论文研究-对称传递关系的诱导拓扑及其可数性.pdf

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粗糙集通过二元关系密切联系拓扑,并具有基于自反、自反传递、自反对称等关系的拓扑研究。采用对称传递关系构建拓扑并研究其可数性。基于对称传递关系,定义粗糙集近似集,由此建立拓扑及内部、闭包;针对构建拓扑,确立基与邻域基,得到第二可数性、第一可数性、可分性、林德洛夫性等可数性特征;提供实例分析。研究结果基于新二元关系揭示粗糙集与拓扑深入联系。
孙小义,张贤勇,李露:对称传递关系的诱导拓扑及其可数性 2018,54(11) 37 扑主要关注在同胚映射下的不变性质,下面介绍可数性 (4)0 0(X).0(~X)-~0(X 拓扑性质 1(5)X00)÷0(x)=0(Y 定义4在拓扑空间(,中,子族6=T称为 4(X)cY→6(X)0(Y) 基,若 0.04(X,.(X)c0.0(X VG∈T,3B,s.1.Gx= 04(X)c0.0.(X),640(X)0(X) B∈B 拓扑空间若具有可数基(即有限个开集维成的基),3.2基于对称传递关系的拓扑 则称为第二可数 本节利用对称传递关系诱导拓扑,并给出内部与闭 定义5在拓扑空间(2中,记Mx)为点x∈U包关联于近似集的性质 的邻城系,子族Bx)CMx称为x的邻域基,若 定义6定义对称传递关系B的诱导集族: N∈Mc)3B∈BO.B=N D={XU:x∈X,01{xX} 9) 2O 拓扑空间满足每点具有可数邻域基,则称为第一可数 在下述拓扑意义下,称为诱导拓扑。 对拓扑可数性,第二可数与第一可数分别由可数基 定理3T是U上的拓扑 与可数邻域基定义;此外,还可以基于可数稠密子集与 证明(1)C,U∈2是显然的。 四种特征均为拓扑性质。下面的结论表明第可数蕴{∈X,Y,即{xK∩Y,所以ⅹ∩Y!率 可数子开覆盖分别定义可分空间与 Lindelof空间:这 (2)设X,Y∈,x∈X∩Y。x∈X且x∈Y 含其他可数性,具有基础性。 )设T三T,x∈Ukx丑X”∈T,S1.x∈X 定理1-第二可数拓扑空间性必是第可数拓扑Ux∈因此,x=x=Ur,Ue∈ 空间、可分拓扑空间、 Lindelof拓扑空间 综上三条,T成为U上的拓扑 在第二可数条件下,四种可数特征均具有对于子空 关于构建思路,对称传递关系首先确立单元上近 间的遗传性。对乘积空间,第二可数性、第一可数性、可 似集0{x}(引理1),0{x}进而激发拓扑z(定理3)。根 分性均具有可数可乘性,但 Lindelof性不具有可乘性。 据公式(9),其中开集包含它所有元素的单元集上近似。 定理4在拓扑空间,中,内部算子t与闭包算 3基于对称传递关系的近似集与拓扑 子c具有如下性质: 31基于对称传递关系的近似集 0(X)(LX内含所有孤立点 本节讨论基于对称传递元关系的近似集。下面 i(X) (10) 0(X)-{x:94{x}=Q}(2X外含孤立点 主要采川文献[20-21的记号风格,以区分2.1节中通常 二元关系R及其近似集。具体地,这里设B为满足对称 b/(X)(③X外含所有孤立点 (XJ(2)=②2④N内含孤立点(1 性与传递性的二元关系,并用a,与θ标注上下近似集 其中,孤立点指没有在对称传递关系0的序对集合里出 而-,0:2→2为上下近似算子 现的元素 引理19,{x={y∈U∈0、(y)。 定理4刻画了T内部与闭包,表明了在对称传递 定理2X的上下近似集为 关系下粗糙集与拓扑的关系。诱导拓扑空间(U,T中 0,(X)-∪{0{x0,{x∩X≠x 的内部与闭包主要分别对应广义近似空间(,T)的下 0.