以前所接触到的位图的思想都是以1位的形式去存储某个数出现的次数是1次还是0次。常见的例子不外乎在《编程珠玑》上的开篇例子里，1千万个数的排序统计，用1.25M的内存空间就可以达到遍历一遍输入数据而排序好的目的。这种思想是通用的么？也就是说，假如输入数据不再是0次或者1次，而是2次或者更多的时候，如何再次用上这种思想呢？请看下面题目
位图是一种高效的数据结构，常用于处理有限且连续的整数集合。在传统的位图思想中，我们通常用一个二进制位来表示一个特定数值是否出现，1表示出现，0表示未出现。例如，在《编程珠玑》的经典例子中，通过位图可以快速统计1千万个整数的出现次数，只需1.25MB的内存，因为2^20（1M）个二进制位足以表示0到1000万之间的整数。
然而，当遇到更复杂的场景，如题目所述，数组中的元素可能不止出现一次或两次，而是可能出现多次。在这种情况下，我们仍能利用位图的思想来解决问题，但需要进行一些调整。题目要求找出一个数组中仅出现一次或两次的整数，其余所有数字都出现三次。
解法一尝试用两个二进制位来记录每个数的出现次数。例如，我们可以用00表示未出现，01表示出现一次，10表示出现两次。这种方法在处理一定规模的数据时有效，但随着数据量的增加，所需内存也会迅速增长。例如，处理20亿个数时，需要250MB的内存，这在处理大规模数据时是不可接受的。
解法二是一种改进的位图策略，称为“位移累加”法。这里，我们使用32个整数数组（每个整数代表32位二进制位）来记录0到31位的出现次数。对于数组中的每个元素，我们逐位进行统计，将每个元素的第i位右移i位后与1进行按位与操作，然后累加到对应的位数计数器中。这样，如果某个数的某一位出现了两次，其计数器除以3的余数将会是2。遍历32次后，我们将这些计数器进行按位或运算，得到的结果就是我们要找的数字。这种方法的空间复杂度为32 * 32位，即1KB，远小于解法一，并且时间复杂度依然满足O(N)，因为需要遍历输入数据32次。
以下是解法二的Java实现：
```java
public static int singleNumber(int[] A) {
int[] bitNum = new int[32];
int values = 0;
boolean twiceFlag = false;
for (int i = 0; i < 32; i++) {
for (int j = 0; j < A.length; j++) {
bitNum[i] += A[j] >> i & 1;
}
values |= (bitNum[i] % 3) << i;
if (!twiceFlag && (bitNum[i] % 3) > 1) {
twiceFlag = true; // 如果出现两次
}
}
if (twiceFlag) {
values >>= 1; // 去掉最高位，因为它是多余的
}
return values;
}
```
总结起来，位图思想不仅可以用来统计元素的出现次数，还可以通过巧妙变形解决更复杂的问题。在这个例子中，通过位移累加法，我们能够在O(N)的时间复杂度内找到仅出现一次或两次的整数，同时保持较低的空间复杂度。这对于处理大规模数据至关重要，尤其是在资源有限的环境中。
