论文研究-常弹性方差模型下保险人的最优投资策略.pdf

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论文研究-常弹性方差模型下保险人的最优投资策略.pdf,  假设风险资产价格服从常弹性方差(CEV)模型, 保险人面临的风险过程是带漂移的布朗运动. 投资过程与承保风险过程完全相关. 根据随机最优控制理论, 建立保险基金投资问题的HJB方程. 由于该方程是非线性偏微分方程, 不易求解, 因此采用Legendre变换将其转换成对偶问题进行研究. 最后针对特定参数值分别得到以CARA和CRRA效
第12期 荣喜民,等:常弹性方差模型下保险人的最优投资策略 2621 记R:为承保部门面临的风险过程,满足方程: dRt= adt Bdw 其中,≥0,a表示承保部门的承保收益率,(W12,t20}为定义在概率空间(9,F,P)上的另一标准布朗 运动.由于保险基金的投资不同于一般的资金运用,它在考虑投资收益和风险的同时,还要警惕来自背后的 承保风险故在保险基金投资的研究中,必须考虑承保与投资间风险的相关性设EWW2)=p,p表示 风险的相关性.本文仅就p-±1进行研究,即假设承保风险与投资风险是完全正相关(p-1)或完全负相 关(p=-1).此时 因此,保险人的财富过程V为 dvt=iV[+(u-ro)+ro]+c]dt+ViTthsdw+Bdw 7(2) 其中,πt表示t时刻保险人的投资策略,即其投资于风险资产的资金比例. 保险人的目标函数为mx(m,0≤tT}E(V)其中,T表示最终时刻,()表示效用函数我们的工作 就是要找到使保险人最终财富期望效用最大化的最优投资策略π* 本文采用随机控制方法求解上述模型,记H(2,,0):=maxE[v(v)St=.V=],(t,,0)∈[0,刀x R+×R-且st=0=s0,t=0=0,则该最优化问题的HJB方程为 Ht+usHs+(a+vro)Hv+ 32H2u +Bps+.Hsu,k+ Sup〈丌 H12k2)+xH,y(-70)+Bksp+H423+2y}=0 其中,Ht,H3,HH5s,Hv,Hv表示函数H关于时间t,风险资产价格s,总财富v的一阶和二阶偏导数.对 H、k221)+r(H0(-0)+Hn/6nAs+bx3s4+2 关于π求·阶偏导数,可得最优投资策略π Hv(u-ro)+Ho Bksp+ Hsukls T Hoa, uk 将其代回(5)式,经整理得 H+sH+(a+0)2+k2.2+2+Hm+Bps1+H,H(4-0)+BBh87p+h281+272 2H. k2 2r 因此要得到最优投资策略π*,只需求解(7)式.注意到(7)式为非线性偏微分方程不易求解与 Jonson和 Sircarl7及Gao15相似,对原函数I(t,s,v)做 Legendre变换,记 H pH(t g(t, s, 2)= inf aH(t, 0 )220+H(t, 8, 2)1 t>0 故易知H(t,5,z)=H(t,8,9)-9,对H(t,8,2)求各阶偏导数有 ht=H+. hs=hs. H 又由于 因此, 1→H Hss 将(8),(9)式代回(7)式整理得 宜+s+(a+9m0)2+2s2+2-一2k227B1、 )=0(10) 注意到H2=-g,对上式边关于t求导,有 gt +ross -(a+gro)+k252+2y g 2k282y.92 z2+k2s27 0|=29=-9252(1-r0)+ ks? 而最优投资策略可以表示为 (4-70)-6pk T 其中,p2=1.故将对(7)的求解转化成对其对偶问题(11)的求解 2622 系统工程理论与实践 第32卷 3特殊效用函数下保险人的最优投资策略 31CRRA效用函数下保险人的最优投资策略 设保险人的效用函数()为界效用函数,即()=m,P<1,p≠0,易知9(T,s,2)=()-1(2),故边 界条件为 g(T,s,2) (13 注意到(11)式中含有2+2,-2,故作变量代换,设(11)式的解为 ∫(t,y)+h(t,y),y (14 将(14)式代入(11)式,经整理得 2声{f-270y1-m0f+k2(2+1)f+2k2y+ (2-p)(u-7o)2yf1「(-7o)2y 2 k2 +2-my +1h:+1k2(2+1)-2y2k2723b-o0b≠-70) /3 0 P 因上述方程对任意z均成立,故有 f:-20yf-rof+k27(2+1)fn+2k22y/f+ (2-)(4-70)2yf1「(u-ro 27(1-70)yf 0 (p-1)2k (15) h+[k2y(2y+1)-270yh3,+24272yb h+ (p-70)3p (16) 其中(t,y)∈0,]×R+,yt=0=52),且由边界条件(13)知,f(T;y)=1,h(,y)=0. 