素环、Lie理想、导子、幂-协中心化、对称商环、广义多项式恒等式、Posner定理、Q-内导、Q-外导以及标准恒等式s4是这篇文章涉及到的主要概念和知识点。下面逐一介绍这些概念的含义及其数学背景。
素环（Prime Ring）是一种特殊类型的环（ring），是指如果一个环R中的非零元素的乘积的左零因子和右零因子相同，那么这个环被称为素环。素环是环论中研究的对象之一，它在结构上相对比较特殊，很多环的性质在素环上能够得到保证。
Lie理想（Lie Ideal）是与特定的Lie代数有关的一个概念。在环R上定义的Lie代数是通过R上的一个加法群以及一个满足特定条件的双线性映射（[x,y]=xy-yx）来构造的。Lie理想则是指一个特殊的子集L，它在Lie代数的乘法下是封闭的，并且对于R中的任意元素r和L中的任意元素l有rl和lr都属于L。
导子（Derivation）是环R上的一个特殊的线性映射d，它满足Leibniz法则：对于R中的任意元素x和y，有d(xy)=d(x)y+xd(y)。导子是研究环结构的重要工具，它能够提供关于环的自动同构的信息。
幂-协中心化（Power-cocentralizing）这个概念涉及到导子的行为，文章中提出的幂-协中心化条件是导子d和g作用于Lie理想L上的元素u，所得的差[d(u)u-ug(u)]的平方都属于环R的中心Z。研究导子在特定条件下与其像的乘积与像与其像的乘积的差的平方是否在中心中，是为了深入探讨导子的性质及其与环结构的关系。
对称商环（Symmetric Quotient Ring）是环论中的一个概念，与给定环R有关的对称商环Q是由R中所有非零左理想生成的商环，具有特定的对称性质。对称商环在研究环的导子和内导子的时候具有重要作用。
广义多项式恒等式（Generalized Polynomial Identities）是环论中研究环的多项式恒等式及其推广的一类工具。一个环满足某个广义多项式恒等式意味着环中的特定多项式在所有可能的赋值下取值均为零。
Posner定理是由Posner首次提出并证明的定理，它研究了环上导子的交换性质。具体来说，如果一个环上的导子d与环中任意元素的交换子都在中心中，那么导子d要么为零，要么环本身是交换环。
Q-内导（Q-inner derivations）和Q-外导（Q-outer derivations）是将环R上的导子扩展到对称商环Q上之后的两种不同类型。如果R上的导子d可以表示为某个元素q在对称商环Q中的内导数，即d(x)=[q,x]对于R中的所有元素x成立，那么这个导子被称为Q-内导。如果不存在这样的q，则d被称为Q-外导。
标准恒等式s4是一个在特定条件下成立的恒等式，它是环论中的研究对象，用于描述某些环的特定性质。在文章中，s4标准恒等式与导子和Lie理想的关系被提出，作为判断导子行为的一个条件。
文章通过将已有的导子定理推广至幂的形式，探讨了素环和非中心化Lie理想在特定导子作用下，导子自身以及它们的平方是否会落在环的中心，并由此推出了两个主要结果。通过这种方式，文章加深了我们对于环上导子作用性质以及环与Lie理想之间关系的理解。
