论文研究-关于广义判断下的AHP法.pdf

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系统工程理论与实践 1994年5月 由此我们可得绪论 定理1如果广义判断矩阵A为一致性矩阵,B可逆且A=BAD(B、D由(4)、(5)所定义)为正 矩阵,则A的最大特征根_=n,其余特征根青为零 证明由B的定义和可逆条件,以及A=AD为正矩阵,根据 Perron定理知A的最大特征根λ存 在且为正的单根。当A是一致性矩阵时,有r(A)=1,从而r(A)=1,故A的特征根除了λ>0外,其 余皆为零.由前面的讨论知,当A为一致性矩阵时,n为A的特征根,故廴=n,而相应的正向量是 A的特征向量.证毕 定理1中A>0的条件可以去掉,只要保证A为素阵即可 由定理1及广义判断矩阵A的构造和一致性的定义知,求解特征方程 (B ADw=i-W 所得到的最大特征根λ所对应的特征向量,归一化后,就是排序权值向量。 对于一般的广义判断矩阵A而言,定义(0,1一矩阵B=(b,xn、D=(dn)n如下 1,当∑P中有P出现 0,当∑P中无P出现 ∑,P:中有P出现 (S) (0,当∑p中无P,出现 显然,若A为一致性矩阵,则这里定义的(0,1)一矩阵B、D与由(4)、(5)式所确定的相应的 (0,1)一矩阵B、D是相等的。若B=D,则A为正互反矩阵 定理2若B、D皆为非奇异矩阵且B=D,则A=B-AD与A有相同的特征根并且当A为素阵 时,A是一致的充要条件是它的最大特征根A_=n。 证明若B、D非奇异且B=D,则矩阵A与A相似,故A与A有相同的特征根 当A是一致性矩阵时,由定理1知A的最大特征根λmn=n,从而m=n 反之,若m,=n,由于A为素阵,从而λm=nBAD所对应于m的特征向量它为w w"2…wn),那么有 (B ADw=nw, A(Dw)=n(Bw) 而D=B,从而有 du=n 这里=BW=CΣv;∑W2∑w)就是正互反矩阵A的特征向量,由于m,=n由一致性互反矩 阵性质知 ,=∑"4/∑w,= 由广义判断矩阵的一致性定义,A是一致性矩阵。证毕 3.一致性检验问题 通过具体若干判断矩阵的一致性检验的比较(与普通判断矩阵比较排序权值及一致性指标),广义 判断矩阵A可用对矩阵A=BAD采取相应的方法来检验,即取A的一致性指标为C.I.=|2m m|/(n-1)(这里nx为A的最大特征根),而一致性比例CR.=CJ./R.(R为普通判断矩阵的 平均随机一致性指标)。当CR<01时,认为广义判断矩阵A的一致性是可以接受的,否则,应对A 作适当修正。一般地说,广义判断矩阵在应用时只考虑阶数不小于3的情况 4.排序权值向量的计算及分析 第3期 关于广义判断下的AHP法 由前面讨论知,对于广义AHP法可通过求解特征根问题 (B AD)w=2 得到相应的排序权值向量。具体求解时可采用幂法进行计算 例1对于某个准则C支配的元素为p,P2,P3,其广义判断矩阵A取形式为 P, tP3 Pi tP3 P,+p P1 P2 P2 p2 P1+p2P1+p3 卩2+P;P2+p3p2+p3 PP, tP2 PI P3 则 00 B=010D=110B 010 101 若 1.390.831 A=0.590.38040 0980.620.70 求解特征根问题(6)得λ,=29306,C=003472,CR.=0.6763,而相应排序权值向量为w =(0.4976,0.2992,0.2032) 将所得的排序权值向量w代入普通判断矩阵 P pr p P2 P2 p, p, p P3 P3 P3 PI P2 p 0.4970497 0.2990.203 A 0.299 0.299 0497 0.203 02030.203 04970.2991 通过求解相应的特征根间题,得文m=3.0263c1.=3,1315×10,CR=6.022×10-6,而排 序权值向量为W=(04976,0.2992,0,2032) 反之,设普通判断矩阵为 12 系统工程理论与实践 1994年5月 15 求得Lm=3014,C.=7.077×10·,CR.=1.361×10而相应的排序权值向量诉=(0.74. 0.17,0.09) 将师代入上述形式的广义判断矩阵,得 L.20.91 A=0.230.19020 0.350290.31 求解特征根闯题(6)得 9950,C>=0.0025,C..=0.0048,相应排序权值向量为w =(0.74,0.17,0.09) 山上述例子叮见,对于义判断矩阵与曾通判断矩阵求得的排序权值向量是相近的。