关于整自仿Tile的一个注记 (2008年)

整自仿Tile集合是数学中一个专门的领域，其在分形几何以及数论中都有重要的应用。整自仿Tile集合的研究涉及迭代函数系理论，数字理论，线性代数等多个数学分支。本文提供的内容是一篇发表于2008年的关于整自仿Tile集合的研究论文。作者沈兴灿在文章中讨论了整自仿集D的特征，为Jian-Lin Li的定理提供了新的证明方法，并深入探讨了整自仿与Tiling之间密切的关系。 在整自仿Tile集合的理论中，一个核心概念是迭代函数系（Iterated Function System，简称IFS），它是由一族压缩线性映射构成的集合。这些映射在数学上用于构建复杂的几何形状和结构。在文中提到的迭代函数系中，每个映射由矩阵M和集D中的一个元素d定义，形如Od(x)=Mx+d。在这一过程中，整自仿集D的特征函数T(M,D)描述了这些映射的迭代行为。 为了更深入理解整自仿Tile集的理论，我们先需要了解几个关键的概念和定理： 1. 整自仿集和迭代函数系：整自仿集是指在某些迭代映射下保持不变的集合。这些映射是一族特定的仿射变换，它们由一个扩张整矩阵M和一个有限集D构成。在本篇论文中，作者所研究的整自仿集特指具有整数坐标值的自相似集。 2. 扩张整矩阵和行列式：扩张整矩阵M指的是特征值模长都大于1的整数矩阵。行列式det(M)描述的是线性变换对空间体积的缩放因子。在整自仿Tile集的研究中，行列式的大小与集合中元素的数量相关联。 3. Lebesgue测度：Lebesgue测度是在数学中定义在实数集合上的标准测度，它是用于度量几何对象的"长度"、"面积"和"体积"。在整自仿Tile集的研究中，研究者关注的是迭代函数系吸引子的测度，并证明了其非零性质。 4. 整自仿Tile集的条件：整自仿Tile集的一个必要条件是集合中元素的个数|D|要大于等于行列式|det(M)|的绝对值。通常情况下，研究者关注的是|D|=|det(M)|的情形，因为这对应于最简单的情况。 5. 完备剩余系：在模整数意义下，如果D的元素构成了Zn的一个完备剩余系，意味着D的元素可以在Zn中按照某种方式排列，使得它们在加法下覆盖了Zn的所有可能余类。 6. 格论和整自仿Tile集的关系：整自仿Tile集和格论（研究整点集合的理论）之间存在紧密联系。格是整数的线性组合构成的无限集合。在整自仿Tile集的研究中，研究者会考虑某些特定的格，例如M-不变子格Z[M,D]，并且研究它们的结构。 在论文中，作者提出了一种新的证明方法，运用了格论的方法和Lagarias引理来阐述整自仿Tile集的性质。Lagarias引理指出，一个集合D能够构成整自仿Tile集的充要条件是：对于任意λ∈Zn，都存在一个非负整数κ，使得函数nM*^κλ的求和为零，其中M*是M的共轭转置矩阵。这个结果为整自仿Tile集的研究提供了新的数学工具和视角。 此外，论文还探讨了整自仿Tile集与Tiling之间的关系。Tiling在数学中指的是用一组几何形状（称为Tile）覆盖整个平面或空间而不留空隙。整自仿Tile集在数论、计算机图形学等领域都有广泛的应用。 整自仿Tile集的研究不仅丰富了数学理论，而且在实际应用中也发挥了重要作用，例如在计算机图形学的纹理合成、信号处理以及在物理中模拟分形现象等领域。通过研究整自仿Tile集，可以更好地理解和刻画自然界中的分形结构，并开发出新的算法来模拟这些复杂现象。