论文研究-层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理和一种修正方法.pdf

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论文研究-层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理和一种修正方法.pdf,  本文对层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理进行了探讨, 分析了构成判断误差及影响判断矩阵不满足一致性的两个重要因素:背景偏差(判断准则重心转移)和工具误差;就背景偏差对判断矩阵和排序向量的影响进行了分析, 并给出了数学描述。然后, 利用最优传递矩阵等概念提出了一种对不一致性判断矩阵进行修正的方法, 并分析了该方法的使用
系统工程理论与实践 1995华9月 景偏差.对于多个背景指标,同样存在更为复杂的重心转移. 直接度量误差或工具误差的存在性非常明显.在自然科学研究中,对自然引入测量工具必然引 起测量误差,这由爱因斯坦的相对论和海森堡的测不准原理可以得到充分的证实,在社会经济领域 中.各种问题的研究都要借助于人的经验、郏识和判断,以人的思维和感官作为测量工具而引起的 测量误差更是显而易见 背景偏差对判断矩阵和排序向量的影响 设/和fm分别表示背景偏差和工具误差,则判断误差∫可以表示为 f∈=j6(IB)×fm(IB,IF) 其中×表示合成关系一般来讲工具误差很难确定,也很难进行具休分析.所以,我们认为在两 两比较过程中专家做了最大努力,并且工具误差为零,则有」=「(IB) 设专家对背景指标IB的稳定重要性排序向量 Y=(Y1,Y2,…,YM)2,且Y>0,Y;=1 在不考虑任何判断误差的理想情况下,前景指标的重要性排序向量 X=(X1,X2,…,X),且X2>0∑X=1 单一背景指标下前景持标的重要性排序与偏差无关.设在2背景指标IB1下的前景指标排序 向量: X(=(x,x2…,x1),且X>0∑对=1 那么,不受判断误差影响的综合判断矩阵和单一背景标下的判断矩阵分别为 A=l】MxN,A()=a9x, X i,j,l,k=1,2,,N X i) 并且 Mxo).Yi=(xa)rY X=TY X;=∑ J=1 其中 T=[X(1)X (M)T 则 ai =Xi_(r(). y X, (X())TY 第9期 层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理和一种修正方法 39 可见.如果不考虑工具误差,两两比较结果的唯影响因素是背景指标的重要性权重变化或判 断准则重心转移.考虑 X X A x 其中 X (11…1),Aa X 因为 X1=(X() 又 X(1)T Y X(2)T A d X(NT y 令 X(l)I X X 则 A=T·Y·D2(Aar,Yr) 同样,影响判断矩阵及其一致性的因素是背景标的重要性排序向量 当对前景指标4和了进行两两比较时,设Y发生了变化△Yy;且 ∑ΔHt=0,0≤lY<1,及Y 那么,新的判断值为 (X (Y+△;)_(X()2·Y+(X(0)2△ 2=(xo) (y+△Y1)(X0)Y+X()y△Y 设△F变化较小,且勿略(X付)△Y,则 (X()Y+(x()2·△Y (x)x·Y 那么 △Y △ ( X f;·△ 系统程理论与实践 1995年9月 其中 (X()T fi=xo.Y 用算术平均法求解判断矩阵A的排序向量, N X!= a+f·△Y; 1=1 j=1 ∑a+∑△ 从上式可以看出,背景指标权重变化或判断准则重心转移,对前景指标的排序有着直接影响.前景 指标权重在计算过程中综合考虑了准则重心转移的平均情况 背景指标的权重在实际计算中是不知道的,而且也无需事先计算出来,但在计算判断矩阵A 的排序向量过程中,却综合考虑了背景指标权重变化的情况·如果对某一专家而言,综合考虑△Y 并对Y进行修正,得到Y=∫(Y△Y1)Y可以认为是专家判断背景指标的稳定权重向量.如 果能够应用某种方法对不满足一致性的判晰矩阵A′进行修正,并待到一致性判断矩阵,那么,不 仅可以简化多次循环调查工作程序,也可以充分利用A所包含的信息 4判断矩阵的修正 综合上述分析结果,我们作出如下假设 假设:在构造判断矩阵的过程中,专家对任意两个因素进行两两比较的结果都是最满意的判 断,判断矩阵A的不一致性,是由于在两两比较过程中,专家判断准则重心发生了潜意识的转移. 基于此假设,我们提出了判断修正方法,设 A=nail b [c,],A,B,C∈E NxN 定义(1):若a=a1,且ay=1,则称A为互反矩阵 定义(2):若b=-b,且bx=0,则称B为反对称矩阵 定义(3):若A为互反矩阵,且an=a1·a的,则称A为一致性矩阵 定义(4):若B是反对称阵,且b;=b+b和;,则称B为传递矩阵 易见,当A是一致性矩阵,则B=lnA(bx;= In ai,i,j=1,2,…,N)是传递矩阵.