提出针对GM（1，1）模型的时间响应式及还原式，可建立一个非线性规划的最优化模型，这个模型的目标是使GM（1，1）模型的还原值序列与原始值序列间的平均相对误差最小，使用数学软件LINGO 11.0，可以直接求解得到这个模型的全局最优解，从而建立一个对应的最优化GM（1，1）模型。证明了采用新方法建立的GM（1，1）模型具有白指数重合律，通过大量的数据分析发现，最优化GM（1，1）模型的模拟精度及预测精度都有了相当大的提高。
陈友军,何洪英,魏勇:利用非线性规划方法最优化灰色预测模型 2014,50(10)63 m=1:!指定模型初值选择的方法 表1原始值序列 n-原始数据个数;!指定原始数据个数; !-原始数据序列的一次累加序列 A l.0 3.0 @For(k(i): xl=(@, Sum(k(j)lj#LE#i: xO(j))) !-还原值序列,以x1(m)为初值; 64872 2.718282 20.085537 For(k(i):x-(1-Exp(A)*(x1(m)-BA)*x(3)12214032.718282389056 403.428793 @Exp(-A*(i-m)); x;(4)13498594481689 0.085537 8103.083928 @BND(-5,A,5);!发展系数变化范围(根据实际 (5)1.491825738905654.598150162754791419 情况修改) 6)1.64872112.1824901484131603269017372470 @BND(-3000,B,3000);!灰作用量变化范围(根 据实际情况修改); x,(k+1)-1.0000 !-始数据表 Data x3(k+1)=1.0000000e100 x0-原始数据列表(以空格分开); x4(k+1)=1.00000 Enddata 因此,采用本文所述方法建立的最优化模型基本上 是等于原始白指数序列的,所以无论是从模拟精度上还 模型中其他参数的意义与上面模型相同,但这样却是从预测精度上来看,都是新模型优于其他模型。 可以得到在各种不同初值条件下的最优化馍型,经大量 从数值上看,新模型可能具有白指数重合律。事实 数据分析发现,取任意初值得到的最优化GM(1,1)模上,根据前面的非线性规划最优化模型,有如下的定理。 型的模拟精度同样有了很大的提高 定理2采用非线性规划模犁參数建立的最优化 GM(1,1)模型具有白指数重合律。 3数据模拟精度的比较 证明根据式(7),当一个模型的实际值与模拟值相 下面分别以文献[的原GiM(1,1模型、文献[6]中等时,最优化非线性规划模型取得最小值0,此吋得到的 优化初始条件的模型、文献⑨的改进无偏模型与本文解也是模型的最优解。对白指数序列 的最优化模型对白指数序列进行模拟。 x(k+1)=e (1)原始值序列 出定理1,其模拟值序列为: 以白指数序列x"(k+1)=c“为例进行模拟分析,取 k+)=0-ex。)-2)e k=0,1,…,5,原始序列值x={x(),x(2),x(3) 其中,a为GM(1,1)模犁的发展系数,b为灰作用量 x(4),x(5),x“(6)如表1 由式(8)等于式(9)可得: (2)以表1原始序列分别建立原模型,文献[6模型, b 文献[9模型和本文的最优模型,并得到它们的模型参 数如表2 大=0.1,….n (10) 表2中本文模型的数据是以x°(0为初值得到①当k=0时,1=0-c1-2),即b= 的。分析表2中的数据,当A分别取0.1、0.5、1.0、30时 ②当k>0时,e4=(1 b 最优化GM(1,1)模型的还原式分别为 ,将b e (k+1)=1.000060000 代入其中得,c=c“,山此可得a=-A 表2各模型参数对比 0.4898373 0.9242343 1.8102965 原模型 发展系数-0.0991675 灰作用量 0.9500416 0.7550813 0.5378828 0.0948517 }4994699 3.000)000 文献[6模型 发展系数 0.0993278 19999366 灰作用量 0.9568382 0.7978855 0.6397777 0.3176493 发展系数 0.9987547 2.9583978 文献[9模型 灰作用量 0.9500836 0.7561783 0.5774351 0.0967534 本文棋型发展系数 0.1000000 0.5000000 10000000 3.0000000 灰作用量 0.9508332 0.7707470 0.5819766 0.1571871 64 014,50(10) Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 综上,对白指数序列x(k+1)=e,当a=-A,b=来,而¨残差平方和最小”把它们视为同等误差 a时,由式(7)建立的最优化非线性规划模型取得 综合分析上述两个例了可知,采用本文的新方法建 立的GM(1,1)模型的平均相对误差是量小的,但是发 最小值0,其对应的最优化GM(1,模型的模拟值与实展系数及残差平方和却各有千秋,这也充分说明,在建 际值相等,所以釆川新方法建立的最优化GM(1,1)模立GM(1,1)模型时,应当根据实际需要来选择一种最 型具有白指数重合律 优的建模方法,而在评价一个GM(1,1)模型时,应当综 合分析各种因素,并最终确定GM(1,1)模型的利用价 4实例分析 值。