论文研究-再制造品最优定价及市场挤兑与市场增长效应分析.pdf

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论文研究-再制造品最优定价及市场挤兑与市场增长效应分析.pdf,  考虑消费者对再制造品的价值评价低于新产品,研究了产品回收充足条件下的再制造静态定价和受回收率限制的两阶段再制造动态最优定价;在回收数量充足的最优决策中,不同的再制造成本决定了不同的再制造产品选择,再制造品对新产品产生市场挤兑,同时导致了产品市场的增长,增长效应导致利润的增加,这种市场挤兑和增长效应来源于再制造品的成本节省和价
第8期 但斌,等:再制造品最优定价及市场挤兑与市场增长效应分 1373 因此消费者选择新产品的需求为: 若U≤U,时,那些对价格比较敏感的消费者,愿意购买再制造品,购买再制造品的概率为: p{(Un≤U)∩(Ur>0}=p{(-pn≤-pn)n(a-p>0)} p{mn/a<0≤(p1-p)/(1-c)} )/a(1-a)l 因此再制造品的需求为 Pr ca 3再先造产品最优定价 为了对比分析,首先研究不进行再制造的情形. 31不进行再制造 根据模型(1)求解最优解,得到没有再制造的制造商最优定价、最优销量和最优利润为 PNR=(1+cn)/2,qN=△(1-cn)/2,INR=△(1-c)2/4 32回收数量充足条件下静态最优定价 再制造静态决策就是考虑再制造品的原料(废旧品)供应充足,再制造决策数量不受限制.因此制造商同 时提供再制造品和新产品,此时决策模型为: max IR=n(pn-Cn)+r(pr-Cr) 对目标函数求-阶和二阶导数wn==a2+,部n=-2+2+=,m=m 0,m=a<0,8入>0,因此海塞矩阵行列式|H>0,模型存在唯一最优解,根据一阶条件 等于0,最优解为 Dn=(1+cn)/2.Py=(c+a)2 根据第2节分析知道只有当amn>p时,消费者才会可能选择再制造产品,否则会全部选择新产品,因 此要求αp>p,才能保证再制造能够盈利,即要求α(1+cn)/2>(c-+a)/2,得到cr<aCn,因此得到如 下命题: 命题1当且仅当cr<Qcn,制造商再制造才能盈利 从命题1看出制造商是否再制造,取决于消费者对再制造品的价值折扣系数α和再制造成本c相互关 系:当再制造品的成本cr≥αcn(如图1中Δ区域),再制造不能够使制造商盈利,因此再制造品的成本低于 新产品的成本(cr<Cn)不是企业进行再制造的充分条件,只有当再制造品成本cr<acn再制造才能盈利 acn是再制造成本是否再制造的临界值,在新产品成本不变的条件下,价值折扣(a)越大(A区域的面积越 小,B和C区域面积越大)说明再制造品在消費者心中的价值越接近新产品,再制造成本越容易小于这个临 界值、再制造的可能性越大;价值折扣(α)越小(A区域的面积越大,B和C区域面积越小),再制造品与新 产品价值差距越大,再制造成本小于临界值的空间越小(B和C空间),进行再制造的难度越大随着人们环 俣意识的增强,越来越多的人认可再制造品,因此再制造品和新产品在消费者心中的价值越来越接近,再制 造越来越容易,制造商则更加愿意再制造 命题2在再制造能够盈利条件下(cr<acn),存在一个h=cn-(1-a),当cr>h时,制造商最 优决策是提供新产品和雨制造品,两种产品的最优价格和最优销量为:Pn=(1+cn)/2,pr=(cr+α)/2, 21=A、,9=2x2△;当c≤h时制造商最优决策为只提供再制造品再制造品最优定价 和最优销量为:p=(cn+a)/2,q,=△(a-c)/2a 证明由(3)式最优价格得到最优销量q 2a=aA,=2a=2A,知是c的线性增函数, q随c减小而减小,当qn>0时,制造商可以提供新产品和再制造品,即c>a-1+cn,否则qn≤0, 即c≤α-1+cn,此时制造商最优决策只提供再制造产品,对再制造品的需求根据效用Ur=0-px>0, 得到qn=△(1-D,/c),因此利润函数为IP=q,(P-c),根据利润最大化对p求一阶导数:Omf/Op (α+cr-2p)/α=0,因此最优价格p=(c+a)/2,最优销量q=△(a-cr)/2a.