论文研究-用于过程工程系统设计的MINLP整体最优化方法.pdf

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论文研究-用于过程工程系统设计的MINLP整体最优化方法.pdf,  本文应用Lagrange对耦函数作为外部近似函数, 对外部近似法进行了推广, 从而建立了一个求解过程工程系统设计中混合整数非线性规划(MINLP)问题的整体最优化方法。除理论分析, 本文还给出方法的几何解释及在工程问题上的应用。
第9期 用于过程工程系统设计的 MINLP整体最优化方法 67 (PD) zErL(x,,y,入,P) ∈W,y∈ 入≥0,v∈Rn2 其中6为新引入的标量变量.由于约束(9)的存在,使得问题(PI)等价于问题(P),同时也使得 (7)包含无穷多个约束方程.(PD可被简化为如下问题 1nI (10) t,5 PD 1),ⅵ∈r (11) x∈X ∈W,y∈Y (12) 其中r={:A,是子问题[S(;y)wk∈WnU,∈Y∩v)最优 Lagrange乘子}.下面 的定理给出了(PD)与原子问题(P)的关系 定理1如果条件(c1)和(c2)满足,问题(PD)的最优解也是间题(P)的最优解 证明对于任意一组v∈W∩U,y∈Y∩V,(PI的子问题可表示为 min ,16 6≥infL(x,0),y,A,p)2 r∈X ⅵA≥0,V∈Rm2 条件(c1)和(c2)满足,那么子问题()的饱和约束可由下式定出 8=infa E X L(a, w,y,x, u=subA>O,u, inf. L(E,w,y,A, u) x∈X A,为子问题[S(u,y)的最优 Lagrange乘子,因此,问题(PD)包含了问题(P)的所有他和 约束,所以(PD)等价于问题(PI,也等价于问题(P).证毕 与(PD相比(PD)虽大为化简,但是因为W是连续变量,所以(PD)仍然有无穷多个约束 方程.为此可以应用松弛求解策略·依此策略,忽略问题(PD)中的大部分约束方程,再以迭代方 式求解.第k次迭代问题定义为 min d (Pdk 6≥infD(x,m,y,A,p)ⅵ∈r ∈w, ∈Y 其中I={:=1,2…,}}且ⅣC选代计算时,首先确定一组初值01∈W∩U,31∈ Y∩V,求解子问题[S(u1,y),得到最优 Lagrange乘子,最优目标函数值为原问题最优值的上 界.然后建立并求解迭代问题(Pa),得到解{u232),其最优目标函数值为原问题最优目标值的 下界.随后依次建立并求解[S(02,y)和(Pd).因为每次迭代均有约束方程加入,所以迭代问 题序列(P)(k=1,2,…,k的最优值构成原问题最优值的单调上升的下界值序列.继续迭代 直到满足某一收敛条件 68 系统工程理论与实践 195年9月 在求解问题(P)时,由J采用了松弛簟略,其解(uk+1,3h+)有可能为不可行解,使得子 问题[S(k+,yk+)不存在可行解,导致计算中断.克服这一问题的方法一般是在问题(Pd) 中增加一约束方程,使得(k+1,wk+1)在(P)中成为不可行.然而,如果此种情况反复出现就 会使计算量大为增加,甚至计算失败.实际上如果能在(P)中加入约束方程(5),使可完全避免 上述困难的出现,正如下一节指出,约束方程(5)的加入是可行的.这样,可得到如下迭代主导问 题 mIn ,y,6 (PD nt L(x,,y,;H;)Vi∈卫 x∈X ∈W∩U,y∈Ynv 2.3主导问题的求解 首先考虑问题(P)的求解为此引入文献(4提出的约束规范在间题(PD)的约束方程 中,某一连续变量a的系数或导数可以表示为U,3,λ和Pk的线性函数,用l(w,y,xk,pk)表 示由线性规划原理可知,当lx(,3,hkk)≤0且x;=x时,或当l(,3,Ak2k)≥0且 x;=a时,函数值为最小.这里x2和x4分别为变量;的上、下界值这样,对于第k次迭 代所构成的 Lagrange函数则有 aE la,w,y, Ak, kk)=min L(B, w, Ak, pr tlxa(,y,k,k)≤0当 B 时 l(,y,)kh,Hh)≥0当x2=x2时 其中xh为变量x的上、下界值的第j个组合,J为x所有上、下界值的组合序号的集合 通过间题(P)的求解方式可以看H,当条件(cl)满足时问题(Pak)中的约束方程(5)可直 接(2)和(3)表示,此外,主导问题(PD)的解集为多谷的非凸面体,各局部解互为独立,所 以在第k次迭代中不能保留前面所有迭代问题中的约束规范,而只保留那些满足当前解(k,3) 的设!