由于广义 AHP法在构造判断矩阵时作了n2个判断,利用了更多定性的信息,增加了排序权值的有效性利可靠 性。在可以应用AHP法的情况下,也可以问时应用某种形式的广义AHP法,利用各自得到的信息, 使之相互补充.相互修正 残缺判断下的广义AHP法 1.有关概念 构造一个n阶广义判断矩阵,需要作n2次比较判断。因此,在填写广义判断矩阵时,很难避免不 出现空缺现象.这时得到的广义判断矩阵称为残缺广义判断矩阵,相应的排序问题称为不完全信息下的 排序问题 定义3一个残缺广义判断矩阵称为是可按受的,如果它的任一残缺元素都可由已给出的元素通过 某种方法获得;否则就是不可接受的 定义4设A=(an)是n阶可接受的残缺广义判断矩阵,若存在一个正向量W=(,w2…,,)使 得对其任一非残缺元素a有an-∑甲∑",(这里∑w∑v是A的矩阵形式中的式子 ∑P4∑P,相对应的表达式,则称A是拟一致的;否则就不是拟一致的 2.关于残缺广义判断矩阵的干结论 对于残缺广义判断矩阵屮的残缺元素(用“0”表示),必须设法给出它们的值,然后对其值的一致性 进行估计为此,我们设想存在一个正向量w=(m1,2,…,wn),对于A中仁一个残缺元素a有 (7 这里∑、∑M是与A的矩阵形式(1)中∑P4∑P,相对应的式子。这样我们对A可构造一个 辅助矩阵C=(c),其元素为 a,当a,≠0时 0时 这里w(=1,2m)是待求的正数,即wk是待求的正向量w=(w1w2…,wn)的分量。将矩阵C替换 第3期 关于广义判断下的AHP法 A代入特征根方程(6中,有 (BCD)-巩 对于上式,整理后得下述形式的待价特征根问题 Aw=2 (9)式中矩阵A=(an),的元素a是不含待求向量w的分量w。若(9)式的特征根问题有解,即A 存在最大的正单特征根,旦其所对应的特征向量为正向量,则求解所得的特征向量w=(w1w2 即为我们设想的正向量。这样,我们可由这种方法间接获得A中残缺元素的值(由(7)式给出的)。 从而可得下述结论 定理3设A=()是n阶残缺广义判断知阵,B、D是由(4)′、(5)′式所确定的n阶(0 )一矩阵,B非奇异。若(9)式中的矩阵A是素阵,则A是可接受的 证明由残缺广义判断矩阵可接受的定义,若A是可接受的,则必须有一种方法,使得任一残缺 元素可由已给出的元素得出。由定理3前面的讨论知,当A是素阵的,可由上面讨论的求特征根问题 (9)由(7)式的表达式给出。所以此时A是可接受的。证毕。 若A是拟一致的,由残缺判断矩阵拟一致的定义,A是可接受的,且存在一个正问量w (w1v2…,*,)使A中的任一非残缺元素an=∑w/∑甲此时我们若取这个正向量作为(7) 式中所假设的正向量,对于A中的残缺元素取由(7)式表达式所确定的值,则辅助矩阵C是正矩阵 由此我们可得到当A是拟一致时的辅助矩阵为 ∑w4/∑w∑w4E ∑w/∑w∑w/∑ (10 这样我们就可得到如下结论: 定理4如(0,1)一矩阵B可逆,则当残缺判断矩阵A为拟一致的且BCD为素阵时 BCD的最大特征根,m=n,其余特征根皆为零 证明由題设,B'CD为素阵,BCD的最大特征根存在且为正的单根.而A是拟一致 的,从而由(10)式给出的辅助矩阵C的秩r(c)=!,因此r(BCD)=1故BCD的特征根除了 m,>0外,其余皆为零.与定理l前面讨论的类似,特征根问题(8)与特征根问题(6)一样,n为 BCD的特征根,从而是有入=m。证毕。 相应地,我们定义残缺广义判断矩阵A的拟一致指标为 CJ:=正=-.mx-1 (11) 其中m为A中“0”元素的个数。一致性比例白取CR.=C,./CR.<01作为检验一致性的标准 3.残缺广义判断矩阵可接受的若干类型和计算实例 由前面定理及有关讨论,求解残缺广义AHP的问题,可通过求解等价的特征根问题 Aw=a 来进行。而残缺广义判断矩阵A是否可接受,关键在于(9)式中矩阵A是否为素阵,若A是可接受 的,则通过求解问题(9),检验相应的一致性,从而解决了求解问题 下面分类举例分析、讨论A足素阵时B、A、D具的一些有特点 14 系统工程理论与实践 1994年5月 情形1A、B是可逆的,D为素阵 例2设广义判断矩阵形式为 p, p Pu P2 P2 P p, p, Pitpa 卩2p:卩1+P 这时,B=1,D=00 若取广义判断矩阵A为 10 00 g. o 其中an>0(=1,23,“0表示残缺元素。且A、B可逆,D为素阵(这里A是可约的)。而辅助矩阵C 为 特征根问题(BCD)=4w其等价特征根问题为 0 此时A=02 为素阵由定理3知A是可接受的。当取a1=245a2=061a3=04求解 上述特征根问题得λ=297236,CJ.