DAGG′则不然 这样,(yk(t-h,),3m()就是DAGG中的一个-结构,而在DAGG中则不是,这与DAGG和DAG G属于同一等价类9相矛盾.b(k≠0且b=0情形下的证明过程与此类似这里不再赘述,证毕 5 Monte carlo仿真 我们已经从理论角度证明∫动态因果结构推断在构建SⅥAR模型识别条件中的重要作用,并构建∫相 应的算法,使得SⅥAR模型得以识别的情形得到有效拓展.这里进行 Monte carlo仿真主要目有二:一是, 与日前被普遍采用的PC算法相比,算法1在SVAR模型识别条件方面的表现;二是,定理4给出的充分必 要条件是否正确 模型1为∫验证定理2和定理3的结论,特别是对动态因果结构推断的算法1和同期变量因果结构摧 炘的PC算法的表现加以比较,同时为了有效避免不必要的复杂情形,在我们的Ⅵ onte carlo仿真中,数据 生成过程的SVAR模型具有如下形式: BoYt=biti+Et 1000 0.93000 其中:B0 1110/,B1=00.9300,E(1)=0,E()=l4,这里我们通过对Bo 0100 000.60 41.411 0000.38 和B1中所有非零元素的取值设置,使系数矩阵B0中5个非零元素的信号噪音比率大致相等以及系数矩阵 B1中4个非零元素的信号噪音比率也大致相等,这样可以使我们的讨论不至于过多集中于系数矩阵B0和 B1中非零元素的信号噪音比率的不同组合对PC算法和算法1的影响.此外,为了进一步简化分析,我们令 E:中所有元素εt均服从标准正态分布,即:st~N(0,1). 在给定数据生成过程为式(19),我们利用 Monte carlo模拟的方法,计算了不同样本观察值条件下,同 期变量系数矩阵B和滞后变量系数矩阵B1中非零元素的t统计量期望值,结果分别见表1和表2,其中 1450 系统工程理论与实践 第36卷 表1不同样本量亲件下模型1系数矩阵B0中 表2不同样本量条件下模型1系数矩阵B1中 非零元素的信号强度模拟计算结果 非零元素的信号强度模拟计算结果 观察期数 t统计量期望值:E(t) 信号强度观察期数t统计量期望值:E(t)信号强度 T Ign b igna T=2001402139813.8213.841397H T=2007.487.507.587.63H =40019.94198919.6519.681986H =40010.710.7710.8311.06H T-800282028.1927.95279528.22 T-800152815.29153715.76I Ⅰ=1200346034.61342134:2031.56H+ Y=1200187718.7718.8619.41H T=200044.66446844.2044.2244.67H+ T=200024.2824.2824.3825.16H T=4000632263.24625663.5563.21H+++T=400034.28343734.5235.65H 模拟的次数N=10000 虽然在理论上,算法1的可以对整个动态因果结构DAGG的架构和-结构做出正确推断,但是,由于 SVAR模型识别条件的构建主要基于DAGG在同期变量集Yt上的限制,即 DAG GO.所以,同期变量间因 果结构推断的正确与否直接对应于所构建识别条件的正确与否,故而这里我们只报告 DAG GO的推断情况, 表3是重复模拟10000次条件下, DAG GO被正确推断的统计结東.表3的第一列是系数矩阵Bo和B1中 非零元素不同信号强度组合,其中前面的代表的是B0中非零元素信号强度,B1中非零元素信号强度.从表 3不难看出,虽然随着信号强度的增加,PC算決和算法1在 DAG GO架构和υ-结构的正确推断比例明显 增加、且二者在正确率上无明显差异,当信号强度组合达Ⅳ艹+I时, DAG GO架构和v-结构的正确推断 比例均达96%以上.但是,在整个 DAG GO被正确推断方面PC算法则无能为力,故而不能得到识别SVAR 模型所需了仝部条件,而随着信号强度的增加,算法1正确推断岀整个 DAG GO的概率明显提高,当信号强 度组合为HH时,整个 DAG GO被正确推断的概率高达96.78%,从而使其在SVAR模型正确识别方 面具有非常好的表现 表3模型1条件下P℃算法和算法1的 Monte Carlo仿真结果比较 信号强度 架构正确推断结构正确推断同期变量间因果结构正确 Signal 比例/% 比例/% 推断比例/% PC算法算法1PC箅法算法1PC算法算法1 hH 6.09 6.31 6.08 6.31 0.00 6.13 HH 21.3722.68 23.32 22.66 0.00 22.43 hh 46.27 45.64 46.05 45.50 0.0 4522 H+H 63.84 5063.940. 63.81 HITH 85.56 84.66 8.3 0.00 Ⅰ++++97.2697.67965997.190.00 96.78 模型2为了验证定理4的结论,即算法1条件下SVAR模型识别的充要条件,作为数据生成过程的 SVAR模型具有如下形式 BoYt= birt+at (20) 1000 0.73000 其中:Bo= 0100 00.7300 1110 000.370.39 E(Et)=0,E(EE)=14 1.41.411」 000.420.46」 显然,在模型2中,同期变量系数矩阵Bo与模型1相同,模型2和模型1的重要区別在于滞后变量 系数矩阵B1.