命题2得证 1374 系统工程理论与实践 第30卷 从命题2可以看出,当再制造成本不太小(αCn>cr>h,如图1中B区间)时,制造商的最优策略是提 供新产品和再制造品,新产品的最优价格受新产品成本影响,再制造品的最优价格除了受成木(cr)影响外, 还受价值折扣(α)影响,价值折扣值越大,消费者越乐意接受再制造产品,再制造品价格越高. 从此时的最优定价还可以看出,再制造品的边际利润小于新 产品的边际利润(px-cr<P2-cn),即提供单位再制造品比新 产品获得更低的利润,从直观上看,在消费者每次只能选择一种产 品条件下,制造商提供再制造品总会导致新产品利润的损尖,从而 制造商不愿意进行再制造.然而,命题2的结论是制造商愿意同 提供两种产品,并且再制造品最优销量q随再制造成本cr的减 少而増加、随价值折扣α的増加而增加,说明再制造产品较低的 成本和较高价值认可使得再制造产品有更多的销量,新产品的最 优销量灲随两种因素减少的趋势,说明再制造产品对新产品产生 h=C-(1-a) 了内部挤兑效应:在市场容量不变的条件下,(低边际利润的)再 制造品的增加,必然导致(较高边际利润的)新产品的减少,制造 商总体利润应该会减少.然而制造商的利润不但没有减少,反而增 加了,导致这种现象的主要原因是再制造品产生的市场增长效应, 增长效应弥补了挤兑效应造成的利润损失,关于市场挤兑效应和 图1再制造成本与决策空间 增长效应将在第4节做详细分析. 当再制造成本很小(cr≤l,如图1中C区间)时,再制造产品比新产品具有更低的成本优势,因此 再制造产品具有更高的边际利润(mn-cr=(a-cr)/2>mn-cn=(1-cmn)/2),此时制造商愿意全部 提供再制造产品,新产品完全被挤出市场.此时再制造品最优定价由再制造成本(cr)决定,此时最优利润 Ⅰn=Δ(α-cr)32/4α是再制造成本的减函数再制造品的成本越低,利润越大,价值折扣越大,利润越大 33回收数量限制的两阶段动态最优定价 上一节研究了回收产品的供应数量允足条件下静态最优定价,但在现实中,回收产品并不总是允足的,再 制造产品的数量受到新产品销售量的影响.因此,这里考虑两阶段动态再制造定价问题,第一阶段垄断者只 提供新产品,第二阶段提供新产品和再制造品.设第一阶段新产品的价格为p1,则消费者购买新产品的效用 为Un=U-p,类似第2节,第一阶段新产品的需求为=△(1-m) 若第二阶段新产品的价格为γ2n,再制造品价格为p2r,两阶段市场容量不变的条件下,两种产品的市场 需求分别为 p2n.-p2r ,g2r=△(op2n-m2)/(1-a 设产品的回收率为p(0<ρ≤1),则第二阶段可以用于用制造品的数量满足g2x≤pq1·在考虑资金时间 价值条件下,第一阶段销售利润到折现到第二阶段存在一定的资金收益,若资金收益率为θ(或银行利率),第 阶段的销售利润折现到第二阶段变成1+θ倍.选择决策时点在第一阶段,因此第二阶段的销售利润折现 到第一阶段的折扣系数为B=1/(1+θ),则因此两阶段的再制造决策模型为: max Il2R=(P1-Cn)q1+6((p2n -Cn)92n +(p2r -Cr)92rj t.q2r≤p 根据利润函数看出目标函数的凹性、(5)不等式约束条件具有凸函数的性质,得到模型冇在唯一最优解, 杓造朗格朗日函数 (1,P2,p2,入=I2R+入( 根据一阶KT条件并联立方程组,得到最优解: p-par+pa por" cn-agn-pacn +cr +(n1 02a+p2a2-1-0 22 2T3(1+0)/0 + pa +pacn-CCn-pacntCr a+ p2r +(1+)入(7) (1+cn)/ 第8期 但斌,等:再制造品最优定价及市场挤兑与市场增长效应分 1375 入==0++221=m+,如果p<a 0,否则λ=0.