(X)=(0x∈=X儿:D(x-(8)上近似集;但是,其中存在关于抓立点的描述差异,这亡 基丁定义1与对称传递,引理1提供了单点集{x}要根源于二元关系0不一定具有自反性。相应地,内部 的上近似集{x,其作为核心因素刻画了通常集合的闭包公式(10)(11)涉及到观测集与孤立点的四种关 上下近似(定理2)。进而,近似集其有如下基本性质,其系。这四种关系其实可以部分界定T开集与闭集,结 深化了命题1所述性质。 论如下 命題2关于对称传递关系θ,上下近似集(及算子) 推论1(1)X内含所有孤立点时,8(X)为T拓扑 具有如卜性质: 开集 (1)0()=,0()= (2)当X外含有孤立点x时,0(X)-{x.0,{x}=} (2)04(X∪Y)=0(X)∪(Y) 为T拓扑开集 .(X∪Y)=(X)Ua(¥) (3)当X外含所有孤立点时,,(X)为拓扑闭集; (3)04(X∩Y)0(X∩0+(Y) (4)当X内含孤立点x时,0(X儿U{x:4x=}为 0(X∩Y)=0(X)∩-(Y T拓扑闭集。 38 018,54(11 Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 4对称传递关系的诱导拓扑的基,邻城可数性空间, 41诱导拓扑的堪与邻域堪 力(2)设7=2…,为对称传递关系族则乘积拓 本节提供诱导拓扑T的基与邻域基,为后续可数扑空间(×…xU,25x…×)为第二可数空间、第 性研究奠定基础。 可数空间、可分空间 引理2Vx∈U→0+{x}∈Z6 上述推论2~5来源于T的四种可数特征(定理7) 证明vy∈0.{x}有x∈9,(y),即,x若v∈与经典拓扑性质(如22节)。推论2阐述可数性的拓扑 0,(y则有y∈6(),即(x.y)∈B。由传递性,(xx)∈不变性,推论3与4说明第一可数延展性质推论5则聚 a,即∈()。因此,x∈,(x),月6{,进而焦子空间与乘积空间结构制造(其中 Lindelof空间不 0x}∈T。 具有可乘性) 定理5=0冰∈UU{xx)=是诱导 拓扑T的个基,且为最小基(即B2二B'。若B’2是T 实例分析 的任意基 本章采用一实例来具体分析对称传递关系的诱导 定理66(=(B∈B∈是诱导拓扑了在点拓扑及其可数性 r∈处的一个邻域基,且为最小邻域基(即Ba(x) 例1设论域U={x1,x2,x,x4,x5,x6},二元关系 B(x)若B(x)是T在点处的任意邻城基)。 0={x1,x1).(x2x2,(x,x2,(x2x) 证明B。是拓扑T的一个基,则对任意x∈U及其 (a,x1)(x4,,(x3,2)(xx (13) 仟意邻域Mx),存在x的一个开邻域(x)使得l(x) 虽然6满足对称性与传递性,但不满足自反性。因 Mx)。根据lx)的开集性与基的定义,B(x)B此,0为U上的对称传递关系,而元素x,x5为孤立点 使得M(d)=U∈xB。由x∈∪b∈sB在Cx)∈ 单点集的上近似集为: B8x)sB使得x∈C(x=UssB=(x)sMx) 04{x1}=0+{x2}={x,x2} 因此,B(x)是x的一个邻域基。此外,B2(x)的最小基 0+x}=0+{x4}={xa,x4} 性容易证明 0{4x3}=0+x6}-2 14 这里,定理5与定理6利用上近似集构建了诱导 设X={x2,x3,x4,x},Y={x1,x2,x4,x6},∠={x1,x2}, 拓扑T的基B与邻城基B(x),它们均具有对应的最则XUY={x1,x2,x,x4,x3,x}、X∩Y={x3,x}。 小性。 相关的上下近似集为: 42诱导拓扑的可数性 6(X)={x1,x2,x3,x4b,0(X)={x3,C4,x,xb} 利用基与邻域基,本节併究诱导拓扑T的可数性。