反之, 若B是传递矩阵,则A=eB(a4=hb,,=1,2,…,N)是一致性矩阵 定义(5):若存在传递矩阵C使得 ()=∑∑ 最小,则称C是B的最优传递矩阵 若A是互反矩阵,令B=1A,且C是B的最优传递矩阵,那么,可以认为A*=已是 A的一个拟优一致性矩阵,它满足 m∑∑(-ln),而不是mi∑∑G-a;)2 第9期 层次分析法判断矩阡一致性的形成机理和一种修正方法 41 定理(1)若B是反对称矩阵,则其最优传递矩阵C满足 ∑(bk+bk) h=1 证明因为C是传递矩阵,则当Ck+Ck那么 ∑∑(c;+;-;) 求解 aJ(C ∑(c+-b,)=0 j=1 ,,=1,2,,N N aJ(C) =2∑(c;h+cx;-b)=0 得 1 cik ∑( s=N∑-ck+h) +c=k∑-k-ch+hn+ l=1 考虑C为反对称矩阵,则ckt+ck=chk=0,所以c==∑(;+bk) 基于上述很设、我们构造调整调整矩阵.设不一致性判断矩阵的A的最小特征根Amax对应 的特征向量 W”=(W'W2…,W) 构造平均信息一致性矩阵 NxN D=d d; i=ln( 不难证明,D是反对称阵.令D=(1NxN(d;=间d2D),那么,D即为调整矩阵.对D作规 范处理 (1-∑同) ∑1)= ∑同 ∑d 42 系统工程理论与实践 1995年9月 调整矩阵D的含义包括两方面.一是在任一前景指标与其它前景指标作两两比较过程中所形 成的比较结果即判断矩阵A的各行或列,均认为是专家最满意的判断,其包含的信息量认为是 相等的·二是判断矩阵元素a和ⅳ包含的信息量相同,表现为d=d;·为此,有如下定义和 定理 定义(6):若存在传递矩阵C使得 J(C)=∑∑(e;-b1)2d 则称C为B的调整最优传递矩阵 定理(2):若B是反对称矩阵,则B的调整最优传递矩阵C由下式计算 =∑( dil. bil+d;b) 证明因为C是传递矩阵,则c=Ck十ck,那么 JC)=∑∑(ck+ck-b)2d 求解 0元=2∑(+ck-b)d dcik aJ(C) 2>Cik+ Ckj- ck。I ∑(-c+b;)d ∑山 Ckj ∑(-c+b;)d ∑山 因为 N ∑4=∑d=1 所以 c=qk+c=∑bdn+∑b4-∑c:4t-∑ek:山 上式中c与k无关,令k=l,又囚c=0,则有 =∑bt+b) l=L 第9期 层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理和一种修正方法 5举例 设矩阵A是1,I2,…5五个指标的两两比较判断矩阵 436 I/3 A /4 3131 11/3 /3 322 l/(61/31/21/21 采用特征根方法计算A及其最优传递矩阵和调整最优传递矩阵得到的修止矩阵的特征向量、最大 特征根、CI、RI和CR值,如下表 计算方法 特征向量 AHP 最优传递AHP 调整最优传递AHP 0.4476 0.4759 0.5086 XxxXx 0.1326 0.1349 0.1036 0.1572 0.1329 0.1381 345 0.1968 0.1866 0.1830 0.0658 0.0697 0.0667 5.4954 5.0017 50026 RI 1.12 1.12 1.12 cR 0.1107 0.0004 0.0006 理论上表中的最优传递AHP和调整最优传递AHP方法计算的mx和CR值应分别为50 和00,实际计算中有误差 6结论 本文对层次分析法判断矩阵不一致性的形成机理进行了探讨,作者认为背景偏差和工具误差 是构成判断误差及判断矩阵不满足一致性的两个重要因素.鉴于工具误差在社会经济领域中很难把 据,我们主要就背景偏差或专家判断准则重心转移,以及其对判断矩阵和排序向量的影响进行了分 析,并给出了数学描述.以此为基础,我们利用最优传递矩阵等概念提出了一种对不一致性判断矩 阵进行修正的方法.在国家教委“高校教师评估”课题中应用结果表明,该调整方法貝有简洁、有 效、适用等特点.但这并不间味判断矩阵可发随意构造同时,我们分析了修正方法的使用条件和 食义 参考文献 I Saaty.T I, The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill Company, 1980 2 J.C. Harsanyi, Rational Behavior and Bargining Equilibrium in Games and Social Situ ayions. Cambridge University Press, 1986 3溍吟,吴望名,反对称阵的最优传递矩阵,数学的实践与认识,1988(2)

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