因此可以得到如下命题: 命题3存在一个p,当ρ<p,两阶段最优价格由(6)、(7)、(8)式给出,并且最优销量为:q1 (1-cn+)△/2,g2x c-(Cn-Cr)+A(1+9) 2c(1-c ,2n △,其中A==°+4 aCn+C pP2a+p2a2-1-6 命题3表明回收率满足两阶段再制造数量受制约的条件下(ρ<p),制造商的产品最优定价除了受两种 产品的各自成本(Cn和c-)及再制造品价值折扣影响,同时还受凹收率、资金收益率的影响 推论1p1和p2r是6的增函数,p1是p的凸函数,p2是p的减函数,p2n不受θ和p影响 证明根据式(6)和(7)对θ求一阶导数得到 0n/09 (1-a)a(1-cn)(P-p) 0. -p2(1-a)2a2(1-cn)(o-p (1-a)p2-6-1 因此?1和p2,是θ的增函数 要证明n1是p的凸函数,对p求二阶导数 a2(1-a)2p/p3+3(1+0)a(1-a)(p-p)-(1+0)2](1-a)(1-cn p-c+ p-or 注上式通过计算软件 Maple求二阶导数化简得到,其中p<p,因此: a2(1-a)2p'p2+3(1+6)a(1-a)(-p)-(1+0)2<a2p'(1-a)2p32-(1+0) 为保让第二阶段存在新产品,有cn>cn+a-1,得到:acn-c1<(1-cn)(1-a)→p=m=a<, 且0<a<1.0<p<1.0<6<1,于是: /(1-a)2p3-(1+0)<a(1-a) +)2<1-(1+0)2<0 综合-P2a+P2a2-1-0<0和(0)、(11)不等式所以(9)式右边大于0,即mr2>0,因此p是p 的凸函数 要证明P2是P的减函数;由(7)式知p2=x+(1+0)入要证明p2是P的减函数,即要证明入 是p的减函数,入关于P的一阶导数: (1-a)2n2(1-cn)(1+)n2-2pp+ 1+6 (1 a(1-a)p2+6+1]2 令A)=m2-200+p2-n2-a+0=(-012-2-a+2,容易看出在p<p时A是减函数 所以当p>0,4()<4(0)=(0-)2-2-a+=2 (1+6 <0,所以 0x=(1-oo2(4-cn)(+)4(p)<0 )p2++1 (12) 所以A是p的减函数成立,p2x是p的减函数也成立,命题3知p2n不受0和p影响显然成立,证毕 推论1表明在固定回收率条件下,资金收益率影响了第一阶段新产品最优定价,资金收益率越高,第 阶段新产品价格越高.主要是因为收益率高,制造商愿意在第一阶段获取更高利润,第一阶段的新产品价格 越高,第一阶段的新产品需求越小,第二阶段再制造品数量越少,为了保证利润最大,制造商只得制定更高的 再制造品价格.因此再制造品价格随资金收益率的増加而増加,才能保证利润最大 在固定资金收益率条件下,两阶段动态最优定价受回收率的影响表现为:第一阶段新产品的最优价格随 收率变化成凸函数变化,当回收率较低时,通过降低第一阶段新产品的价格,增加新产品的销量,保证第二 阶段的再制造的足够供应随着回收率的增加,再制造品的边际利润下降(p2是p的减函数),增加回收数量 对系统利润贡猷不大,制造商开始增加新产品的价格保证总体利润最大,第二阶段新产品的价格则不受回收 率、资金收益率的影响 从命题3与命题2及3.1节的结论对比可以看出,p1<PNR,q>qNR,p2,>p,g2,<q,P2a=pn, φ2n>qn表明第一阶段的新产品价格低于没有回收条件下的价格,销量高于不进行再制造的销量;第二阶段 再制造产品的定价高于静态决策再制造定价,销量低亍静态决策销量;第二阶段新产品定价与静态最优定价 相同,但第二阶段新产品销量要大于静态决策的新产品销量,这主要是回收率制约了再制造数量的缘故,同 时减弱了再制造对新产品挤兑效应,具体挤兑效应在第4节作详细分析 1376 系统工程理论与实践 第30卷 4再制造条件下市场挤兑与增长效应 第3节分别分析了凹收数量充足静态定价及数量限制两阶段动态最优定价问题,从最优定价叮以看出再 制造品给企业带来利润的同时,也给新产品产生一定挤兑效应.挤兑效应可能使新产品利润损失,但同时由于 较低的价格吸引了潜在的消费者购买产品,因此增长了市场需求.