对于线性偏微分方程(15),设方程的解为 f(t, 3)=A(teB(D)y 由f(T,y)=1知A(T)=1.B(T)=0 将(17)式代入(15)式,等式两边同除A(t)eB(),整理得 A 1)+k2(2+1)B()--0 ro+y Bt+ 几-70 p-1 2oB()+2B()(-r0)2p\=0 2 2(P-1)2k2 上述方程对任意y均成立,故有 +k2/(2-1)B(t) 0=0 7 B++ B(t)+2k22B2(t)+ =0 (19) 关于方程(18)(19)的求解,见附录求得 B()=k-2() (2 A(t) 1 2 其中I(t) p) 为便于后面讨论,记 K(t) (1-P)f(t) K1(+) (1-p)/(t) (T- 儿-70 本文仅就β=0或γ=-1的情况进行研究 定理1假设保险人的效用函数为CRRA,若无风险资产价格、风险资产价格、赔付过程,分别服从 (1)②),(3)式,则保险人期望效用最大的最优投资策略为: 1)当β=0时, d(t K() 2)当γ--1时,CEⅤ模型为绝对扩散模型、最优投资策略 d(t) 2I(t)s3+( )s](p-70)f(t-T)+/p T K1(t) (23) P 第12期 荣喜民,等:常弹性方差模型下保险人的最优投资策略 2623 证明1)当β=0时,(16)式变为 h++[k2(27+1) 2 hy+ 2k y gh 九 (24) 设上述方程的解为 h(t, y)=m(t) (25) 将其代入(24),得m-m()-a=0.由边界条件h(T,y)=m(m)=0,易得m(t)=-a1cm d(i 因此,由(12)式,可知保险人的最优投资策略: 9z2(-T0 8 f2)-(-o)a 2yk2B(t)(0(t,s,2)-m(t)+=n(9(t,s,2)-m(t) 0k2s2y 2(1-p)f(t) d() (1-p)k 1一70 (1-p)k2 注意到上述最优投资策略与Gao中,在CRRA效用函数下,退休前年金最优投资策略类似 )当y--1时,(16)式变为 ht +k4+ 2rog hy+2k-yhyy -roh DBp (26) 设上述方程的解为 h(t,y)=e()+√m(t) (27) 将(27)代入(26)式,经整理得 0)-a)+√⑦ k 由于上述方程对任意y均成立,故 et-roe(t)-0=0 (28 (-70)/p (29) 由边界条件c(7)=0,m(T)=0,易得 (T-t) (t) d(t), n(t) t-T (30) 因此由(12)式,可知保险人的最优投资策略: 9k2.51+2-92(1-7o)-pks k2-12B((9(t,s,2)-h(ty)+8y-+n(t-2(1-70)2(21-8pk k2-12B(t)(g(t,s,2)-e(t)-sn(t)+n(t)]-(4-ro (t (P-1) 6mk-1 2k2B(t)(g(t,s,2)-c(t) t s, 2 9(t, s, 2)c(t)(2I(t)s+(1-p-k2)s]n(t)+ ipks vk 2 (1 d(t) K1(t) 2I(t)s3+( )s]n(t)+Bpks (1-p)k 将n()代入,命题即得证 注意到,当β-0时,若γ-0.则CⅤ模型退化成传统的几何布朗运动模型,由文献[8]知,保险人的 最优投资策略为 (1-p) 31) 其中,a表示数波动率与(22)式比较,有如下推论 推论1对β一0,保险人的最优投资策略丌*,有 2624 系统工程理论与实践 第32卷 1)当保险人的风险厌恶程度p<0时,CEV模型下保险人投资于风险资产的比例小于几何布朗运动模 型下保险人的投资比例 2)当保险人的风险厌恶程度0<p<1时,CEⅤ模型下保险人投资于风险资产的比例大于几何布朗运 动模型下保险人的投资比例,且该投资比例随时间的增加而减小,即随着时间的流逝,保险人会逐步减少风 险资产上的投资比例 证明1)当p<0时,由于入1,2 (4-pro)±√(1-p)(12-r2) 71-p 1-p)(2 y(1-p) <0,A入2=2P(=0m) (1-p)2 故入1<0,且 21(x1-入2)(1-刘)2e27(x-A2)(r-0) 入 (1-A2)(T-t)2 则r()>0.而I(r)=0,因此,I()≤0.K(t)≤1,故由(22)和(31)式,即知CEⅤ模型下保险人投资于风 险资产的比例较小 2)当0<p<1时,同理,可得A-A2<0,A入2>0,故1>0,m(t)<0,由I(T)=0,即得 I()>0,K(t)≥1,此时,CEⅤ模型下保险人投资于风险资产的比例较大,此外,由于 (1-m)22>K((~d(t) )-K(t) d'(t 其中d(t)=aem(-m)>0,且K'(t)=2-<0 故易知上式小于0,这就是说,保险人投资于风险资产的比例随时间t的增大而减小 推论2对于γ=-1的情形,考虑了保险人的承保风险,则关于保险人的最优投资策略丌*,有 1)当保险人的风险厌恶程度p<min10,1-“}且p--1时,相对于8-0的情形,考虑了承保风 险后,保险人投资于风险资产的比例增加了. 