论文研究-属性值为正态随机变量的多属性决策方法.pdf

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论文研究-属性值为正态随机变量的多属性决策方法.pdf,  针对具有正态随机变量的多属性决策(MADM)问题, 提出了一种决策分析方法. 在该方法中, 首先通过理论分析给出根据期望和方差确定正态随机变量随机占优关系的简便方法; 其次依据得到的简便方法确定针对各属性的两两方案之间的随机占优关系, 并构建相应的随机占优关系矩阵; 在此基础上, 给出了一种基于ELECTRE Ⅲ的方案排序方法. 最后, 通过一个算例说明了所给方法的可行性和有效性.
第7期 姜广田,等:属性值为正态随机变量的多属性决策方法 1519 即可下面证明当1≥m2且a1<2时,∫0[F()-G(切d-∫G(t)-F(dt≤0必成立 F(t-G(t) dt G(t)-F(t)]dt G(-t)-F(-t)d(-t) [F(t)-G(t)dt+/ [G(t)-F(t)dt 1 [F(t)-G(t)]dt+/[F(t)-G(t)] t)-F( G(t)-F(t)dt 1 0 F(dc G(od+ F(du G(dt+ ldl- F(-)d 0 (t)dt 11 (t)dt-2/ G(t)dt dt 几2 G(t)dt G(t)dt+ G(tdt G(tdt 1 2 G(edi+ G(tldt-2 G(t)dt≤0 所以对于任意的r∈(-∞,+)都∫F(t)-G(tdt≤0成立,故此如果122且a1<a2那么 F(SsDG () 图3正态随机变量X1和X2(1>p且σ1<a2)的概率密度函数 图4正态随机变量X1和X2(1>12且a1<m2)所对应的累积分布函数F(m)和G(m) 定理3如果A1>1且a1>02,那么F(x)和G(x)不存在随机占优关系 1520 系统工程理论与实践 第32卷 证明由于p1>12且a1>a2(如图5所示),那么对于vx∈(-∞,xol,有G(x)≤F(x);对于 vx∈(xro,+∞)有G(x)>F(x),其中xo=均二为h(x)和G(ax)的函数曲线的交点.依据定义1 可知不存在F(x)FSDG(x),也不存在G(x)FSDF(x).又因为F(1)=G(2)=0.5且1>12,所以对于 任意的x≤mo,F(x)≥G(a)进一步地可以知道,[F(t)-G(t)dt≥0;当x≥xo时,由定理2的证 明可知∫[F()-G切dy=F(t)-G(切)dt+/mF(t)-Gt)d≤0.即对于x∈(-∞,+), s[F()-G(t)dt的值不恒大于0也不恒小于0.因此,由定义2可知不存在F(a)SoG(x),也不存在 G(x)SSDF(x).当x≤xo时,容易知道∫∫[F(y)-G(y)dvdt≥0.当x=+∞时, [F(y)-G(y) LF()-G() ddt LF(g)-G(y)dy 【F(y)-G(mjdy F(g-G()]dy+ dt F(-G(yi]dy + F(y)-G(y) dy+ [F(y)-G() F(dy- G(ydy+ F(y)dy dt G(ydy F(y)dy (3)dy+/ dt/ F()dy F(dg dt ((3)dy+ dt F(y)dy dt G(ydy 0 ∞ F(yd dt G(y)dy+ F(ydy G(y ∞ (y)dy /(d9 F( dy G(y dy 工0 +△ dt F(y)d (y)dy dt×1 dt×1 故此∝{F(y)-G(m)dd的值不恒大于0也不恒小于0.由定义3可知不存在F(x)TSDG(m)也 不存在G(x)TSDF(m).因此F(x)和G(x)不存在任何随机占优关系 图5正态随机变量x1和X2(1>12且a1>02)所对应的累积分布函数F(x)和G(x) 第7期 姜广田,等:属性值为正态随机变量的多属性决策方法 1521 3决策方法 考虑一个具有正态随机变量的MADM问题,设A={41,12,……,Am}为备选方案集合(m≥2),其 中A表示第i个决策方案;C={C1,C2,……,Cn}为属性集合(n≥2),其中C;表示第j个属性:,且 C1,C2,…,Cn相互独立;属性权重向量为=(1;v2,…,wn),其中为属性C;的权重或重要程 度,满足∑=10=1且w;≥0,=1,2,…,m.记X=[X1m×m为决策矩阵,其中X2;表示方案A对应 于属性C的属性值,在本文中考虑X是一个正态随机变量,即X~Nm)本文要解决的间题是 依据决策矩阵ⅹ和属性权重向量v,如何运用决策方法选择最优方案或进行方案的排序 为了确定方案的排序,本文给出一种基于 ELECTRE II的决策分析方法.该方法主要有以下两个步骤 构成 1)使用定理13,判断同一属性下各方案之间是否存在随机占优关系 2)基于得到的随机占优关系,使用 ELECTRE III方法对方案进行排序.方法的具体描述如下. 首先.考虑矩阵X中的第j列(x1X2j,Xm)1,j=1,2,…m,依据定理1-3,判断X动~ N(x,)和Xk~N(7),,k=1,2…,m,之间是否存在随机占优关系.