论文研究- 矿井通风网络的最小能量原理.pdf

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论文研究- 矿井通风网络的最小能量原理.pdf,  一、矿井通风网络的能量分析 我们分析一个有F台风机的通风网络。第i号风机的风量是Q_(fi),风压是H_(fi),那么这F台风机提供给该网络的能量为
24· 系统工程理论与实践 1991年5月 21-q (11.2) 令Q为其最优解,由于(7)是一凸规划问题,库塔—龙格( Kuhn--Tucker)条件在Q处 满足,即存在y’使得下列方程式成立(3) VG(Q)-∑Y;Vg,(Q)=0 (12) 根据方程(8),我们得到 VG(0)=h (1 根据方程(1)我们有 Vg:(q)=|bnbn;…,b (13) ∑YVg,(Q)=B (14 将式(l4)、(12a)代入式(12),我们得到 h =B y (15) 由于库塔一龙格条件(12)是(7)的最优解,因此式(15)就是(7)必定满足的条件。将式 (15)两端同乘以基本回路矩阵C,我们得到 Ch =CB Y 我们知道,图的关联矩阵与回路矩阵是正定的,即CB=0。根据式(16),我们得到 C=0 (17) 式(17)表明h满足方程(52)。综合上述所有关系式,式(7)得到证明。 应用式(7)构造拉格朗日( Lagrange函数,即 L(Y,Q)=∑RQ,+Y(BQ-q) (18) 那么 VL(Q=h-Br (19) V(L)=BQ (20) 如上所述,式(7)的最优解Q和Y的存在,使得方程(51)和(15)成立,即ⅴL(Q) =0,VL(Y)=0。可见y是式(8)的拉格朗日乘子。 现在我们假设节点j的风压是H且采用记号 H=HH (2l) 当通风网络平衡时,我们有 h=B H (22) 根据方程15和(22),我们知道拉格朗日乘子Y就是节点j处的风压H(=1,2,…,-1)。于 是,对于矿井通风网络,使用风量平衡法求解通风网络平衡方程组得到的解将使E1为最小,换言 之,当矿井通风网络处于平衡关态时,E1为最小。 依上述论述,可得到:若矿井通风网络平衡方程组有解,则解必定唯 2.2节点压力法解算通风网络 第3期 矿井通风网络的最小能量原理 25 假定调节点的符号集合记作M我们就有节点压力集合H“={H∈N 当我们采用节点压力法来解算矿井通风网络时,其平衡方程可以写为 ∑r,(H,一H1)+q,=0(∈N") 式中A是除去节点j的节点集合,是分支广1的特性参数,可由水力学公式求得,C是一个常 数,通常是由现场实测或模型试验求得。 矿井通风网络乎衡方程(23)的解等价于下列无条件约束最优化问题 minW=∑k,(H,-H2)+(1+c)∑qH (24) 式中R是分支t的特性参数,仍由水力学公式求得,1和t2是分支t的始末节点号 由式(24)我们得到 aw ah (1+c)(∑rn(H1-H)+q, (1+c)T,(∈N) (25) 由于W是H的连续函数,因此,在方程(24)的最优解处,必有j∈N和c+1>0,于是 在方程(24)的最优解处,应该有 T=∑rn(H1-H1)+q1=0(∈N (26) 方程(26)就是矿井通风网络方程(23)的平衡方程。由式(25),可得到 VW(H")=(c+1)(H (27) 式中,(H)是方程(23)关于硝的雅可比 Jacobi矩阵,它是一个正定对称阵。所以ⅴW(H理)也 是一个正定对称矩阵,即W是的凸函数。如方程(24)有最忧解,则最优解必定唯一。明 显,它也是方程(23)的唯一解 如上述,方程(24)的目标函数可以表达为 w=(1+c)E2+E (28) 根据方程(28)和上述讨论,可看出,当采用节点压力法来解算矿井通风网络时,即采用节 点压力法来校正独立回路的风量闭合差从而使网络由不乎衡状态达到平衡状态时,通风网络平衡方 程的解将使E1+(1+c)E2为最小 例题 图1为一典型角联通风网络,求各分支的自然分配风量。已知网绺特性参数如表1 该网络所代表的问题可作如下表达。 求下式的最小值 G=3∑R;-(AQ1+2B+3C) 满足的约束条件为 Q4-Q5-6=0 Q2-Q3+Q6=0 Q,+Q31+Q5=0 26 系统工程理论与实践 1991年5月 经一线性变换转化为等价的无约束最优化问题(31) minG=3|R1Q1+R2Q2+R3Q3+Q4(Q1-Q2)+R3Q1-q3) +R3(Q3-Q2) A91+BQ1+3g (3l) 无约束最优化问题(31)可采用牛顿( Newton)法求解,其结果如表2 表1网络特性参数 分支编号 4 6 分支风阻 0530490360.320.761.20 (N·s/m) 分支1所在扇风机工作风量Q1=45.03m/se 分支1所在扇风机型号4-72-11型NO20 6 风压特性系数A=1920,B=792,C=-0.366 表2网络自然分风结果 分支编号 典型角联通风网络图 风量mn3/se)|450320.93260324.0519.0505 四、结束语 本文将矿井通风网络平衡方程(5)转化为等价的非线性规划问题(7),由于式(7)的约束 条件是线性的,因此我们可以采用下降梯度法来求解这个非线性规划问题。通过将矿井通风网络 平衡方程(23)转化为等价的无约束最优化问题(24),就可以采用牛顿法来求解。 参考文献 (1)WH. Griffin, Fixed Flow Network Solutions Using Linear Equation and Linear Eguivalence, 2nd US Mine Ventilation Symposium, Reno NV, 23-25 September 1985 〔2〕李恕和、王义章:《矿井通风网络图论》,煤炭工业出版社,1984年。 〔3〕席少霖、赵凤岐:《最优化方法》,上海科学技术出版社,1983年。 〔4)卢开澄:《图论及其应用》,清华大学出版社,1981年。 〔S〕刘驹生:用节点风压法解算矿井复杂通风网路,《煤炭学报》,1984第4期。 〔6〕赵梓成、谢贤平:矿进通风网络的可靠性理论研究,全国非金属矿物学术会议论文集,武汉,1988年。 〔7〕赵梓成:扇风机特性曲线的数学处理,《云南冶金》,1986第2期。

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