不难看出,与模型1不同的是,模型2并不满足定理4给出的充要条件,因为:在模型4中, ={1,2,3}≠0m(4)=3,对于j=1,2,均有0≠0和b30≠0:对于k=1,2,均有b3=0和b2)=0 而对于k=3,4,则均有b3≠0和b≠0.这样,在数据生成过程分别为模型1和模型2条件下,基于算 法1的 Monte carlo仿真结果的对比,可以用来验证定理4的结论.我们对模型2中的系数矩阵B和B 中非零元素的取值设置使得在各样本容量条件下,模型1和模型Σ系数矩阵B和B1中非零元素的信号噪 音比率大致相等,这样可以有效避免由于信号噪音比率的不同而导致的模拟结果不叮比较问题.同样我们用 模拟的方法计算了不同样本观察值容量条件下,模型2中矩阵Bo和B1中所有非零元素的信号强度,分别 见表4和表5,其中重复模拟的次数N=10000 第6期 张二华、等:基于动态因果结构推断的SVAR模型识别:算法和仿真 1451 在不同信号强度组合下,我们利用算法1分别针对模型1和2所生成的数据进行了因果结构推断的 Monte carlo仿真,其中重复模拟的次数为10000,具休结果见表6. 表4不同样本量条件下模型2系数矩阵Bo中非零元素的信号强度模拟计算结果 观察期数 t统计量期望值:E(|t) 信号强度 T=200 14.00 14.00 13.83 13.80 400 19.88 19.91 19.69 19 T=800 28.20 27.90 27.91 28.19 T=1200 34.55 34.58 34.23 34.2034.59 H 4.6844.6944.1944. 44.65H++ T=400063.2163.2262.5663.5663.22 H +++ 表5不同样本量条件下模型2系数矩阵B1中非零元素的信号强度模拟计算结果 观察期数 t统计量期望值:F(tD 信号强度 T b1b22636b3b3b4 Signal T=20 7.72 H T=400 10.5610.5611.17105011.0410.82H T=800 150314.9915.9014 156715.39H T=120018.4218.4119.5018.1819.251890H T=200023.7823.7925.2223.48249124.46H T=400033.7033.7135.71332235.2934.64H+ 表6算法1亲件下模型1和模型2的因果结构推断结果比较 信号强度 架构正确推断υ′-结构正确推断同期变量间因果结构正确 igna 比例/% 比例/% 推断比例/% 模型1模型2模型1模型2模型1 模型2 6.31 6.31 6.31 6.29 6.13 0.11 HH 22.6822.7422.66226722.43 0.63 HH 45.6444.2445.5044.144522 0.92 Ⅰ+I 64.3564.3463.9463.8963.81 1.13 HTTH 86.05858685.3|84.9685.20 .60 H+++H+97.67977996.19972096.78 1.91 从表6不难看岀,无论寘实的数据生成过程是模型Ⅰ还是模型Σ,随着信号强度的増加,算法1条件下, DAG GO架构和υ-结构被正确推断的慨率均明显增加,当信号强度组合为H+艹H时, DAG GO架构和 υ-结构被正确推断的概率高达97%左右.但与模型1形成鲜明对比的是,在真实的数据生成过程为模型2 条件下:整个DΔGCo被正确推断的概率并没有随着信号强度的增加而有叨显的提高,显然这一结果与定理 4的结论保持了一致 6研究结论及展望 给定任意一个具有递归结构的SVAR模型,存在一个与其是相同数据生成过程的动态线性结构模型M= (G,⊙),且DAGG同系数矩阵B0,B1:…,Bn存在特定对应关系.虽然,SVAR模型识別条件的构建依赖于 DAGG在同期变量节点集上的限制 DAG GO,但是同期变量与滞后变量间动态因果结构关系叮以为同期变 量间因果结构推断提供有用信息、据此,我们构建了动态因果结构推断的具体算法,将基于同期变量间因果 结构推断构建SVAR模型识别条件,推广到基于动态因果结构推断,使SVAR模型得以识别的情形得到了 有效拓展,并给出了动态因果结构推断条件下SVAR模型识別的充要条件 上述研究结论也得到了 Monte carlo仿貞结果的有力支持.但是,仿貞结果也显示,在信号强度相对较 弱的条件下,这一方法并不能令人十分满意这主要是因为动态因果结构推断的算法是建立在PC算法基础 之上,PC算法的核心是建立在偏相关系数是否为零的统计推断,在信号强度相对较弱的条件下,这一统计推 断发生第类和第二类错误的概率将会有所增加,而PC算法又缺乏必要的稳定性2S,使得整个因果结构 推断不尽人意.所以,如何降低发生统计推断错误的概率,或者提高PC算法的稳定性,对小样本条件卜,基 于动态因果结构推断的SVAR模型识别来讲具有重要意义,也是未来研究需要重点研究和有待突破的问题

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    2019-09-20
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