### 两类图的符号星控制数
#### 概述
本文探讨了图论中的一个特定概念——符号星控制数，并具体研究了两类图：轮图和完全二部图的符号星控制数。符号星控制数是衡量图的一种新指标，它涉及到如何通过赋予图中的边特定的符号值（通常是+1或-1）来达到某种控制目的。
#### 图的符号星控制概念
在图论中，符号星控制的概念是近年来提出的一种新颖的图控制理论。该理论不仅扩展了传统图论中的控制理论范围，还为理解和分析网络结构提供了新的视角。根据定义，一个图\( G = (V, E) \)的符号星控制函数\( f \)是定义在图\( G \)的边集\( E \)上的函数，该函数将每条边映射到\(\{1, -1\}\)集合中的一个值。如果对于图\( G \)中的任意顶点\( v \)，满足条件：
\[ \sum_{e \in E(v)} f(e) \geq 1 \]
那么称\( f \)为图\( G \)的一个符号星控制函数。其中\( E(v) \)是指与顶点\( v \)相连的所有边的集合。
#### 完全图的符号星控制数
在文献[12]中首次引入了图的符号星控制数的概念，并确定了完全图的符号星控制数。完全图是指一个图中任何两个不同的顶点之间都恰好有一条边相连。完全图的符号星控制数可以通过适当的分配+1或-1的符号值给每条边，使得对于图中的每一个顶点\( v \)，\( E(v) \)的边符号值之和不小于1。
#### 轮图和完全二部图的符号星控制数
**轮图**：轮图\( W_n \)是由一个中心顶点和一个环绕它的环形路径组成，其中每个环上的顶点都与中心顶点相邻。轮图的符号星控制数是本文研究的重点之一。对于\( n+1 \)阶轮图\( W_{n+1} \)，本文给出了其符号星控制数的计算公式：
\[ \gamma'(W_{n+1}) = \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + 2 \]
**完全二部图**：完全二部图\( K_{m,n} \)是指顶点可以分为两个互不相交的集合\( A \)和\( B \)（\( |A|=m \)，\( |B|=n \)），且\( A \)中的每个顶点与\( B \)中的每个顶点都恰好有一条边相连。本文还研究了所有完全二部图的符号星控制数，但具体的计算方法并未在提供的内容中给出。
#### 主要结论
对于\( n+1 \)阶轮图\( W_{n+1} \)，当\( n \geq 3 \)时，符号星控制数可通过上述公式计算。该结论的证明过程涉及到了对不同情形的讨论，例如当\( n \equiv 0 \mod 4 \)时，通过对图中边的特殊分配来构造符号星控制函数\( f \)。
#### 引申意义
本文的研究对于理解复杂网络中的控制策略具有重要的理论意义。通过确定特定类型图的符号星控制数，我们可以更深入地探索网络结构的性质以及如何通过最小化的控制成本实现对网络的有效管理。
符号星控制数作为一个新兴的研究领域，为图论的研究开辟了新的方向，也为解决实际问题提供了新的工具。未来的研究可能会进一步探讨更多类型的图以及它们的符号星控制数，这将有助于我们更好地理解网络控制的机制。