当然,正如文献[1]所说,对于一个GM(1,1)模型 例1数据来源于文献[6],其原始数据序列为(2,9836 般应当要求每个数据的相对误差小于20%,但最好是 44511,6.6402,99061,14781,2.0464,328893)。小于10%;要求模型的平均相对误差小于20%,但最好 利用文献[1中邓聚龙先生的原始灰色建模方法,是小于10%。这也是评判一个GM(1,1模型好坏的基 文献6]的改进初始条件建模方法,以及本文的方法分本标准。 别建立给定数据的GM(1,1)模型,得到的时问响应式 分别为 5结東语 原始建模方法 本文给出了一种利用建立线性规划模型的方法 (k+1)=9.05015130139108-6066551 来建立基于平均相对误差最小的最优化GM(1,1)模型 文献[6建模方法: 的方法。对比其他很多的优化方法,该方法具有如下的 x(k+1)=62025e3918-6.0659 一些优越性: 本文方法 (1)采用这种方法建立最优化GM(1,1)模型对仟 (k+1)=9.050199603960665996 何形式的数据序列都是有效的;不会像其他方法那样对 某些数据序列有效,而对另一些数据优化效果却不明 上面各模型具体计算结果如表3。 显,甚至起不到优化效果 表3各种建模方法计算结果对比 (2)由于LNGO是一套设计用来使构建和求解线 模拟值 性、非线性和整数优化模犁更快、更容易和更有效的功 原始数据 文献[方法文献[6方法 本文方法 能强大的工具,利用本文的建模方法建立的非线性规划 2.9836 2.9836 2.9836 2.9836 模型,可直接利用 LINGO110求其全局最优解,操作简 4.451 4.3804 4.4561 单,易于理解,而不必像其他方法那样经过麻烦的处理 6.6402 6.5006 6.613 6.6403 过程后才能得到相应的解。 9.906 9.6470 98146 9.9061 (3)本文建立的最优化GM(1,1)模型是针对平均 14.7781 14.3162 14.5657 14.7781 220)464 21.2454 21.6l68 220464 相对误差最小这个H标建立的,当然在建立非线性规划 32.8893 32.08I2 32.8893 模型时还可以附加上其他的一些约東条件,如要求最大 发展系数a=0.394751a=-0.3948a=-0399相对误差达到什么样的水平,或者残差平方和达到什么 灰作用量b-239475b-23948b-2426635样的水平等,但是正如文章引言部分述的,一般人们所 残差平方和 79823 0.8习I8 5.736-09 说的“残差”有两种,一种是e(k)=x(k)-(-a2(k)+b) 平均相对误差 2.86721% 1.17681%1.46166E-06 最大相对误差 4.13741% 0245438069号一种是()-x()-(),前者一般应用于根据 GM(1,1)模型x(k)+a"(k)=b估计发展系数a和灰 从表3可以得出以下几点结论 作用量b,而后者主要应用于分析所建立的GM(1,1) (1)采用本文所述方法建立的最优化GM(1,1)模模型的模拟精度及预测精度,事实上,按模型残差平方 型的平均相对误差和最大相对误差比其他两种模型的和最小的评价标准建立的最优模型也不是原始灰色模 都要低很多。 型,应是由后者导出的最优化模型,此处不再赘述 (2)对比表3的残差平方和发现,本文所述方法和 文献[6]的建模方法的残差平方和都比原始模型小,这 參考文献 说明采用传统最小二乘法所得馍型即使按误差平方和[刘思峰,党耀国,方芯耕,等.灰色系统理论及其应用[M 最小原则也不是最优。 5版北京:科学出版社,2010:146-197 平常中所说的模拟、预測精度高等价于“平均相对(21党耀国,刘思峰,王正新,等灰色预浏与决策模型研究M 误差小”,笔者认为其合理的原因在于它将“实际值为 北京:科学出版社,2009:101-180. 0.1误差为0.2”与“实际值为100误差为02”严格区别开 (下转146页)