论文研究-广义累加灰色预测控制模型的性质及优化.pdf

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论文研究-广义累加灰色预测控制模型的性质及优化.pdf,  对广义累加灰色预测控制模型进行了深入研究,发现该模型实际上是GM(1,1)模型、阶段模型、跳跃模型、非等间隔模型等的统一形式;然后研究了初始点的变化对模型参数及预测值的影响,利用矩阵分析推导了它们之间的数量关系;提出了利用广义累加生成矩阵中元素的优化、初始点的优化、初始条件选取的优化对广义累加灰色预测控制模型进行组合优化的方法. 最
第6期 肖新平,等广义累加灰色预测控制模型的性质及优化 1549 其一级参数包P1=(a,b)在最小二乘准则下矩阵算式如下: (2)1 3)1 BB)BY B (A (1) 在边界条件a)(1)=((1)下,模型的白化响应式为 (k) e (k-1) (0) 引理116如果记 0.5-0.5 C11 x0)(1)-1/p 0-0.5-0.5 0 0 C21a22 0 x(0)(2) Bi M 0.5-0.5 则广义累加灰色预测控制模型中的数据矩阵B为:B=B1·A·M 2.1广义累加灰色预测控制模型的理论分析 推论1在GGM(1,1)模型中 1)当a=1(2≥j),d为恒等算子时,GGM(1,1)模型为经典GM(1,1)模型 0.5 50 10 (0) 0-0.5-0.5 0 xO)(2)0 0.5-0.5 (n-1)× 111 2)当a>0(≥j(a-m(≠k,-1,2,…,n);a-(-k,-1,2,…,m)时,其中:x(0)(k)为跳 跃点:p≠l为正常数,则GGM(1,1)模型为跳跃GM(1,1)模型山2.该模型的主要特征是广义累加生成矩阵 中的第k列与其它各列的值不等(假设序列中的第k点为跳跃点), 000 0 0.5-0.50 0-0.5-0.5…00 00 x0)(2 0 0 0 P 000∴-0.5-0.5 (m)0 n×2 n×n 1,2,…,m);0=1(>k,=1,2,…,m)时,其中:p≠为阶 段值,则GGM(1,1)模型为两阶段GM(1,1)模型3,该模型的主要特征是广义累加生成矩阵中的各列明显 分为两个部分.当有多个阶段值时,则GGM(1,1)模型为多阶段广义累加灰预测控制模型, 000 0 0.5-0.50·00 0-0.5-0.5 P…P00…:0 0(2)0 B P 0 0 p 0.50.5 0) 7-1)×7 n×2 4)当a;k=△tk(≥k),=1.2,……,n;k=1,2,…,n,其中△tk=tk-tk-1≠ const,k=1,2,…,m, 则GGM(1,1)模型为非等间隔GM(1,1)模型.该模型的主要特征是广义累加生成矩阵中元素的值为时间 1550 系统工程理论与实践 第34卷 间隔值, 0.50.50.00 △t10 (0) (1)1/△t1 0-0.5-0.5·00 x(0(2) 7 000 0.5-0.5 (n-1)x4 x(0(a)0 n xn 7×2 推论Ⅰ表明:经典GM(1,1)模型、跳跃模型、阶段模型、非等间隔模型等均为GGM(1,)模型的特殊形 式GGM(1,1)模型是上述模型的一般和统一形式:而且各类具体模型的特征和差异性在广义累加矩阵均有 明确的反映.根据这些特征我们还能任意组合,非常方便地构造出大量新的灰色系统模型,并写出这些模型 的数学表达式,如将非等间隔与其它特征组合就可以构造出非等间隔含跳胝点GM(1,1)模型、非等间隔阶 段GM(1,1)模型等.非等间隔含跳跃点GM(1,1)模型的广义累加矩阵则为 p△t1 0 (1)1/pt1 △ (0)(2 △t 1△t △t p△k-11△kp△ △tk-11△tkp△tk+1 △tnn×n 2.2初值点变化对建模的影响 下面考查将原始序列中的初值x0(1)变化后对原GGM(1,1)模型参数的影响,即在GGM(1,1)模型中 将:0(1)变为a0(1)+t后,模型参数与平移值t之间的数量关系 定理1设x0)(1)→x(1)=0(1)+t,x(k)=x(0)(k),k=2,3,…,n,则GGM(1,1)模型的数据 矩阵B:为Bt=B·C,其中C 证明因为m0(1)→x0()=x0)(1)+t,所以x((k)=m(1)(k)+t,k=1,2,…,n,初值(1)变化 后新序列x所建GGM(1,1)模型的数据矩阵为 z(2)1 05(1)(1)-0.5x:1 x(1)(1)+ 5[x 0.5[x 1) x(3)1 0.5x(2)-0.5x:(3)1 05x(1)(2)+t-0.5x()(3)+t1 Bt (m)1 0.5x2(7 0.5x(n)1 