本文主要探讨了隐式Runge-Kutta方法（IRK）在解决具有多延迟微分方程（DDEs）数值解时的稳定性问题。特别地，文章聚焦于线性模型方程的解决方案，通过对IRK方法的数值稳定性行为进行分析，得出结论IRK方法在求解具有多延迟微分方程时，其稳定性可以通过GPLm-稳定性来描述，而这种稳定性等同于L稳定性。
文章回顾了常微分方程（ODEs）的数值解法。在ODEs的上下文中，IRK方法通过特定的隐式近似来定义数值解。具体来说，通过对时间步长进行划分，将时间区间内的函数值y(t)近似为y_n，并基于当前及历史的函数值和导数值来预测下一个时间步的函数值y_{n+1}。在IRK方法中，权重系数bi、系数ci和矩阵元素aij共同定义了一种特定的积分方案。
对于具有多延迟的微分方程，IRK方法需要考虑延迟项的影响。在现实世界的应用中，许多动力学系统的行为不仅取决于当前状态，还依赖于过去的状态。因此，IRK方法需要对这些延迟项进行适当的处理，以确保数值解的准确性和稳定性。
GPLm稳定性，即广义P稳定性的m-重推广，是一种分析数值方法稳定性的工具，特别适用于处理具有延迟项的微分方程。IRK方法在应用到具有多延迟的微分方程时，其稳定性的分析需要考虑延迟时间τ_i的数值，并将这些延迟时间纳入稳定性分析的框架内。
文章通过定义一个与 GPLm 稳定性相关联的函数 R(q)，通过观察 R(q) 的性质来分析 IRK 方法的稳定性。如果 R(q) 的模小于1，那么就认为 IRK 方法是 GPLm-稳定的。进一步的，文章提出了一个引理，指出 IRK 方法的 GPLm 稳定性等价于其 L 稳定性，后者是一种更广义的稳定性概念，通常用于描述数值方法在长时间计算过程中的稳定行为。
为了更深入地理解 GPLm 稳定性和 L 稳定性，文章提供了具体的线性模型方程 y′(t)=λy(t)，其中 Re(λ)<0。通过分析该方程的数值解的稳定性质，文章阐明了 IRK 方法在何种条件下是 GPLm-稳定的，也即 L 稳定的。这涉及到对系数矩阵、延迟项和时间步长的综合考虑。
文章还指出，IRK方法的稳定性分析对于函数f的非线性特性也具有参考意义。尽管文章主要聚焦于线性模型方程，但所得结论同样适用于非线性模型方程，因为非线性项的存在不会改变 GPLm 稳定性结论，只是在处理非线性项时可能需要更复杂的分析技巧。
总结而言，IRK方法在求解具有多延迟的微分方程的数值解时，其稳定性分析可以通过GPLm-稳定性来进行。文章通过深入分析了IRK方法在特定线性模型方程中的稳定性行为，阐明了IRK方法在解决多延迟微分方程时的稳定性条件，即IRK方法稳定当且仅当它满足GPLm-稳定性的要求，且这一结论适用于非线性模型方程。这项工作对于工程、物理学以及其他应用数学领域中需要处理具有时间延迟特性的微分方程的问题具有重要的理论意义和应用价值。