2)当保险人的风险厌恶程度0<<1时若2≥,则保险人投资于风险资产的资金比例随着 时间的增大而逐步减小 证明1)当p<min{0,1-“}且ρ--1时,结合(22),(23)式,即可得证 )当0<p<1时,由推论1中2)的证明,可知 d 儿-70 (1-p)k2 K1(t) 而 2()8+(1=m-k2)(=70)(-7)+1hb2s k W212r(+)3(-m)3(t-1)+2/()s3+(-0-k2)s ) 其中,P(t)<0,2≥=,故上式≥0,因此,m<0.即表示随着时间的推移,保险人投资于风险资产 的比例逐步减小 32CARA效用函数下保险人的最优投资策略 设保险人的效用函数为指数效用函数,即a( 0. 值得一提的是,这个效用函数的绝对风险厌恶程度为常数,它在保险学中占有重要地位,这是因为在零 效用原则下,它是唯一一个效用函数,可以使保费制定与公司初始资金无关 同样,边界条件9(T,s,2)=-lnz,据此设(11)式的解为 g(t,8,x) (t)(In z+m(t,s))+a(t) (32) 由边界条件,易知b(T)=1,m(T,s)=0,a(m)=0.将(32)代入(11)式,经整理得 In z(b(-rob(0))+(at-c-rou(O)) b(O)m+m0ms-70m+k2.2+2~×-m q 2k2s2 70)3 t) k 第12期 荣喜民,等:常弹性方差模型下保险人的最优投资策略 2625 同样有 b(t)-70b(t) m2+r0sm-70m+-k2s2+27ms+ 2k2s27 b(t) (t,s) (35) b(t) k 对(33)式,结合边界条件b()=1,得 ro(t-T) 同样,由(34)式,边界条件a(T)=0,.得 0(T-t) 将(36)代入(35)式,经整理得 t + rooms+5k232-2mss+ (A-r0)2 (1-70)3 2k 注意到上式中含有s2+27,8-27,故作变量代换 m(t,s)=J(t,y),y 将上式代回(38)式,经整理得 +[k2(2+1)-20yJ+2 (-7o)3 =0(39) 为了便于后面的讨论,记 K(t)=1+ ),k1(t)=1+ (1 本文仅就β=0或γ=-1的情况进行研究 定理2假设保险人的效用函数是CARA,若无风险资产价格、风险资产价格、赔付过程,分别服从(1) (2),(3)式,则保险人期望效用最大的最优投资策略为: 1)当β一0时,最优投资策略 b(t)(-70) K( 其中,b(t)为(36)式 2)当γ=-1时,(EⅤ模型为绝对扩散模型、最优投资策略 b()2( -K ( T ps 证明当月=0时(39)式变为 Jt+[k-r20+1)-2yroyJJy +2k- y Jyy 1-70)2 2k2y-70=0 设上述方程的解为 +z()y 则J=0+xy,ly=x(t),Jm=0,将其代入(42)式,经整理得 +k2(2+1)2(t)-7o]+y (t)+ 0 (44) 因上述方程对任意y均成立,因此 +k2(2y+1)z(t)-70-0,xt-270x(t)+ 2k2 (45) 因而,易得 -70) (t-7) 将其代入(45)式,等式两边积分,由边界条件m(7)=0,即得 2+1)(4-r0) (2y+1)(-70)2 2626 系统工程理论与实践 第32卷 则由(12)式,保险人的最优投资策略: yk21+27 2z(u-7o) b(m+2+b()(u-ro)() vk2s2y )2V-0)+2k2 b(t)(-70) oak 1+ b(t)(1-70) K(t) 注意到上述最优投资策咯与Gao中,在CRRA效用函数下,退休前年金最优投资策略类似. 当γ=-1时,(39)式变为 Jt+[h2+2royJJy+2k yy+ 2k2y-70-e7(7-1)y=) (4-70) /=0 设上述方程的解为 I(t,y)=c(t)+i(t)y+ m(t)y 则边界条件为c(T)=0,()=0,x(T)=0,且 Vyit +t, Jy -y ii(t)+a(t) y ii(t). 将其代入(48)式,经整理得, ce+k2a(t)-7o+√y 2t+7o0(t)-e(r-(=7o) +y|t+2c(t)+ (1-7 0. 