论文研究-无偏灰色Verhulst模型及其应用.pdf

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论文研究-无偏灰色Verhulst模型及其应用.pdf,  针对灰色Verhulst模型自身所固有的偏差, 提出了无偏灰色Verhulst模型.利用递推解法,给出两种初始条件下无偏灰色Verhulst模型的递推预测公式. 结果表明,无偏灰色Verhulst模型对传统灰色Verhulst模型预测公式所表达的S型曲线进行模拟和预测具有完全重合性,完全消除了灰色Verhulst模型自身固有的偏差,
140 系统工程理论与实践 第29卷 是一致的.由文献⑨9,13]可知,无偏GM(1,1)模型的统一表达式为: x)(k) ay(1) b k-1)+-(1-e),k=2 其中,a为发展系数.b为灰色作用量 再令月1=c,2=(1-c2),式(1)可以表示为 (k)=1x(1)(k-1)+2,k=2,3,…,n 上述模型中的待估计参数列3-(1,B2)可以直接通过最小二乘原理进行估计 综上分析,只需对适合于灰色 Verhulst建模的原始数据作倒数生成,使其与GM(1,1)模型对一阶累加 生成序列的模拟响应式具有致的非齐次指数函数形式,再按照无偏GM(1,1)模型直接建模法建立模型,便 可以得到无内在偏差的灰色Ⅴ verhulst模型 3无偏灰色 Verhulst模型与求解 定义3设X0)为原始序列,X(1)为X0)的1-AGO序列,称序列 (y0)(1,y((2),…,y①(),y((k)=1/x((k),k=1 为Ⅹ()的倒数生成序列 定义4设X(0)为原始序列,X(1)为X)的1-AGO序列,Y(1)为X()的倒数生成序列,则称 y(1)(k)=/1y((k-1)+2 1x(0(k)=1/0(/) k=2,3. 为无偏灰色Ⅴ erhulst模型 以上模型中的待估计参数列=(61,2)可以直接通过最小二乘原理进行估计 若β=(1,月2)为无偏灰色 Verhulst模型的参数向量则无偏灰色模型参数的最小二乘估计为 6=(BB)1B1Y 其中, (1)(1)1 1) (2)1 B 定理1设B、Y、B如上所述,B=(BB)-1BY,取初始值(1(1)=0(1,则无偏灰色 Verhulst模 型的解为 k-1 )(k) [1/a0(1)+k2 B1=1 其中,k 证明分别取式(7)中k=2,3,……,m,有 y(1)(2)=A13(1(1)+B2 c(1)(3)=B1y1)(2)+/2 ()(m)=B1y +2 将y(1)(j-1)依次代入y(1(j).=2,3,…,k,可得 (k)-1y()(k-1)+B2 月1191)(k-2)+B2]+2 6-y4)(1)+(-2+B 61+1)6 (11) 第10期 王正新,等:无偏灰色 Verhulst模型及其应用 141 当β1≠1时, y(2)(1)+ 当β1=1时, y(1)(k)=y(1)(1)+kB2 取初始值a(1(1)=a0(1),对y)(k)作倒数还原,可得(1(k)的预测公式 (1)(k) 2 31≠ 1/x0(1)+k2] 定理2设B、Y、B如上所述,月=(BB)-1BY,若取初始值()(m)=r1)(m),则无偏灰色 Verhulst 模型的解为 (?) k) 1-31 a·2 15 1 x(1)(n0)+ 其中,k=2,3,…,m 证明将式(7)作以下变换 16 分别取式(16)中k=2,3,……,m,有 (2)-B2) y)(3)-A2) 7 1 (1)(1n) 2) (17) 将y(1(j)依次代入y)(-1),=k,k-1,……,m,可得 y((k)=(y2)(k+1)-2 6 (y(1)(k+2)-B2)-B2 B"y((n)-("+ +B11)2 当61≠1时, 1-6 )(k)=y)(m)+(k-m)2 20) 取初始值x(1(m)=x(1)(n),对m1)(k)作倒数还原,可得21)(k)的预测公式 2 B1≠1 1 k=2,3 21) 1/(1)(n)+(k-m)/2 1=1 由定理1和定理2求出一阶累加生成序列预测值,再将其作一次累减还原便可得到最终的预测值 0(k) 系统工程理论与实践 第29卷 由上述建模过程可以看出,递推解法无霈通过白化微分方程解得时间响应式,这也就使得无偏灰色Ver hulst模型避免了以往建模方法由差分方程向微分方程的跳跃导致的误差 定理3无偏灰色 erhulst模型对传统灰色Ⅴ Verhulst模型时间响应式所表达的S型曲线x)(k) (d+cea)-1进行模拟具有完全重合性 证明仅证明取初始值a(1(1)=x()(1)的情况.设原始数据的一阶累加生成序列为 X()={d+ce)-,、(l+ce2)-1,…,(d+ce)-4},其中c,d≠0 根据定义4作最小二乘估计,待估计参数列为 B=(BB)BY (22) 其中, d+ ce d+ ce d+ce a 1 B d+ ce(n-1)a1 我们知道 (B1B) 23 其中, +ce d+ ce bB k:=1 (24) ∑(d+ 其行列式和伴随矩阵分别为 25 (d ce at) (26) )∑(d+ce“) k=1 将式(23)代入式(22)得 B=(BB)-1BY=(1,B2)1=e",(1-e“)T (27) 再将式(27)代入式(9)得 (1)(k) d B1≠1,即a≠0 d+c 61=1,即a=0 则模拟序列()={(d+ce°)-1,(d+ce2)-1,…,(d+cemn)-1 4数据模拟与实例预测 例1以文献门]中307页算例来验证定理3.