设X是射影流形，f：X→y是X的小收缩态射，f的例外集E是光滑子簇．如果f(E)是零维的，E的维数不大于X的一半且法丛NE/X与t+OE(-1)同构，t=codimE，那么，的翻转f+：X+→Y一定存在．
### 射影流形上小收缩态射的翻转与法丛的关系
#### 概述
本文探讨了射影流形上小收缩态射的翻转与其法丛之间的关系。研究背景基于Mori、Kawamata等人提出的极小模型计划（Minimal Model Program, MMP），该计划是高维代数簇双有理等价分类理论的核心部分。特别地，本文关注的是小收缩态射（small contraction morphism）翻转的存在性问题。这一问题对于理解代数簇的结构和分类具有重要意义。
#### 关键概念解析
**射影流形**：射影流形是指可以嵌入到某个复射影空间中的紧致复流形。在代数几何中，射影流形通常指代由多项式方程定义的代数簇。
**小收缩态射**：在代数几何中，小收缩态射是指一种特殊类型的态射（映射），它将一个射影流形映射到另一个射影流形，其中例外集（exceptional locus）的像在目标空间中具有较低的维度。如果例外集的像的维度为零，则称此类态射为“小”（small）。
**翻转（Flip）**：翻转是MMP中一个关键的概念，指的是可以通过某种方式“反转”小收缩态射的效果，从而得到一个新的射影流形的过程。翻转的存在性对于完成极小模型计划至关重要。
**法丛（Normal Bundle）**：对于射影流形中的子流形，法丛是指该子流形在其所在流形中的法向量构成的向量丛。法丛的性质对于理解子流形及其在流形中的位置具有重要作用。
#### 主要结论
本文的主要贡献在于提供了一个条件，当满足该条件时，射影流形上的小收缩态射的翻转一定存在。具体来说，设\(X\)是射影流形，\(f: X \to Y\)是\(X\)的一个小收缩态射，\(f\)的例外集\(E\)是光滑子簇。如果满足以下三个条件：
1. \(f(E)\)是零维的；
2. \(E\)的维数不大于\(X\)的一半；
3. 法丛\(N_{E/X}\)与\(\mathcal{O}_E(-1)\)同构，其中\(t = \text{codim} E\)，
那么小收缩态射\(f\)的翻转\(f^+: X^+ \to Y\)一定存在。
#### 论证思路
1. **预备知识**：首先介绍了必要的预备知识，包括射影流形、典范除子、数字有效除子、1-循环、锥体定理和收缩定理等内容。这些基础知识为后续论证提供了必要的数学框架。
2. **主要论证**：基于上述条件，作者进一步分析了例外集\(E\)的法丛对于构造翻转的重要性。特别是，通过分析法丛的性质，可以构造出所需的翻转。这一过程依赖于法丛的同构性质以及例外集的维度限制。
#### 结论意义
本文的研究成果不仅为高维射影流形的小收缩态射翻转的存在性提供了新的理论依据，而且为更广泛意义上的极小模型计划的推进提供了有力支持。特别是，该成果可以被视为文献[3]中关于四维代数簇结果在更高维射影流形上的推广，具有重要的理论价值和潜在的应用前景。
本文通过深入研究射影流形上小收缩态射的翻转与法丛之间的关系，为解决极小模型计划中的关键问题做出了重要贡献。这一成果不仅丰富了代数几何领域的理论体系，也为未来相关研究开辟了新的方向。
