在数学领域，不定方程是含有两个或两个以上的未知数且未知数的个数多于方程数的一类方程。这类方程的解不唯一，可能有无穷多组解，也可能没有解。在代数数论的研究中，不定方程的研究是一个非常重要的课题，因为它涉及到代数结构的性质以及整数的分布规律。
本文件讨论的不定方程为 x^2 + 64 = y^5。作者高援援和郭金保利用代数数论的方法，证明了该方程在整数范围内没有解。代数数论是研究代数数域、整环和理想等代数结构的数学分支，它为不定方程的解提供了丰富的工具和理论基础。
在这篇文章中，作者首先介绍了相关的背景知识，即当 A 和 B 是没有平方因子的正整数时，研究方程 Ax^2 + B = y^n 在整数范围内的解。特别地，当 A = B = 1 时，Lebesgue 证明了该方程没有正整数解。而当 A = B = 4，n = 5 时，Nagell 证明了该方程仅有整数解 y = ±n^3。
文章的主体部分，作者通过引入引理和定理，使用代数数论中的方法，特别是整环和单位元的概念来证明方程 x^2 + 64 = y^5 在整数范围内无解。在此过程中，作者详细分析了在不同模条件下的情况，并排除了所有可能的整数解。
文章中提到的引理 1 是关于唯一分解整环的性质，它指出如果一个整数在整环中的范数等于 1，则这个整数必须是该整环中的单位元素。这个引理是分析和解决不定方程的关键工具。
通过假设和分析，文章利用代数数论中的技术，如素元分解、范数计算等，来检验可能的解。作者发现，无论是当 x 是奇数还是偶数时，方程 x^2 + 64 = y^5 都不存在整数解。特别是在模 2 的情形下，通过变形和进一步的计算，同样可以得出该方程无解的结论。
在研究不定方程时，经常会遇到需要用到高等数学工具的情况。例如，在本文件中，就利用了模算术和代数结构的性质。而文章提到的参考文献也是这一领域内的重要工作，比如 Lebesgue 和 Nagell 的研究，它们为解决不定方程提供了历史性的理论支持和方法论指导。
高援援和郭金保的工作是在前人研究的基础上，对特定形式的不定方程进行了深入探讨，并给出了有力的证明。他们的工作不仅丰富了数论的内容，也展示了代数数论在解决具体数学问题中的强大力量。通过严谨的数学证明，这篇论文证明了 x^2 + 64 = y^5 在整数范围内无解，为这一数学问题画上了圆满的句号。