由于两种产品是司一产品系列,因此设总销 量q=q+qn,为了方便分析两种产品相互挤兑关系,本文只分析再制造成本不是很低的情况(h<c,<acn), 因为在再制造成本很低(c<l)时,新产品完全被挤出市场(命题2的结沦),挤兑和增长效应是比较显见 的 推论2在回收数量充足的静态雨制造决策中、q是s及α的减函数,qr,是s及α的增函数,IR及q是 s和a的增函数,其中s=cm-c-表示成本节省 证明由命题2显然可以看到n是s的减函数,从m=a_<0,知mn2是a的减函数;同样命 题2容易看出q是c的减函数因此是s的增函数m=a(+a>0,因此q是的增函数 q=9+n=2容易得出q是s和a的增函数;mh=A(-+A(am-)2容易得出在cr<acn区间内 Ia是的减函数因此m是s的增函数:"m=(计工(=,由0<a<1,cr<am<cn 知道>0,因此IR是a的增函数,证毕 推论2说明,在凹收数量充足、再制造品成本不太低条件下,再制造品边际利润大于零(p-C>0), 再制造能够使企业盈利.但是此时再制造边际利润小于新产品的边际利润(pn-Cr<pn-cn),即生产单位 再制造品获得利润要小于单位新产品的利润,在市场容量固定的条件下,销售较多的再制造品,必然导致新 产品销量的减少,垄断者的利润会出现减少(再制造品的边际利润小于新产品的边际利润),即出现了内部挤 兑现象,这种挤兑效应可能会导致垄断者不进行再制造.然而,垄断者并没有放弃再制造策略,而是同时提供 新产品和再制造品.并且再制造品销量随价值折扣(图2所示)和成本节省(图3所示)增加而增加,新产 品销量则是随成本节省和价值折扣增加而减少,再制造品的增加和新产品的减少,并没有减少垄断者的利润, 反而增加了利润,导致这种现象的主要原因是制造品虽然挤兑了一部分新产品的利润,同时再制造增加了 市场需求(图2、图3的q曲线所示),因为在对新产品有需求但没有经济能力支付(新产品)的(潜在)消 费者看来:再制造品具有相同功能和较低的价格,使他们原来不能购买新产品,现在变成可以购买(功能相同 的)再制造品了,因此增加了对该种产品的需求,同时再制造品的边际利润(mn-cn=(a+s-cn)/2)是随 着α和s的增加而增加,再制造品数量的增加和边际利润的增加导致再制造获得更多的利润,弥补了再制造 对新产品挤兑的利润,因此垄断者的总体利润随着消费者对再制造品的价值折扣和成本节省增加而增加.当 α→1时,消费者认为再制造品与新产品几乎相同,再制造品的边际利润大于新产品边际利润,新产品销量 趋于0,完全被再制造品挤出市场.垄断者获得最大的需求和最多的利润,因此企业可以扩大再制造品的环保 宣传,提高消费者对再制造品的认叮,从而增加利润 qn k一q, 0. 0.25盘 0.5 0.15 A=1 L 0.60.620.640.660.680.70.720.740.760.780.8 图2qn、q、q随a变化 第8期 但斌,等:再制造品最优定价及市场挤兑与市场增长效应分 1377 q 0.35 0.3 0.25 △ 0.2 C.=0.5 0.15- =0.8 △=1 0.I0.l0.120.130.140.150.160.170.180.190.2 S qn、q、q随s变化 上面分析了回收数量充足条件下静态再制造决策的市场挤兑与增长效应.市场挤兑和增长效应来源于再 制造品的价值折扣和成本节省.在两阶段的动态再制造决策中,挤兑效应同样存在,再制造品的成本节省和 价值折扣对新产品的市场挤兑和增长机理与静态决策下相同,这里不再赘述,在两阶段动态再制造中市场挤 兑和增长效应主要受回收率的影响,类似摧论2.令q2=qx+q2n,于是有推论3. 推论3在回收数量限制的两阶段动态决策中(P<P),q1是p的凹函数,q2是P的增函数,g2a是p 的减函数,g及I2R是p的增函数 证明由推论1知p1是P的凸函数,因此q1=(1-m1)△是凹函数 从(12)式知分<0.