=0.04CR.=008<01,排序权值向量为w=(049.0,20,0.31)。 情形2A、D是可逆的,B可逆且为素阵 例3广义判断矩阵形式为 第3期 关于广义判断下的AHP法 15 P P P P3 P +p2 p,tp2 P2 010 10 则B=00D=1,若取A-0a21若取an1=043、a2=145、0m=23时, 10 00a 则有A、D、B均可逆且B为款阵.此时等价特征根问题(9)为 1.5702.31 04320 01452 15702.31 可见A=04320素阵故A是可接受的.求解上面特征根问题,得Am=3.003,CL 01452 45×10-,C.R.=8.654×10-3<0.1,排序权值向量为w=(0488,0.209,0.303) 惰形3B,D可逆,A为素阵 例4广义判断矩阵形式为 P P, 卩2+p3P1+P3P P2 tP3 P, tP, p P P3 P +p, p,+P, P, 这时B=,D 01若A为 0950630 A=0.380.3608 0381 则B、D可逆,A为素阵。此时等价特征根问题为 0.630952.58 0.360.38132 L83 0.380 0630952.58 这里A=0:360.381.32为素阵,故A是可接受的,求解上面特征根问题,得λ=300,C1 0.3801 16 系统丁程理论与实践 1994年5月 525×10-°.C..=0.01<0.1、相应的排序权值向量为=(0488,0.216,0.296)2。 情形3中若B=D=J,,就是AHP法中残缺判断的情形 广义AHP法应用范围较广。在就用AHP法进行决策出现残缺判断(尤其当残缺矩阼为可约吋) 的情况下,可选择适当的疒¨义判断矩阵形式,应用广义AIP法往往可以方便地达到求解的目的(既使 广义判断矩阵为残缺甚至为可约时,也能方便地求解。如情形1、2);在应用AIP法可以求解的情 况,也可同时应用广义AIIP法求解,便之起到桕瓦补究、检验,增加排序衩值的可靠性和有效性 构造广义判断矩阵时不是通过两两元素之比较,而是两组元素之比较,通过分组比较,使各组间信 息由比较而连通,再由本组内元索间的侬赖关系,从而改善了元间的信息流通关系。广义判断矩阵改 善了元素关系结构,反映出构造上的优点和灵活性 结束语 在仁何个系统中,元素间的联系是普遍的.其运动形式是多样的,在应用AHP法时,仅靠元素 问的两两比较.往往不能充分地利用信息。因为有的信息并不直接体现在单个元素之间,而是体现在 部分元素与另一部分元素之间。因此将AHP推广到更广泛的一类判断矩阵⊥是有实际意义的 本文曾得到国防科技大学张干尔教授的指导,在此特致谢总 参考文献 (1)许树柏。层次分析法原理,入津大学出版社,1988 2)王莲芬,许埘柏。层次分析法引论。北京:中国人民大学出版社,1990。 C3) Takeda. E and P LYu ELicit ng the relative weights from imcomplete reciprocal matrices. ISAHP. 1988,Tianjin University pp19?- 200 〔4)乐禄祉、梁保国、类广义AHP方法。决策层次分析法,190,(1)46-50 第一届青年工作委员会名单 中匡系统工陘学会青年Ⅰ作委员会,经1992年10月上海年会理事会讨论,报请中国科协和民政 部批准正式成立。第一届青年工作委员会的成员名单是在各单位推荐、允分协商及广泛征求意见基础上 产士的。1994年4月又经学会常务理事会通讯征求意一致通过,现名单公布如下 主任:汗应洛西安交通大学管理学院院长教授系统工程 副主任:庶酉民西安交通大学管理学院副所长教授博上臂理工程 汪寿阳中国科学院管理、决策与信息系统开放实验室副主任副研究员博上运筹学 秘书长:席酉民(兼) 委会名单:(按姓氏笔划为序) 马继钢男成都科大应用数学系 室副主任副教授博士应用数学 王书宁男华中理工大学系统工程所副教授 博士系统工程 士维平男国防科大系统工程教研室副教授(待) 硕士系统工程 叶全焕男海军论证中心舰船所 工程师 博士船舶系统工程 石永恒男北京航空航天大学管理学院副教授 博土系统工程 朱东华男合肥工大预测与发展所副所长副研硕士科技管理 仲伟俊男虐京东南大学经管学院副教授 博士系统工程 曲晓飞男大连理J大学系统工程所室主任副教授博土系统T程 刘晓星男中科院黑龙江农业现代所副编审 学士水利T程(下转第52页)

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