0.5x(1)(7-1)+-0.5z1)(m)+t1 (1)+t-1 0 0.5-0.5 0 2)+t-1 0.5-0.5 (m)+t-1」 0.5-0.50 0 a11+t/x0(1)0 p+t/a( 0-0.5-0.5 0 0 1+t/ 0 22 000…-0.5-0.5」Lan1+t/xr0()mn2 0)(n 0 0.5-0.50 0 (1)+t/p-1/ 0.50.5 00 2122 (0) (2 0.5-0.5 (0) 第6期 肖新平,等广义累加灰色预测控制模型的性质及优化 1551 0.5-0.50 0 C (1)-1/ 0-0.5-0.5 0 0 0.5-0.5 anl an 2 0)(1 B1·A·M B t 1 定理1说明当原始序列中的初始点x0(1)变化t个单位后,GGM(1,1)模型中数据矩阵也多了个常数 矩阵C,下面继续研究模型参数与预测值的变化规律. 定理2设x(0)(1)→0(1)=x(0)(1)++,则有 1)GGM(1,1)模型的模型参数为a4=a,b1=b+ta 2)当初始条件取(()=m(2(1)=x0)(1)+t时,GGM(1)模型的预测值为2(k+1)=2(0(+1) 当初始条件取元((1)=x(1(1)=r(0)(1)时,GM(1,1)模型的预测值为(2)(k+1)=1()(k+1)+t9h1, 其中gk+1=1-e 证明1)根据定理1知,B=B·C.显然C为二阶非奇异方阵,且逆矩阵为C-1,C-1 10 t 1 由模型的参数辨识公式得 at, bt)=(BB+)B! X=[(BC)(BC)-(BC)X ICTBTBCTICTBTX-C-(BTB)-ICTCTBTX =C-(BB)1B1X=C-1(a,b)2 10 (a,at+b)1, t 1 故a+=a,b=b+at 2)当初始条件取(1)=x:(1)=x((1)+时,模型的白化响应函数为 k+1) bt (1)+t +at)。-akb+at o e+-+t k+1)+t, 故 (1)(1)+t -a2 0 1(2)+t )=A-1e(1) 0 0 (1)(3)+t 0 (1 1(n) t t 有a(k+1)=20(k+1).k=0,1,2,…,m-1 当初始条件取a(1)=x(1(①)=0(1)时,模型的白化响应函数为 (k+1) at eats 1)(1) b+ at b+at + yeak +-+t 1) Lk +-+t-t (1)(k+1)+(1-e6)=((k+1)+tgh+1 其中gk+1=1-e- 定理2说明,初始点x0(1)变化t个单位后GGM(1,1)模型的发展系数不变,控制参数为t的线性函 数.GGM(1、1)模型的预测值则与初始条件的选择有关,当初始条件随之变为新的初始点时,预测值不变;如 果初始条件选择不变,仍然为原来的初始点,则预测值也为t的线性函数.该结论有如下重要意义:1)邓聚 龙教授在文献[中指出,初始值无论取何值均不影响模型的发展系数、预测值和误差,因此最少可以用三个 数建立GM(1,1)模型;我们在文献[15]中又证明了累加生成序列的平移变换影响模型的预测值和误差.由 1552 系统工程理论与实践 第34卷 于初始值的变化与累加生成序列的平移是等价的,那么这两个结论是否存在着矛盾?定理2显然回答了这个 问題原来是模型的初始糸件不冋结论自然不同,这也说明了目前普遍被学者认可的“初始值无论取何值均 不影响GM(1,1)模型的发展系数、预测值和误差”是有存在条件的2)文献[6]也讨论了初始点的变化对 模型参数与预测值的影响,一是没有强调初始条件的选取,二是证明过程中出现写法错误,如该文定理2和 定理3的证明过程中,原始数据矩阵My及模型预测值0(k+1)的公式均有误.3)定理2也说明当初始 条件取a(1)=x()(1)=x0(1)时,参数a,b和预测值a(k+1)与变化值t具有很好的线性关系,这 为GGM(1,1)模型初始点的优化提供了理论基础 3GGM(1,1)模型的优化 31GGOM优化模型 为了避免矩阵的求逆运算,首先讨论灰色广义累加生成的还原误差.如在定义1中,记广义累加生成矩 阵A中的a11=a21 an1,且a;≠0,i=1,2,…,m,则A有逆矩阵A-1 定理3设x()=A70)为广义累加生成序列,(1)=A0为GGⅥ(1,1)模型产生的序列,对于ve>0 当|x)(k)-x①)(k)<(k=1,2,…,m),有|x10)(k)-(0)(k)<2e,其中m= mn ai 证明由于x()=A(0),(1)=A2(O),且对于ve>0,如果((k)-x((k)<,k=1,2,…,m.