得到 +=a·分>0,92是P的增函数 q27 △ D<0,gn是P的减函数; gn+qr,因此 0,g2是P的增函数; 根据命题3结论代入目标函数得最优利润并求导数:=0B 2a(1-a)o2+6+1 通过软件 Maple推算整理得到) 0<cm<1,0<a<1,0<p<p,0<6<1知道 a(-1+a)<0→a(-1+a)pp-b-1<-6-1<0,因此得到: mn=-2(1+)1+20n1=1>0,所以D2R是P的增函数证毕 推论3表明,两阶段动态决策中,在资金收益率不变条件下,再制造品的销量(q2r)随回收率(p)的增加 而增加,新产品的销量(g2n)则是随着回收率的增加而减少,再制造品对新产品形成了市场挤兑效应,回收率 越大,挤兑的程度越大,再制造总利润随回收率的增加而增加产生这种情况的主要原因是,再制造品对市场 増长作用休现,第二阶段产品销量(φ=φn-φ-)随回收的増加而増加(如图4φ曲线所示),说明提高 回收率能够有效提高第二阶段的市场销量,正是这部分增加的市场销量,导致了再制造的利润增加 同时,第一阶段新产品旳销量(αn)都大于不进行再制造时候销量(q1>qN),这说明了再制造不仅对 第二阶段的市场产生增长,同时给第一阶段的市场产生增长作用:企业为了保证第二阶段足够的再制造品原 料供应.在第一阶段必须销售足够多的新产品,为了销售够多的新产品,会采取较低的新产品价格,降低价格 就吸引了一部分价格敏感的消费者,因此增加了需求,实现了市场增长.但是新产品的增长效应成凹函数特 征(如图4q曲线所示):在回收率较低的条件下企业通过增加新产品的销售,来保证再制造品数量的增加, 从而增加再制造利润.随着回收率的增加,第二阶段再制造旵数量增加.第二阶段新产品的数量则减少,再制 造品的边际利润下降(推论1知道?2是P的减函数),且第一阶段新产品的边际利润也下降(推论1知p1 关于ρ的凸性,即先减少后增加),增加第一阶段新产品数量不能保证系统利润继续增加,因此企业开始减少 新产品的销量,较高的回收率可以保证第二阶段的再制造,仍然保证利润的增加.只要回收率不超过临界值 (p),第一阶段的新产品销量(q)则总是大于没有再制造时的销量(qNR).第一阶段市场增长效应就存在,并 且回收率越高,利润越大(如图5),因此企业可以通过提高回收率,增加企业利润 1378 系统工程理论与实践 第30卷 4- 0.310 0.300 0.290 0.280 0.270 0.260 0.250 0.240 α=0.8,C=0.5,C=0.3 0.230 20.30.40.50.60.70.80.91.0 图4两阶段产品的销量随回收率的变化 0.136 0.134 0.130 0.128 0.126 0-0.8,C.-0.5,C-0.3 0.124 0.12 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 图5系统利润随回收率的变化 5结束语 再制造品与新产品相比具有较低价值评价,因此制造商给再制造品制定低于新产品的价格,较低的价格 带来对新产品市场挤兑,低价吸引一部分价格敏感的消费者购买雨制造品,因此增加了市场需求,从而导 致利润増加.利润随消费者对再制造品的价值评价和成本节省增加而增加,因此企业可以加大对再制造品的 环保宣传,提高消费者对再制造品的认识和价值评价,从而实现再制造利润的增加 在回收率制约两阶段的再制造动态决策中,再制造不仅对第二阶段新产品产生挤兑和市场增长,同时对 第一阶段的新产品市场产生增长,正是这种市场增长,实现企业的利润增长,回收率越高,企业的利润越大 因此企业通过提高回收率实现再制造利润的增加 本文只是考虑了寡头垄断条件下,制造商再制造最优定价和市场增长效应的问题,在市场中存在多个竞 争者的条件下,如何进行再制造定价及市场挤兑和增长效应如何,将是我们下一步要研究的方向 参考文献 [1 Flcischmann M, Krikke H R, Dekker R, et al. 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