并依据得到的判断结 果构建针对属性C的随机占优关系矩阵R;=[mxm,其中丌k;=SDr表示随机变量ⅹy一阶或二阶 随机占优于Xk,=-’表示Xx不随机占优于Xk 其次在确定B3(j=1,2,……,m)后,可运用 ELECTRE II级别高于关系方法对方案进行排序12-14. 由决策者给出关于属性C的煸好阀值p和关于属性C的否决阀值”,根据矩阵R,和偏好阀值p,构建 针对属性C;的方案两两比较的和诣性指数矩阵={φkmxm和不和谐性指数矩阵D=( dikjImxm,其 中中和d分别为在属性C;下A针对方案Ak的和谐性指数和不和谐性指数,其计算公式分别为 SDr且 ki+p k SDr且<l<lk+p,i,k ≠k;j 7(1) 0. 其他, 02+0 2,;+y<6+,,k=1,2,…,m;≠k;=1,2,…,n 其他, 然后.根据矩阵门,j-1,2,…,n,构建总体和谐性指数矩阵S-Smxm,其中si为方案A针对方 案Ak的总体和谐性指数,其计算公式为 ∑ k=1,2,……,m;i≠k 进一步地,根据矩阵S和矩阵D,j=1,2,…,m,构建可信度指数矩阵P={σA1mxm,其中σ为“方 案A;级别高于方案1k”的可信度,其计算公式为 1-d =1.2 S 2 j∈g 根据矩阵P={ Fik x m,计算方案级别高于关系的相对可信度矩阵业={imxm,其中vi为“方案 A;级别高于方案Ak”的相对可信度指数,其计算公式为 vik =oik k=1.2 ≠k 最后,计算各方案的排序指数1,=1,2,…,m,其计算公式为 L,愈大,表明方案A占优于其他方案的叮信度越高,相应的方案A的排序越靠前.依据各方案的排序 指数的大小,对所有方案进行排序 综上,考虑属生值为正态随机变量形式的MADM方法的具体计算步骤如下 步骤1依据定理1-3,建立针对各属性的两两方案之间的随机优关系矩阵R1=T 7 1522 系统工程理论与实践 第32卷 步骤2运用式(1)和(2),确定和谐性指数矩阵门=(mxm和不和谐性指数矩阵D;=(d ki] xm, 步骤3运用式(3).确定总体和谐性指数矩阵S=s;k]mxm 步骤4运用式(4).确定可信度指数矩阵P=[;k]mxm 步骤5运用式(5).确定相对可信度矩阵业="k]mxm 步骤6运用式(6),计算各方案的排序指数I2,讠=1,2,……,m,并依据得到的排序指数对所有方案进行 排序 4算例 下面采用文献|5」提供的数据作为算例来说明本文提出的方法.考虑一个多指标电力零售商选择间题, 在该间题中,有9个备选电力零售商(41,A2,…,A9)和4个指标或属性(C1,C2,C3,C4),其中,C1、C2、C3 和C4分别表示长期利润、短期利润、市场份额和绿色能源市场份额.假设决策者提供的属性权重向量为 =(0.12,0.13,0.63,0.12),各属性的严格优于阈值分别为1=20、D2=2、n3=1、p4=5,否决阈值分别 为v1=60、v2=6、w3=3、4=15.并且每个备选电力零售商针对各指标的评价结果是服从正态分布的随 机变量.其构成的决策矩阵如表1所示.为解决该决策问题,下面简要说明采用上文给出的方法的计算过程. 首先,依据定理13,建立针对各属性的随机占优关系矩阵R1,R2,R3和R4(表2-5).然后,运用式(1) (3)计算总体和谐性指数矩阵S=[s:k]mm(见表6).运用式(4)计算确定可信度指数矩阵P={ik]mxm (见表7),运用式(5)计算方案对(41,Ak)的相对可信度指数如亚=比 pik) mxm(见表8),运用式(6)计算每 个方案的排序指数分别为:I(A1)=-1.003,(42)=-0.448,(A3)=-1.89,I(44)=0.03,f(4)=1.52 (46)=-0.412,(4)=0.751,I(As)=0.173,/(4)=1.275.最后,依据得到的排序值,可得到方案的排 序结果为A5>A>A7>AxA>A6>A2>A1>A3.而文献[5的排序结果为A3、A>Ag A2、A>A4>A6>A1>A7,通过排序结果的对比,可以看出:一方面本文的排序结果与文献5]的排序 结果相近:另一方面,文献5中不可比较的方案在本文中可以比较并排序 表1具有正态随机变量的决策矩阵 C C N(439,1432) (12.1,0.52) N(9.3,6.52) 4 N(426,1252) N(159,312) N(12.1,0.52) N(148,6.52) N(131,0.52) N(9.3652) 4 N(444,125 N(163,312) N(121,0.52) N(9.3,6.52) 4 N(1.0,0.52) N(9.3,6.52) A6 N(449,1262) N(166,32 N(121,0.5 N(43,6.52) N(449,107 N(164,272) N(121,0.52) N(9.3,6.52) 4 (457,1262)N165,322 N(12.1,0.5 N(9.3,6.52) N(453,1072) N(163,272) (12.1,0.52) (148,6.52) 表2针对属性C1的两两方案之间的随机占优关系矩阵 A A A A 4 A5 A A8 4 A FSD SSD SSD SSD A SSD SD SSD SD FSD SD SSD SSD SSD SD FSD SSD 第7期 姜广田,等:属性值为正态随机变量的多属性决策方法 