python2练习题——编写函数，输入数字，判断是否是素数

定义 素数又称质数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。 性质 质数具有许多独特的性质： （1）质数p的约数只有两个：1和p。 （2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。 （3）质数的个数是无限的。 （4）质数的个数公式 是不减函数。 （5）若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。 （6）若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。 （7）若质数p为不超过n（ ）的最大质数，则 。 （8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9 素数密度公式 根据 在Python编程语言中，编写一个函数来判断输入的数字是否为素数是一项常见的练习任务。素数，也称为质数，是指大于1的自然数，它只能被1和它自身整除，没有其他自然数能整除它。理解素数的性质对学习数论和密码学等领域至关重要。 我们可以从定义出发，编写一个简单的素数检测函数。以下是一个基本的Python函数实现： ```python def is_prime(n): if n <= 1: return False elif n <= 3: return True elif n % 2 == 0 or n % 3 == 0: return False i = 5 while i * i <= n: if n % i == 0 or n % (i + 2) == 0: return False i += 6 return True ``` 这个函数首先检查小于等于1的数，因为它们不是素数。接着，它检查2和3这两个特殊的素数。然后，由于所有偶数（除了2）和3的倍数都不是素数，我们跳过这些数并从5开始检查。每次我们检查i和i+2，因为所有素数（除了2和3）都可以表示为6k±1的形式，其中k是自然数。我们只需要检查到 sqrt(n)，因为如果n有因数a和b，那么a * b = n，至少有一个因数小于或等于sqrt(n)。 此外，关于素数的性质，我们还可以讨论以下几点： 1. **质数p的约数只有两个：1和p**。这意味着除了1和它自身，没有其他数可以整除p。 2. **初等数学基本定理**：每个大于1的自然数要么是质数，要么可以唯一地分解为质数的乘积。这是数论的基础，称为“唯一分解定理”。 3. **质数的个数是无限的**。这是数学上的一个定理，表明无论我们找到多少质数，总会有更多的质数存在。 4. **素数的个数公式π(n)** 是不减函数。π(n)表示小于或等于n的质数个数，随着n的增大，π(n)的值会不断增加。 5. **Bertrand's Postulate**：对于所有正整数n，总存在一个质数p，使得n < p < 2n。这意味着在任意大数的附近，都能找到质数。 6. **Euler's totient function**：φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数，对于质数p，φ(p) = p - 1。 7. **最后一位数字**：所有大于10的质数，其个位数只能是1、3、7或9。这是因为2、4、6和8都是偶数，5的倍数个位是0或5，而9的倍数个位的和是9的倍数，因此它们不可能是质数。 8. **素数密度**：在较大的数集中，素数的分布逐渐稀疏，但可以通过素数密度公式来估算一定范围内的素数数量。素数密度公式是一个数学上的研究对象，通常涉及到复杂的数学分析。 通过编写和理解这个素数检测函数，我们可以加深对素数概念的理解，并为更高级的数学和计算机科学问题打下基础。在实际应用中，这样的函数可以用于各种场景，如加密算法、数据分析或简单的数学游戏。