0.(Y)={x,x2,x3,x42()=({2x4,3,xe 定理7拓扑空间(U,)为第二可数空间、第一可数6(2)={x,x245,xs,B(∠2)={x,2} 关于诱导拓扑Z6,基6显然是一个可数族,所以0(X∩Y)={xx4A,0(X∩Y)=,n4,x5b1,x5,6 空间、可分空间、 Lindelof空间 0(XUY)={x1x2,C3,C4},6(X∪Y)={x1,x2 第二可数性存在;邻城基B(x)也是个可数族,所以22(X∪Y)={x3,x4,x5,x3 第·可数性亦存在。由定理1,利用第二可数性可以直((X儿∪0Y)={x3,x,x,xn} 15) 接诱导第一可数性,以及可分性与 Lindelof性,即定理7 由此,可以验证命题2,例如: 成立。下面对提供一些基本的可数性刻画 0(XUY)=6(X)∪+Y),6-(xUY)9(X)6(Y) 推论2设(7)为拓扑空间,,)→(T。6(X∩Y)c0,(X)∩0,(Y),9(X∩Y)=9(X)6(Y)(16) 若f是满的开映射,则(’T)为第二第一可数空间; 对称传递θ诱导拓扑为: 若f是连续映射,则(,T)为可分空间、 Lindelof空间。 T={,、x1,x2{x1,x2,75,{x1,x2,xe 推论3在,6)拓扑空间中,每点x∈U具有可 {x1,x2,x5,x}2xs5,{x3}{x5,xce,(x32x4,{xs,x4:x5} 数邻域套基{Vn(x}(n∈Z,),适合于条件 {x3:x4,xsb,{x3,x4,x5,x}2{x1x2,x32x4 V1(x)2V2x)2 (12 x1,x2,x3,x4xs},{ x4,x} 推论4聚点x∈X等价于X-{d}中在序列收且9{x}∈T(=1.2,34,5,6)。基于三种观测集计算,表 敛于x。 1在上下近似集基础上提供石內部与闭包结果,从而验 推论5(1)设U二UT′=T|U′,则了空间,)证了两者之间的关系(定理4)。此外,表1标注部分开 为第二可数空间、第一可数空间、可分空间、 Lindelof集与闭集来验证推论1。 孙小义,张贤勇,李露:对称传递关系的诱导拓扑及其可数性 2018,54(11) 39 表1二种观测集的上下近似集与拓扑内部闭包 下近似集0(X 内部ⅸX), 上下近似集与 观测集X 与孤立点情形 上近似集0(X 闭包c(X 内部闭包关系 {x2x3,x2)(3)外含所有孤立点{,x,x5,xm (Xx)=0(X)-{x,xs} x4}闭集 3,x4,x3}开集 内外含孤立 r1,x2,r3,x4 4,x3闭集(X=0,(X)U{rs 273x,xb(1)含所有孤之点{2x1,,x,(x3x,,还开集, 1C1,x2,x3,x4 r1:2,r3,,59c) C(X)=0, (X)Uias,re 相关观测集的内部闭包与上下近似的复合 的异同点,其中PU)为U上的全体粗糙集的集合 X 业时,((X)={ 基于表2,两文结果的对比分析简单说明如下 X={x2x3,时,c(6(X)={x1,x2,x,x (1)本文与文献[11相同点有相同形式但不同背 在诱导拓扑室间,T中,可数基为 景。在相同点(1)中,两者的二元关系都是泛化的,但本 6=(x1x2x1x3x} ●(18)文集合只涉及精确集,而文献[1.用模糊集;在相同点 再考虑基 (2)中,本文的二元关系仍是泛化的,但文献[的二元 B′={x1,x2}, 关系是定义的一种自反传递关系。(2)本文与文献[1的 则有B≤B,该结果表明B最小性。x∈U的邻域系为:不同点在形式与本质上都具有不同。