1523 表3针对属性C2的两两方案之间的随机占优关系矩阵 2 3 A 4 5 A6 7 SD SSD FSD SD AAAAAA FSD SSD FSD SSD SSD FSD FSD SSD SSD FSD SSD SSD SD 表4针对属性C3的两两方案之间的随机占优关系矩阵 4 FSD FSD AAAAAAAAA FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD 23456789 FSD FSD FSD FSD 表5针对属性C4的两两方案之间的随机占优关系矩阵 A 4 A 9 FSD AAAA FSD FSD FSD FSD FSD FSD 234 FSD FSD A5 FSD AAA FSD 8 FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD FSD 表6方案两两比较的总体和谐性指数 A1 A6 4 A8 A 0.0000.0000.0000 0.630 0.120 0.000 0.000 0.000 0.120 0.000 0.370 .1 0.750 0.120 0.120 0.120 0.000 0.630 0.630 0.000 0.630 0.630 0.750 0.630 0.630 .630 AAAAAAA 34567 0.030 0.238 0.250 0.000 0.630 0.120 0.000 0.000 0.000 0.250 0.250 0.250 0.250 0.000 0.000 0.250 000 0.190 0.000 0.250 0.000 0.630 0.000 0.000 0.065 0.000 0.12 0.250 0.250 0.095 0.630 0.120 0.000 0.000 0.065 0.238 0.000 0.2500.000 0.630 0.120 0.000 0.000 0.000 0.204 0.250 0.370 0.174 0.750 0.120 0.120 0.120 0.000 5结论 本文给出了一种属性值为正态随机变量的MADM方法.该方法中,首先通过理论分析给出了通过期望 和方差的大小关系,确定正态随机变量的随机占优关系的简便方法,从而,可以构建相应的随机占优关系矩 1524 系统工程理论与实践 第32卷 阵.在此基础上,通过运用 ELECTRE III方法得到方案的排序结果.该方法具有概念清晰、计算过程简单 等特点,为解决属性值为正态随机变量的MADM间題提供了一种汙的途径,具有实际应用价值 表7方案两两比较的可信度指数 4 4 A9 0.0000.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.068 0.000 0.370 0.068 0.000 0.000 0.031 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 000 0.030 0.238 0.250 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.250 0.250 0.150 0.250 0.000 0.370 0.000 0.250 0.000 AAAAA 0.190 0.000 0.250 0.000 0.000 0.000 0.000 0.065 0.000 0.125 0.250 0.250 0.095 0.000 0.120 0.000 0.000 0.065 0.238 0.000 0.250 0.000 0.000 0.120 0.000 0.000 0.000 0.204 0.250 0.370 0.174 0.000 0.102 0.120 0.120 0.000 表8方案两两比较对的相对可信度指数 0.D00 0.0680.000 0.030 0.250 0.D88 0.125 0.238 0.204 0.068 0.000 0.370 0.170 -0.250 0.000 0.216 0.000 0.250 AAAA 0.000 0.370 0.000 0.250 0.150 0.250-0.250 0.250 .370 0.030 0.170 0.250 0.000 0.250 0.102 0.095 0.000 0.174 0.250 0.250 0.150 0.250 0.000 0.370 0.000 0.250 0.000 0.088 0.000 0.250 0.102 0.370 0.000 0.120 0.055 0.102 0.1250.216 0.250 0.095 0.000 0.120 0.000 0.000 0.055 0.238 0.0000.250 0.250 0.055 0.000 0.000 0.120 0.204 0.250 0.370 0.174 0.000 0.102 0.055 120 0.000 参考文献 [I Levy H. 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