(,k)为在第l(<k次迭代中,其约束规范在点(u"k,孙)能够满足的 Lagrange函数序 号的集合,那么迭代主导间题(PDh)可有如下等价形式 min 8 5≥[(z2,m,v,t)y∈2(k),=1,2…,k-1 lxi(,y,x,l)≤0当x2 ≥0当 时 (PD) 6≥L( :Ak,山 i∈J lx(l,y,Ak;,k)≤0当x2=x时 l(,y,)kHk)≥0当x2=x2时 (13) h(a Bi, w, v) (14) ∈W,y∈Y 第9期 用于过程工程系统设计的 MINLP整体最优化方法 69 应该指出,因为约束方程(13)和(14)的存在,变量r的上下界必须是其最大及最小可行解 24算法及其收敛性 假设条件(c1)和(c2)满足,求解问题(P)的算法可叙述为 第一步赋初值:迭代次数k=1,下界值1=-∞0,上界值%a=+∞;最优目标函数值 z=z.确定投影变量初值w∈W∩U,y∈Y∩V.取一任意小量c作为收敛时上、下界的 允许差值 第二步求解子问题S[k,yk)得到最优解xk,最优乘子λk,和山k以及最优目标函数值 Uk如果v<z1则进行下列赋值:zx=k,x*=xk,w*=tk,g*=yk,2*=Zn 第三步建立并求解迭代主导问题(PB),得到解0,y′及最优值z,领Z1=2’,如果 za-Z1≤ε,则(P)的最优解为(x,w*,y*),最优值为z*,计算结束,否则进行下列赋值 k=+1,k=t,3k=y,回到第二步 为了证明算法的收敛性,首先给出如下 预备定理在算法的第三步中,若本次迭代解与前画某一次迭代解相等,则此解为(P)的最 优解 证明参照问题[S(u,y)],可将问题(PD)的f问题表示为 uk(w, y)=min 8 L(m,w,y,A,山z)v∈ z∈x 若(uDk,3k)不是原问题的整体最优解,那么必存在一点(,q),p∈W∩U,q∈Y∩V使得 v(wk, yk)>v(p, 9 (15) 若条件(c1)和(c2)满足,对于j≥1则有k+(x,tk)=v(ak,yk)和k+(P,q)<(P,q), 这样,由(14)可得k+(P,q)<v(P,q),即(Uk,3k)不可能成为间题(PDk+),≥1的最优解 另一方面,如果(uk,k)也是问题(PD+),≥1的最优解,那么6≥nfL(x,1,y,Ak;Hk)就 成为饱和约束,这时v(k,wk)等于饱和约束值,即上、下界值相等.所以vk,yk)是原问题的最 优解.证毕 算法的收敛性可由如下定理给出 定理2若问题(P)满足的条件(c1)和(c2),集合Y为有限,则对任意给定e,计算经有限 次迭代收敛. 证明当整数变量y为某固定值y∈Y∩V时,问题(P)则为NIP问题,其收敛条件与 文献[4相同,设其迭代收敛次数M1且为有界1,由于在问题(PBk)的全部解集中,整数变量 值等于ya的可行解数最多出现M;次,又由于在收敛之前,解不会重复出现(预备定理),且Y∩v 中y的组合数为有界,所以计算迭代次数的上界为 ∑ M.证毕 1 2= 25算例与几何演示 系统工程理论与实践 1995年9月 现考虑如下三变量的凸 MINLP问题 ImIn (E) v(x2+2x+1)-2y≤4 0≤x≤4,0≤v≤3,y∈{0,1,2,} 若将和y作为投影变量,问题(E则满足条件(c1)和(c2).子问题有如下形式 叫w,y)=mn x2+2x+1)-2≤4,0≤x≤4 与和y的所有可行解相对应的v?(a,y)值构成了间题(E)在w-y-v空间上的投影,如 图1所示.第一次迭代取初始点为U1=1,y1=0,子问题[S(u1,y)为 min u(x2+2x+1)≤4,0≤c≤ 其最优解为x1=1,1=-2,最优 Lagrange乘子为1=0.25.由此构成的 Lagrange函数为 L(x,U,y,λ1)=-U-m+0.25{u(x2+2m+1)+2y-4 为求解迭代主导间题(PB1),须求解对应于上、下界的如下两个问题,对应于x=x=0 anIl 6 (PB1)1 6≥-075-05y-1 v≥1,w-2y≤4,0≤w≤3,y∈{0,1,2} 最优解为(u2)x=3,(y2)1=2,(62)1=-425.