该例中原始数据近似单峰型,一阶累加生成后呈S型,建 立灰色Ⅴ hulst模型得模拟序列为: X()=(1,2.089029,366033011 1)以ⅹ()为原始数据再次作传统灰色Ⅴ Verhulst模型,得到响应式为 (1)(k+1)=(0.303299+0.696701e -1.8513493k 其模拟误差见表1 第10期 王正新,等:无偏灰色 Verhulst模型及其应用 143 表1传统灰色Ⅴ hulst模型的模拟误差 实际值 2.089029 3.66633 3.0117 模拟值 2.423076 3.120344 3.268012 残差 0.334047 0.545986 0.256312 相对误差(%) 15.99 14.89 8.51 由表1可见,传统灰色Ⅴ erhulst模型对由其本身的模拟预测值再次建模仍然存在较大的偏差,相对模拟 误差最高竞高达15.99%,平均相对误差也高达13.13%. 2)以ⅹω)为原始数据作无偏灰色Ⅴ erhulst模型、取初始值a(l)(1)=x((1),得递推预测公式为 1 ((k+1)=(059×+ 1-0.2598k 0.063927 1-0.2598 取k=0、1,2,3,模拟序列为{1.2.089029,3.6663,3.0117}.与原始数据完全一致可见无偏灰色Ⅴ verhulst 模型完全消除了模型自身所固有误差 例2下面分别利用灰色 Verhulst模型和本文提出的无偏灰色Ⅴ verhulst模型,对南京市水路货运量进行 模拟、预测,分析比较它们的精度.南京市1997-2002年水路货运量数据见表2 表2南京市1997-2002年水路货运量(10t) 年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 运量 3531 3703 4073 4275 4123 4122 表2中的数据呈现出单峰的特性,因此,符合灰色Ⅴ erhulst模型的基本条件 1)利用1997-2001年的数据建立灰色Ⅴ Verhulst模型 取(1(1)=x1)(1)=3531,可得时间响应式 (山)(k+1)-(0.0037+ 0.0M6O.4840443k)-1 累减还原值为 (k+1)=()(k+1) 2)利用1997-2001年的数据建立无偏灰色Ⅴ erhulst模型 取2(1)(1)=x(1)(1)=3531,可得递推预测公式 0.549493 ((k+1)=0.5494935/3531 0.000106 1-0.549493 两种模型的模拟预测值与实际值的比较情况见表3. 由表3可以看到无偏模型对2002年的预测精度要显著高于传统模型;对19992001年的模拟误差也 明显小于传统模型.虽然1998年的模拟误差略大于传统模型,但是,无偏模型的平均相对误差要小于传统模 型,这种现象在实际应用中出现也是正常的.因此,总体来看,无偏模型比Ⅴ hulst模型更具有优势,我们认 为,其原因就在于无偏灰色Ⅴ verhulst模型消除了原模型自身所固有偏差 表3两种模型的模拟预测值与实际值的比较 年份实际值(104t) 灰色Ⅴ erhullst模型 无偏灰色Ⅴ verhulst模型 模拟预测值(104t)相对误差(%)模拟预测值(10)相对误差(%) 1998 3796.170 3820.254 1999 3980.398 4000.324 2000 4103.100 4.02 4106.689 3.9 2001 4182.566 1.45 416758 2002 4233.093 4201.814 1.9 平均相对误差(%) 2.59 其中,1997-2001年为模拟值,2002年为预测值 144 系统工程理论与实践 第29卷 5结论 本文提出了无偏灰色 Verhulst模型,该模型对传统灰色Ⅴ verhulst模型预测公式所表达的S型由线进行 模拟和预测具有完全重合性,完全消除了灰色 Verhulst模型自身固有的偏差,也避免了以往建模方法由差分 方程向微分方程的跳跃导致的误差.然而,无偏灰色Ⅴ hulst模型的预测公式仍然是指数形式,这就决定了 该模型在实际应用中仍然只能适用于短期预测,而对于较长期的预测往往会产生较大偏差.因此,从这个角 度来说,还需要进一步改进既有灰预测模型和构造新模型,以促进灰色预测理论的不断发展与完善 参考文献 1]邓聚龙.灰理论基础M.武汉:华中科技大学出版社,2002 Deng J L. 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Systems Engineering Theory Practice, 2003, 23(2): 120-124 12谢乃明,刘息峰.离散GM(1,1)模型与灰色预测模型建模理门·系统工程理论与实践,2005,25(1):93-98. Xie N M, Liu S F. Discrete GM(1, 1) and mechanism of grey forecasting model[J. Systems Engineering-Theory & Practice,205,25(1):93-98. 13]王正新,党耀囯,刘思峰.无偏GM(1,1)模型的混沌特性分析J.系统工程理论与实践,2007,27(11):153-158 Wang Z X, Dang Y G, Liu S F. Analysis of chaotic charateristics of unbiased GM(1, 1)J. Systcms Enginccring Theory& Practice,2007,27(11):153-158.

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