论文研究-改进自适应重要抽样法在水文极限分析中的应用.pdf

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论文研究-改进自适应重要抽样法在水文极限分析中的应用.pdf,  提出了一种改进的自适应重要抽样方法, 以广义极值分布为例, 引入L-矩法, 建立样本统计特性与分布参数的联系, 估算极限事件的 发生概率. 以浙江省云港流域的24h设计暴雨为例, 计算金竹岭和仙人潭两个站点降雨量分别大于213mm和200mm的概率. 计算结果表明 改进的自适应重要抽样方法能很好地模拟水文极限事件, 叠代次数随
第10期 童杨斌。等:改进自适应重要抽样法在水文极限分析中的应厅 2347 2)令ns=ns+1,用上述均值和方差作为新的抽样密度函数的参数来进行第ns次模拟,此次模拟得到 条件均值ps(ms)、方差σs(s)、和概率Ps(ns) 3)重复上述步骤,直到符合精度要求 222条件众数算法 条件众数算法是用样本的众数術计值代替了均值,用众数和均方差的计值作为一次模拟斤重要抽样密 度的参数然后进行下一次模拟,剩余过程与条件均值算法相同.条件众数算法的原理是:正态分布中只有唯 的最大值,所以能使重要密度函数集中于极限事件最有可能发生的区域,从而最终收敛于均值. 3改进的自适应重要抽样方法 前面介绍的是一般性的自适应抽样方法,其不足之处在于假设随机变量服从正态分布,而现实中许多变 量是不服从止态分布的,尤其是我们所关注的水文变量,如洪峰13-1、不同时段的设计暴雨16-17等等在 极限降雨事件的频率分析中,广义极值分布( generalized extreme value,GEV)是常用的一种,拟合效果也不 错18-20.广义极值分布的概率密度函数与分布函数如下 f(=c 1。(1-k) 其中 k-1lg{1-k(x-5)/a},k≠0 (-5 k=0 GFV分布的3个参数分别为形状参数k、尺度参数和位置参数£ 当k<0时,是GEV-Ⅱ型分布,或称为 Frechet分布;当k>0时,是GEVⅢ型分布,或称为 Weibull 分布;当k=0时,是GEV-I型,也称为 Gumbel分布 下面针对广义极值分布,提出了改进的自适应重要抽样法.当变量为正态分布时,计算样本的均值和方 差估计值后,就得到了新密度函数的参数,然后进行下一步循环;但在极值分布中,计算样本的均值和方差后, 不能得到密度函数的三个参数值,故需采用一种新的估计方法,本文称之为条件参数算法.此外,极值分布的 众数不收敛于最优分布的均值(这一点与正态分布不同)、故也不再考虑条件众数算法 条件参数算法的主要步骤如下 1)预抽样.先用初始的广义极值分布模拟产生一组(m个)样本x;选出落入极限区域的(me个)样本值 re;然后通过极值分布参数与样本统计值的关系求解分布参数k、a、5 前面的条件均值算法和条件众数算法都是用传统矩法求解分布参数,此处求解分布参数时引入了L-矩 法21.关于L-矩法的基本概念、定义及前4阶L-矩估计值的计算公式可参考文献21-221 得到前4阶L矩估计值后,就可以求样本的变差系数(LCV)、偏态系数(L- skewness)和峰度系数 (L- kurtis),其计算公式如下: l2/l1 73-l3/l2 (10) 而L-矩、LCV、 L-Skewness和L- Kurtis与极值分布参数的关系如下21l 1=5+1-(1+k)/k l2=a( )r(1+k)/k l3=2(1-3-k)/(1-2-k) l4=[5(1-4-)-10(1-3-)+6(1-2-)/(1-2-k) 通过求解式(11极值分布的三个参数值,作为模拟的初始参数 2)令ηs=1表示第1次模拟,用步骤1)中的初始参数作为重要抽样慨率分布的参数,生成n个样本, 选出其中的极限样本值,按式(10)、式(11)计算极值分布的三个参数值,分别记为k;(1)、c:s(1)和5:(1); 而第1次模拟后极限事件的概率s(1)按式(6)计算 3)ns=m8+1,用步骤2)中计算得出的一个参数作为新的重要抽样密度啊数的参数来进行第m次模拟 为降低模拟结果的波动性考虑前一次模拟的结果,将第n次模拟估计的参数和概率记为k;(ns)、a;(ns)、 2348 系统工程理论与实践 第32卷 ∈(ms)和P2(ns).而第ns次模拟后重要抽样密度函数的参数采用修正过的叠代公式13,三个参数和概率表 示为ks()、azs(ms)、5s(ms)和ps(7s) 4)重复步骤3),直到符合精度要求,收敛判断依据可参考条件均值算法 4案例分析 4.1降雨理论分布函数 云港流域地处浙江省淳安县北部,为新安江支流,流域面积251.8km2,主流长62km,平均坡降1.45% 全流域属亚热带湿润型气候,雨量充沛,降水集中,是淳安县暴雨中心之一.本文关注的随机变量为24小时 降雨量x,而x>a是一个极限降雨事件,a为一指定降雨值.许月萍等2用L-矩法计算云港流域的设 计暴雨,得到了不同重现期的设计暴雨值,并且其结果表明24小时的设计暴雨服从广义极值分.本文因而 假定此流域24小时设计暴雨的理论分布函数为广义极值分布,来分析改进自适应重要抽样法也即条件参数 算法模拟极限事件的可行性.表1所示为云港流域金竹岭和仙人潭两个雨贔站的初始分布参数值、α的取值 及x>a这一事件在理论上的概率值.