对应于x=x=4 min s (PB)2 6≥525-05y-5 u<04,253u-2y≤4,0≤v≤3,y∈{0,1,2} 最优解为(v2)2=0,(v2)2=2,(b2)2=-6.因为(62)2<(62),所以(PB1)的最优解应为 w2=(v2)2=0,y=(y)2=2,Z1=(62)2=-6这样,第二次迭代的子问题{S(,y2)为 ml一 G≤4,0≤x≤4 最优解为x2=4v=-4. Lagrange函数为J(,2)=-w-4.因为此函数与x无关, 所以只需要求解一个迭代主导问题.此外,在第一次迭代中,(PB)2的 Lagrange约束满足点 (u2,y2),所以此次迭代主导问题为 第9期 用于过程工程系统设计的 MINLP整体最优化方法 71 min s (PB2) 6>525w-0.57 w≤04,0≤w≤3,y∈{0,1,2} 最优解为03=0.32,3=2,63=-432,且Z1=63=-432.当求解子问题[S(u31y3) 时,其最优解为x3=4,最优目标值为3=-432,此值与当前下界值相等,所以(E)的整体最 优解为x*=x3=4,u=u3=0.32,y=33=2,x=z1=-4.32. 如图2所示,第一次迭代中(PB)和(PB1)2的搜索区域分别为I和IUI,而第二次 迭代中(PB2)的搜索区城为II,由此可以看出问题(E)与问题(PB2)的等价关系 =525w-05y-5 y=2 8=075w-0.5y-I 2 图1原问题(E)的投影 图2迭代主导问题的投影 3应用举例 用于化工分离的非清晰精馏网络系统的最优综合问题可叙述为:寻找能够将N组元混合物分 离成指定国收率的N个产品且总费用最小的最优精馏网络.4组元混合物问题的已知条件和设 计要求示于表1不同的网络结构,即A/BCD→BCD,A/BCD→BC/D,ABCD等5种 不同的分离顺序由一组0】变量描述.目标函数,即年总费用C,为各精馏塔进料流量F及其组 成x以及轻、重关键组分同收率rK,rH的函数,即 ∑{03;+(a1+a;+a37+∑;)F} 其中α和β为费用常数,约束方程为网络各节点的物料平衡以及保证结构为可行的逻辑约束方 程,其中包括各塔中关键组分的物料平衡关系如r/≥d其中力和山分别为塔j的轻关 键组分在进料和塔顶产品中的流量(完整的数学模型参见文献⑤5])此问题为非凸 MINLP问题, 若将进料和整数变量作为投影变量,则满足条件(c1)(c2).此问题共有整数变量12个,连续变量 系统工程理论与实践 1995年9月 68个,53个等式及46个不等式约東.用本文方法求解,所得最优解示于表2,相应最优分离顺 序为A/BCD→B/CD 表1已知条件和设计要求 产品嘤求(回收率 组分 流量(kmol/h) PA P P A:正丁烷 25 >96% B:正戊烷 25 96% C:正己烷 D:正庚烷 25 >96% 表2最优解 产品组成(mole%) 成品 流量(kmol/h) XA X B Xc XD 24.76 96.64 3060 25,76 3.882 93.18 2.941 25.24 0.9603 95.08 3.962 24.24 1.0 990 4结论 本文将外部近似法进行了推广,建立了一个可求解满足条件(c1)和(c2)的非凸 MINLP问 题的整体最优化方法,该方法将非线性的混合变量问题转换成一系列P子问题和MILP主导问 题进行迭代求解因只限于线性问题的求解,方法便于实施,克服了因为不可行解反复出现可能造 成的困难 参考文献 1 Duran ma. and i E grossmann AiChe]. 1986.32 592 2袁希钢化工学报,1991,33(1) 3 GeoffionA M, JOTA.1972.10.73 4 Floudas C A. and V. Visweswaran, (I), Comp. Chem. Eng. 1990, 14, 631 5袁希钢天津大学学报,1995,28(2):146.

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