2k 因上述方程对任意y成立,故 Ct+hla(t-ro=0 (50 2t+7oi() -70)p 0 51) rt+20(+-0)2 0 2k (52) 由(52)式及边界条件x(T)=0,得 2()=(=70)2e2o(r-t)-1 2k 将上式代入(50),等式两边积分,由边界条件c(T)=0,得 c( (/L-o 0 (1 对于方程(51),设其解为(t)-i(t)emo(=),将其代入方程(51,得 iT-t k (-70)3 To(T一t) (5) 则由(12)式,可知最优投资策略: n+=9.42-1-9:(4-7)-pk31--b(m+52)(n-)-ks-1 k b(t(2Jy)+1b(1)(1-70)-pks b(t)(5-1(t)+(t)]+b(a b(t)(-70) 2k2 b(t)i(t)p8b(t)2(-7o) k1()-s(g=m0(x=-n k 2s k :k2 k 注意到,当β=0时,若γ=0,CEV模型退化成传统的几何布朗运动模型,由 Devolder1知,保险人 的最优投资策略为 (56 其中,a表示常数波动率.与(40)式比较,有如下推论 推论3对于β=0的情形,关于保险人的最优投资策略π*,有 第12期 荣喜民,等:常弹性方差模型下保险人的最优投资策略 2627 1)CEV模型下保险人投资于风险资产的比例小于几何布朗运动模型下保险人的投资比例 2)若γ<-2,则保险人投资于风险资产的比例随时间的增加而增加即随着时间的流逝,保险人会逐步 增加风险资产上的投资比例 证明1)由(40)和(56)式,可知要证明结论,仅需比较K(t)的大小,显然,K()≤1,故命题得证 2)由(40)式当?<一时,可得 K'(- Tero(t-T)+ro K(t) (-70)。0(t-T) ero(t-T)(k(t)+rok(t) q 70(t-T) 3人(4-70)e270(t-7)⊥+ro 因此,保险人投资于风险资产的比例会随着时间t的增加而逐渐增大 推论4对于γ=-1的情形,随着时间的推移,保险人投资于风险资产的资金比例逐步增大 证明由推论3中2)的证明,知0mmK()关于t的导数大于0,m 0K1(t) m>0,故保险人投资于风险资产的资金比例随时间t的增加而增加 4结束语 假设市场上仅存在两种资产:风险资产和无风险资产.风险资产价格服从CEⅤ模型,保险人的风险过 程服从带漂移的布朗运动,两者之间存在相关性,以期望效用最大化为目标建立保险基金投资的模型.采用 随机控制的方法对上述模型求解.根据最优性原理,建立保险投资问题的HJB方程.采用 Legendre变换将 原问题转化成其对偶问题求解.最后,对特定的,0等参数的值,分别得到了以CRRA和CARA效用函数 为日标的保险人的最优投资策略.同时,也对最优投资策略进行了简单的分析,这对保险人运用保险基金投 资具有积极的指导作用 本文只是对CEV模型下保险基金的投资问题进行了初步地探究,还有些问题有待进步解决,如多个 服从CEV模型的资产的投资等,今后将进一步深入研究. 参考文献 1 Browne S Optimal investment policies for a firm with a random risk process: Exponential utility and minimizing the probability of ruinJ. 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Insurance: Mathematics and Economics. 2003. 33: 227-238 附录 关于方程(18)、(19)的求解.为方便计算,记 -22,b=2 o) 2y(pro 则(19)式可表示为 Bt=h-ab-(*)+bb(t) B(T)=0 两边积分,得 t+c= db(t) h2aB2(t)+bb(t)+f ak2( 2)/(B(t) B(t) db(t) 其中,C为常数,m1,m2为方程ak2n2+bx+盒=0的根,即m12 (=P70)∨(1-p)(2-P) 2~k2(1-p) 故 k2( 1 B cak-(m1-m2)(t+c 由B(T)=0知eC=me-a(m-m2)r,代回上式,经整理得 B() n1e 为方便计算,记1=k2m1,A2=k2m2, (入1-入2)(T-t) B(t=k k I(t) 故(18)式可表示为 dA(t) rop 7(2y+1)I(t) 对上式两边积分,得 A(1)70 t-7(2+1)/r(t)d 因 /I(tdt=At+202 In(Aa (入1-A2)(T-t) )+ 其中,C1是常数,故 A(t) 入1(2y+1)t}[A2-入 由边界条件,A(T)=1,得 sp I PropE 1(2y+1)T8(2-A1) 因而 A(t) [λ17(2y+1)+

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