抽样时样本个数m分别取200、50、10002000模拟的允许误差取 0.001. 表1改进自适应重要抽样法的输人数据 站点形状参数尺度参数位置参数a理论概率 金竹岭0.12730.36896.100213.05.12E3 仙人潭0.131 91.464 28.551200.05.224E-3 4.2模拟结果 对两个站点、不同抽样次数都进行了两次模拟.表2和表3是应用条件参数算法模拟的计算结果,列出 了关注的各个参数,包括算法收敛时极值分布的三个参数值,以及极限事件的概率等 表2金竹岭改进自适应重要抽样法的计算结果 抽样个数叠代次数形状参数度参数位置参数概率误差(‰) 200 7359 5.100E-3 0.294 6.077 221.192 5.122E-3 0.034 500 0.173 6.737 222.652 5.126E-3 0.055 500 59 0.237 6.339 221.855 5.099E-3 0.475 1000 40 6.803 222.178 5.130E 1000 -0.197 6.706 5.121E-3 0.058 2000 0.300 6.867 221.889 5.133-3 0.182 2000 27 0.225 6.405 221.753 5.133E-3 0.187 表3仙人潭改进自适应重要抽样法的计算结果 抽样个数叠代次数形状参数尺度参数位置参数概率误差(%) 102 0.273 5.477 207.690 5.205E-3 0.365 200 0.201 6.727 209.211 5.241E-3 0.319 500 0.314 206.799 5.213E-3 0.215 500 60 .572 207.573 5.208E-3 0.305 1000 0.217 6.178 208.505 5.235E-3 0.210 1000 0.198 6.039 208.560 5.227E-3 0.055 2000 0.210 6.195 208.540 5.227E-3 0.044 2000 0.175 6.291 208903 5.221E-3 0.070 表中第2列是算法稳定时所需要的叠代次数,可以明显地看出:抽样个数越大,所需的叠代次数越少.对 极值分布的三个参数,形状参数在每次模拟时的变化较大,而尺度参数和位置参数相对更稳定.末列的误差 是指模拟稳定时的概率与表1中理论概率的相对误差,当算法趋于稳定时,相对误差都小于0.5%,表明模拟 概率非常接近理论概率債,也即改进白适应重要抽样法能很好地用于模拟极限事件的发生.通过比较也可知, 第10期 童杨斌。等:改进自适应重要抽样法在水文极限分析中的应厅 2349 抽样个数较少时,模拟不稳定,如η为500时的两次结果相差很大;当抽样个数为2000时,模拟结果较稳定 4.3改进自适应重要抽样法的抽样效果 为了进一步验证改进的自适应重要抽样方法的效果,用传统的 Monte carlo(MC)方法,即随机抽样方法 来模拟该极限事件,并对两种方法的模拟结果进行比较.模拟时样本个数从1000千始,然后分别取1万、10 万、50万、100万、500万.模拟结果如表4所示 从表4中可以看出.模拟概率的相对误差随样本个数的增加而减小,但减小过程极其缓慢.如果要获得 误差在1%以下的抽样效果,用MC法大致需要100万个以上的样本,远远高于前面条件参数算法所需的样 本数 由于本文中的24小时极限降雨是简单的变量,MC法抽取百万个样本花费的时间并不太长,如果是复 杂系统中的变量,必将造成很大的负担.而运用条件参数算法大大减少了抽样个数,并且能保证抽样效率 表4金竹岭和仙人潭MC模拟的计算结果 金竹岭 样本个数 仙人潭 概率 误差(‰) 概率 误差(%) 1000 0.004 28.088 0.004 30.605 1000 0.0053 3.330 0.0043 21.493 100000 0.00478 7.187 0.00508 2.838 0.00505 1.456 0.00513 1.796 1000000 0.00508 0.976 0.00516 1.303 5000000 0.00513 0.099 0.00524 0.306 5结论 本文探讨了一种改进的自适应重要抽样方法即条件参数算法的原理与计算公式,用来模拟随机变量服从 义极值分布时的极限概率,并以金竹岭和仙人潭两个站点为例,对该方法的适用性作了∫验证,最后将改进的 自适应重要抽样方法与传统的C法作比较结果表明,这种改进的自适应重要抽样方法能很好地模拟枚限 水文事件,并且大大提高了抽样效率,适合在极限事件模拟中推广使用 此外.条件参数算法的关键之一是建立起分布参数与极限样本统计值的联系,有很强的适应性,不仅能 用于文中的广义极值分布,也可以用于其他常见的分布函数.今后的研充中也将尝试将其应用到其他分布情 况中 叁考文献 门]姜彤,苏布达, Emmer M.长江流域降水极值的变化趋势[J.水科学进展,2008,19(5):650-655 Jiang T, Su B D, Gemmer M. 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