梯度法
什么是梯度
在高数的微积分中,我们学习过对多元函数求偏导,偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,梯度就是偏导数构成的一个向量.
当变化方向与梯度相同或相反时,函数的变化率最大,当变化方向与梯度方向正交时,函数的变化率为0.
∇ f(x,y,z)= (∂ x,∂ y ,∂z) ,每一点的梯度都会因x,y,z的值不一样而变化,因此在每一个点我们都要求一次梯度值.
梯度下降和上升
在机器学习中,我们在求最小值时使用梯度下降法,求最大值时使用梯度上升法.
为了尽快的得到最小值或者最大值,我们尽量让每一步运算的变化率都足够大,因此,在每一次运算时,我们要使函数变化的方向与梯度相同或相反,即△x
**梯度下降法详解**
梯度下降法是优化算法中的一种基本方法，广泛应用于机器学习和深度学习领域，尤其在求解损失函数最小化问题时。它的核心思想是沿着目标函数梯度的反方向更新参数，以期逐渐逼近函数的最小值。在微积分中，梯度是一个向量，包含了函数在各个自变量方向上的偏导数，表示了函数在当前位置的最大增益方向。对于一个多变量函数f(x, y, z)，其梯度定义为：
∇ f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
每个点的梯度都是独一无二的，依赖于该点的坐标值（x, y, z）。在梯度下降法中，我们利用梯度的反方向作为搜索方向，因为这是函数值下降最快的方向。
**梯度下降的步骤：**
1. 初始化参数：设定初始的参数值，例如在示例中，x1 和 x2 的初始值为1。
2. 计算梯度：求出当前参数值下的梯度，即计算每个变量的偏导数。
3. 更新参数：按照梯度的反方向和一个步长（学习率）A 来更新参数，公式为：△x = -∂x * A，这里的A是学习率，它决定了每次更新的幅度。学习率的选择非常重要，过大可能导致跳过局部最小值，过小则收敛速度慢。
4. 检查停止条件：如果梯度接近于零或满足其他预设的停止条件（如迭代次数达到上限），则停止迭代；否则，返回步骤2，继续更新。
**梯度下降法的应用实例：**
在给定的Python代码中，展示了如何用梯度下降法求解二次函数的最小值。二次函数Y(x1, x2) = x1^2 + 2x2^2 - 4x1 - 2x1x2 的梯度由dx1 和 dx2 定义，分别表示对x1 和 x2 的偏导数。通过不断迭代更新x1 和 x2 的值，直到函数值的变化趋近于零，从而找到最小值点。
此外，另一个例子是利用梯度下降法解决多元线性回归的系数求解。在多元线性回归模型中，目标是找到最佳的权重参数，使得预测值与实际值之间的误差平方和最小。这里，我们首先定义了损失函数（误差平方和），然后求出对每个参数的偏导数，接着应用梯度下降法更新参数，直至误差平方和不再显著变化。
梯度下降法是一种高效且广泛应用的优化算法，它能帮助我们找到损失函数的最小值，从而在机器学习模型中获得最优的参数设置。在实际应用中，需要注意选择合适的学习率，以及可能需要多次尝试才能找到全局最小值，因为梯度下降法可能会陷入局部最小点。
