亚式期权（Asian Option）是一种路径依赖期权（Path-dependent Option），其支付取决于期权有效期内资产价格的平均值。这类期权与欧式期权和美式期权不同，其价格不是根据到期时的资产价格确定，而是根据合约期间内资产价格的平均值来决定。亚式期权的价格计算相对复杂，因为它涉及到时间序列数据的处理。
B-S模型（Black-Scholes模型）是期权定价的经典理论，由Fischer Black和Myron Scholes在1973年提出。该模型提供了一种评估欧式期权价格的方法，其基本假设包括金融市场无摩擦、无套利、市场完备以及资产价格遵循几何布朗运动等。然而，实际金融市场中存在红利支付、波动率的随机性等复杂因素，这些因素在传统的B-S模型中并未考虑。因此，对B-S模型的推广研究就显得尤为重要。
在B-S模型的基础上进行推广，考虑金融资产具有连续红利支付的情况，即在期权有效期内，股票会产生连续的红利支付。红利支付会导致股票价格的下降，这会影响期权的价值，因此在定价时需要将红利支付的因素考虑进去。
此外，如果股票的波动率不是恒定的，而是随时间变化且具有随机性，这时候B-S模型也需要进行相应的修改。在实际应用中，可以通过引入随机波动率模型来模拟这种波动率的不确定性，进而求解亚式期权的定价公式。
在上述两种推广情况下，需要解决的关键问题是求解亚式看涨期权的定价公式以及算术平均亚式期权价格的上界。文章中提到了利用测度变换（measure transformation）技术来解决这一问题，这是一种处理路径依赖型期权定价的常用方法。测度变换技术的核心思想是将现实世界的概率测度转换为风险中性概率测度，在此框架下，可以利用无套利定价原则来求解期权价值。
文章中的测度变换步骤涉及到一些金融数学的高级概念，如Ito公式、Girsanov定理等。Ito公式是一种在随机微分方程中用以推广牛顿-莱布尼茨公式的工具，它允许我们对随机过程进行微分和积分。Girsanov定理则是一种用于改变概率测度的数学定理，它允许在保持布朗运动的情况下改变随机过程的漂移项。
文章还提到，在不同的推广情形下，可以通过期权平价公式（Put-Call Parity）来推导出看跌期权的价格。期权平价公式是期权定价中的一个重要概念，它表达了看涨期权和看跌期权价格之间的关系，即在相同行权价格和到期日下，两者的价格之差等于标的资产当前价格与无风险利率下的贴现值之差。
综合上述内容，B-S推广模型的亚式期权定价研究，不仅是对经典B-S模型的完善和拓展，也是对实际金融市场中复杂情况下的期权定价问题的一个深入探索。这些研究对于金融工程、风险管理以及金融产品创新都有着重要的意义。通过对各种市场条件下亚式期权定价的研究，能够更好地为市场参与者提供决策支持，同时也为金融市场的稳定与健康发展提供理论基础。
