### N！的位数
#### 问题描述
本篇文章探讨了如何计算给定正整数N的阶乘（记作N!）在十进制下的位数。阶乘的概念是数学中的基本概念之一，通常定义为所有小于及等于某个正整数N的正整数的乘积。例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。阶乘的增长速度非常快，即使是相对较小的N值，其阶乘也可能是一个非常大的数。因此，直接计算阶乘并统计位数的方法在实际应用中通常是不可行的。
#### 输入与输出
- **输入**：每行输入一个正整数N (0 < N < 1000000)。
- **输出**：对于每个N，输出N!的十进制位数。
#### 示例
- **输入**：320001000000
- **输出**：1302715565709
#### 算法分析
为了确定N!的位数，我们需要了解一些基本的对数规则。如果有一个正整数a，假设10^(x-1) ≤ a < 10^x，则a的位数为x位。这意味着a的位数可以通过计算log10(a) + 1得到。例如，对于一个数1000，它的对数值log10(1000) = 3，因此1000的位数为3 + 1 = 4。
对于N!的位数问题，我们可以将N!表示为N! = 1 * 2 * 3 * ... * N。我们需要计算的是log10(N!) + 1。由于对数具有以下性质：
\[ \log_{10}(a \times b) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b) \]
可以推导出：
\[ \log_{10}(N!) = \log_{10}(1) + \log_{10}(2) + \log_{10}(3) + \ldots + \log_{10}(N) \]
因此，N!的位数可以通过以下方式计算：
\[ \text{位数} = (\text{int})\left(\log_{10}(1) + \log_{10}(2) + \log_{10}(3) + \ldots + \log_{10}(N)\right) + 1 \]
#### 源代码实现
下面是使用C语言实现上述算法的示例代码：
```c
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main() {
int n, i;
double a;
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
a = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
a += log10(i);
}
printf("%d\n", (int)a + 1);
}
return 0;
}
```
这段代码首先包含了`stdio.h`和`math.h`两个头文件，分别用于输入输出和数学函数。接着定义了变量n、i以及一个浮点型变量a用于存储累加的对数值。通过循环遍历1到N的所有整数，并利用`log10()`函数计算每个整数的对数值，最后将所有对数值相加得到结果。通过取整并加1得到N!的位数，并打印输出。
### 总结
本文介绍了一种简单有效的方法来计算N!的位数，该方法避免了直接计算阶乘的复杂度和可能的溢出问题。通过使用对数运算，有效地解决了这一问题。这种计算技巧不仅适用于学术研究，在实际编程和软件开发中也非常有用。