在不同点(1)中, M(x1)={2{x1,x21r1,2x3,{x1,x2,rs 本文对于任意集合Y∈PU),3集Y,(Y),0(Y)无任何 4 包含关系。同时,本文在对称传递关系下,削弱了 x3{x1x2,x2,x,xB}(19)(9.(X)和xX)、c2、x)和c(x)的包含关系(3)将文 x1的可数邻域基为6x1)={x,x}。考虑x1的邻献模集退化到精确集,可通过上述实例来进行 域基 相关比较,这里不再详述。 Br1)={171:x23171,x2x3,x4,{xr1,x2,r2,r4:76 通过上面与文献[l的比较分析,说明了在对称 则有Bx)<B(x),该结果表明B最小邻域基性。对传递关系下的上下近似和拓扑的内部与闭包具有独特 木例诱导拓扑空间U乙,),可数基与可数邻域基的存在性质。 性确定了第二可数性与第可数性,以及可分空间与 Lindelof空间,即定理7被验证。基于经典拓扑结果推6结束语 论2~5自然成立,无需验证。 本文主要基于对称传递关系θ,确定近似集(算子) 下面将比较分析本文结果与文献[]'果。在文及其性质,构建诱导折扑及其内部(算子)与闭包(算 献]ψ,通过闭包算子与内部算子研究模糊粗糙集的子);进而,针对诱导拓扑z提出基与邻域基研究可数 拓扑结构证明了自反、传递关系下的近似空间中模糊性,得到第二可数性第可数性、可分性、 Lindelof性等 集的上下近似算子分别是一个模糊拓扑的闭包算子与四种可数特征及其性质。本文采用一种新的元关系 内部算子,且相应的模糊拓扑满足(τ℃)条件。文献「11拓展了粗集与拓扑的结合,深化了粗糙集与拓扑的联 主要讨论模糊集背景(其FU)中的集合都是模糊集),系。以基于对称传递关系,拓扑空间,)的其他拓扑 而夲文是在精确集下讨论基亍对称传递关系的诱导拓性质可以深入。此外,一般拓扑需要什么条件以激发对 扑及其可效性;对此,可以将文献[I屮的结论退化到精称传递二元关系并反之对应诱导拓扑,值得思考。最 确集来与本文进行比较。特别地,表2提供了相关结果后,根据图1,本文的工作完善了双性研究,而单性研究 表2本文结果与文献[1果的异同点 结果 元关系 相同点 不同点(1) 不同点(2) 任意精确集X∈P(I),有 针对泛化的对称传递生成的精确拓扑T 本文结果对称传递0(1)(∪(X)=U2(X ①对任意开集X∈Xc0(x1对任意X∈PU) ①iO(X)→(X (2)6.(X)2X,,(X)cc(X)②对任意闭集X∈T,0,(X)cX (2)(,(X)CCX) 任意模糊集合A,∈FU;,有在定义的自反传逃下的模糊拓扑T 献[果自反传递(1)0·(UA=U(A)①对任意开集A∈9()=A任意A∈FU) ②对任意闭集 ①i0(4)=(4) (2)9(A)=(A)OA)c(4) B∈T,0.(B)=B ②c(0(4)=c(A 402018,54(11 Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 正是后续工作,并期待最终完成整个三性层次的系统分 计算机工程与应用,2011,47(29):154-157 析。相应地,“基于对称传递的拓扑可数性特征(如本13张宇基于一般二元关系的几种粗糙集模型D辽宁锦 文)与“基于自反、自反对称、自反传递等关系的特征”的 州渤海大学,2013 区别,也成为后续工作 [14] Pawlak ZRough sets: Theoretical aspects of reasoning about data[M]. 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