那么 由x()=A-1x(1),x0)=A-1x(1,及A-1的表达式可得 (1) 2(11,a((2/1(n()(2)-x((1),…,x0(n)= C22 同理有 0)(k)=-(x(1)(k)-)(k-1),k=2,3,……,n. 于是有 o(k)-O)(k)= (k)-x((k-1)--[2(1(k)-x() ≤[x2()(k)-2((k)|+1a2()(k-1)-2(1)(k-1), 从而得到: k 其中 m =min a 定理3说明,当A在一定的取值范围内,GGM(1,1)模型的还原生成误差是较小的,因此我们只需要讨 论广义累加生成序列的误差,这样不需要对广义累加生成序列进行还原,避免复杂的逆矩阵运算.由定理2 知,以下优化都是在初始条件取((1)=a2()(1)=x(1)下进行 为了更加有效提高GGM(1,1)模型的预测精度.我们利用22中义累加生成矩阵变化对建模影响的讨 论结果,对GGM(1,1)模型进行优化设q=(q(1)(2),n1)(2),…,(1)(m)1,g=(92393,…,9n)T,其中 (k+1)=a((k+1)-2()(k+1), q(k+1) k+1)-a(k+1) 为广义累加生成残差,则有 q:2(+1)=x((k+1)-(2()(k+1)+tgk+1)=x(1(k+1)-2()(k+1) (k+1) t=q- tg 上述表达式反映了广义累加生成序列的残差与变化值t之间的直接关系,为了使模型残差最小,我们可 以求解使广义累加生成残差最小变化值t,进而达到优化模型残差的效果,现给出如下目标函数: F(t)-min(g qt)=min(g-tg)(q-tg)-min( q-t q-tq 9+t29 g-min( q-2tg q+t29 g) 定理4设x0(1)→x(1)=x((1)+t,x(0(k)=x0(k),k=2,3.……,m,且初始条件取(1) c(1)(1)=x(0)(1)时,由x()建模的最优变化值l为 (e2a-1) (k+1)(1 )(ea+1)+(1-e-2(m-1)a) 第6期 肖新平,等广义累加灰色预测控制模型的性质及优化 1553 证明对F(t)关于t求导并令其为岺得 dF 20q+2t dt 解得 ∑k=1q(1)(k+1)9 又因为 ∑9+1-∑(1--02-∑(1-2+e2)-(a-1)-2∑ea+∑e26 k=1 2e-a(1 (n-1)a 1 2(-1) (n-1)(e2a-1)-2(1-e-(n-1)a)(e+1)+(1-e-2(n-1)a) 所以 ∑k=1q)(k+1)(1 k (m-1)(e2a-1)-2(1-e-(m-1a)(ea+1)+(1-e-2(m-1)a 将GGM(1,1)模型中的r(1)换为(1)+t且其它值不变所得到的优化模型称为GGOM(1)模型, 其中t如上式,a与q)(k+1)分别为原GGM(1,1)模型中的发展系数与广义累加生成残差如果再结合文 献[1l6中的初始条件)(m)=x()(m),m=1.2,…,n进行优化得到的优化模型称为GGOM(2)模型 32GGOM数据实例 采用文献[16中的经典实例和数据,即“电视机销售问题”.已知1972-1982年我国电视机产量为 x(0)=(3.23,6.94,10.07,1770,18.13,28.05,48.77,132.14,24792,517.40,55374) 根据突变点的情况将原始序列仍然分为四段,即: 1=(323,6.94,10.07,1770,18.13,28.05,48.77);S2=(13214);S3=(247.92);S4=(51740,55374 广义累加生成矩阵A、背景值生成矩阵B1和原始数据变换矩阵M分別取为 0000 0 00 00000 0 0 00000 00000 00000 0 A= aaaa aoo oo aa 0000 aaaaa c a B00 0 aaa 07? 0 0.5-0.50 (1) 0 0.5-0.5 (0) M= 00 0.5-0.5 模型的白化响应式为 (k+1)=((1)-2 b 按2.2节的方法对初始点变化来建立优化GGOM模型,通过定理4得到的最佳平移值为 1+ (e2a-1)∑=1q(1)(k+1) 1)+(1 2(n-1)a 1554 系统工程理论与实践 第34卷 由定理2得到((k+1)=3(1)(k+1)+tgk+1于是可以建立GGOM模型,求解模型值的公式为 (k)-2(1)(k-1 k=2,3, :)(k)-21(1(k-1) k=8 (k) (k)-x()(k-1) k=9 (k-1) k-10,11 然而,要进行建模预测我们必须先求出a,b,而广义累加矩阵B中参数a,3,γ,η未知,显然模型参数a,b 为关于a,B,,的函数我们根据误差平方和最小来确定a,β,~,,误差平方和函数为 c 0(k k) (0) 其中a(k)是关于a,3.,m,t的函数.由定理4可知,t是关于a,3,,m的函数,所以上述误差平方和是 e个关于a,B,,m的函数.下面我们就以相对误差平方和为目标函数,求解最优的a,B,,m,进而得到参数 b并确定最优变化值t min f(a, 6,, n) st.a>0,B>0,y>0.7>0. 利用粒子群算法对上述优化冋题进行求解、通过搜索得到误差平方和最小的模型参数值 a=1.2902,6=10761,Y=1.0818,m=0.9485. 进而可以得到 a=-0.4709,b=6.9528,t=3.9324. 在此基础上建立GGOM(1)优化模型并计算相对误差及拟合序列与原始序列的关联度,结果见表2;同 时考优化初始条件建立GGOM(2)优化模型,并得到其误差如表1. 表1GGOM(2)优化模型的误差 6 9 11 平均相对误差7.566.58215021.7223.57195317.7916.8420.3122.0826.99 结果表明当m=2时所建立的预测模型平均相对误差最小,因此选择此时的模型作为最佳GGOM(2) 优化模型,该模型的具体计算误差及相关的关联度也见表2,扛种模型的拟合序列曲线见图1(注:表2中相 除法、分离建模法及GGM模型的计算结果见文献[16]) 表2五种预测模型结果比较 相除法 分离建模法 GGM模型 GGOM(1) GGOM(2 相对 相对 相对 相对 相对 12模烟值误差模误差模型值误差模型值误差值误差 3.1 3.23 0 3.23 6.94 6.2110.527.17 3.326.94 0 6.5535.54 6.9432 0.05 310.0710.3830810.554.79.990.7710.49764.2510.9358.59 17.7 19214.7916.414.3918.7116.81085.0219.55510.48 18.13 29.04 60.1820 14920.7214.261803150.5417.9479 6 2805 48.57-73.1634.9224.5 6.3326.920840330.57639.0 748.77812566650.012734295119443.110811.6520901681 8132.14135912.85108.53179138.574.86132.5520.31129.00142.38 9247.97227.348.3155.4373312.7126.13211.15114.83279.88431289 10517.4380.2626.51482.996.65399.242283385.65725.46472.924186 11553.71636.07-14.86667.1420.45748338617.59111.53639.569715.5 平均相对误差 25.71 13.81 9.97 7.56 8 关联度 0.73 0.77 0.80 0.9436 0.9864 第6期 肖新平,等广义累加灰色预测控制模型的性质及优化 1555 700 600+-- 50 400 300 00 10 原始序列一·相除法—分离建模 ◆…GGM模型GGOM(1)→GGOM(2) 图1五种模型的拟合序列比较图 从表2和图1可以看出,本文建立的两种优化模型GGOM(1)和G(OM(2)的拟合精度明显优于其它 模型,特别是GGOM(2)模型的平均相对误差最小,为6.85%,而灰色关联度最大为0.9864.是目前关于“电 视机销售问题”的最好的拟合模型分析其原因主要是GGOM(2)模型中经过了三次优化过程广义累加生 成矩阵中元素的优化、初始点的优化、初始条件选取的优化.和传统的GM模型的优化思路(背景值、灰导 数和灰微分方程等)相比,本文提出了新的优化思路 4结论 广义累加灰色预测控制模型是一种新的GM(1,1)拓广模型,自提出以来研究成果还非常有限.本文对该 模型进行了深入研究,发现该模型实际上是GM(1,1〕模型、阶段模型、跳跃模型、非等间隔模型等的统-形 式,模型的特征和差异性主要体现在广义累加矩阵上因此广义累加灰色预测控制模型中广义累加矩阵的变 化使灰色系统模型具有很好的柔性和适应性.通过对广文累加生成矩阵中元素、初始点和初始条件选取同时 进行优化发现组合优化模型具有非常好的拟合效果,从而为GM(1,1)模型提供了一种新的优化思路.需要 说明的是组合优化方法会适当增加计算量,主要来源于广义累加生成矩阵中元素的优化 参考文献 1邓聚龙.灰理论基础M].武汉:华中科技大学出版社,2002 Deng Julong. 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