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大佬整理的丘维声高等代数笔记1

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23页

前言视频1、2n元线性方程组和其解法矩阵的定义（由n元线性方程组的系数得到）通常由 A 表示对于线性方程组，可以得到增广矩阵高等代数研究对象：n元线性方程组研究

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大佬整理的丘维声《高等代数》学习笔记  
《高等代数》，丘维声，北京大学，视频：共151讲，B站视频链接
 
丘维声《高等代数》学习笔记
前言
第一章 线性方程组的解法
1. .1 解线性方程组的矩阵消元法
加减消元法
矩阵的初等行变化
在有理数集内解线性方程组
1.2 线性方程组解的情况及其判别情况
1.3 数域
习题1.3 思路
第二章 行列式
2.1 n元排列
习题 2.1
2.2 n阶行列式的定义
习题2.2
2.3 行列式的性质
习题 2.3
2.4 行列式按一行（列）展开
习题2.4
2.5 克莱姆法则
习题2.5
2.6 行列式按k行（列）展开
第三章 线性空间
3.1 线性空间的定义
习题3.1
3.2 线性子空间
习题8.1
习题 8.2
3.3 线性相关与线性无关的向量组
习题 3.2
3.4 极大线性无关组和向量组的秩
3.5 基与维数
习题3.3
3.6 矩阵的秩
3.7 线性方程组有解的判别
3.8 齐次线性方程组解集的结构

3.9 非齐次线性方程组的解集结构

3.10 子空间的运算

3.11 线性空间的同构

3.12 映射的乘法，可逆映射

参考

前言

视频1、2

n元线性方程组和其解法

矩阵的定义（由n元线性方程组的系数得到）

通常由 A 表示

对于线性方程组，可以得到增广矩阵

高等代数研究对象：

n元线性方程组

研究解的情况的判别和解集的结构

矩阵

n维向量空间

线性空间（由n维向量空间抽象而来）

线性映射（研究线性空间，就离不开线性映射）

双线性函数

具有度量的线性空间

欧几里得空间

酉空间

等等

与度量有关的线性变换

正交变换

对称变换

酉变换

Hermite变换

线性代数的主线：

线性空间

线性映射

一元高次方程的求根

一元多项式环

环的概念

域的概念

群的概念

数学的思维方式

观察客观现象

提出研究的问题

抓住主要特征

抽象出概念或建立模型

探索

运用直觉、类比、归纳、联想、推理

猜测（可能的规律）

论证

深入分析

运用定义、公理、已证明的定理进行推理

揭示事物内在规律

第一章线性方程组的解法

1. .1 解线性方程组的矩阵消元法

视频3、4、5

加减消元法

不同方程的乘以系数后和其他方程加减，以消除方程中某个（些）系数

如果以矩阵方式来写，把矩阵转换为阶梯型矩阵，即左下角的元素全为0

首先针对矩阵第一列，其次第二列，直到最后一列

当主元全是1，其他元素都是0 时，增广矩阵的最后一列即为X的解

矩阵的初等行变化

1. 把一行的倍数加到另外一行

2. 两行互换

3. 一行乘以一个非零系数

结论：矩阵的初等行变换得到的解与原方程组同解

作业，习题1.1的1和2

在有理数集内解线性方程组

有且只有如下三种情况：

无解：阶梯形方程组无解，从而原方程组无解

视频中的例子是最后一行：0 x

= -2

有无穷多个解，从而原方程有无穷多个解

视频的例子是最后一行：0 x

= 0

是自由未知量（主变量以外的未知量）

, x

是主变量（以主元为系数的未知量）

有唯一的解

当有解的时候，要么有一个解，要么有无穷多个解。

从两条直线来考虑这个问题，它们要么相交，要么重叠，要么平行。

方程组是否有解的总结：

如果线性方程的增广矩阵经过初等变换成阶梯矩阵后

相应的阶梯矩阵方程组如果出现 0 = d （其中 d 是非零数），那么原方程组无解，否则有解。

当有解时

若阶梯形矩阵的非零行的数目 r = n （未知量数目），那么方程有唯一解

如 r < n，那么方程有无穷多个解。

1.2 线性方程组解的情况及其判别情况

视频5、6

证明：n元线形方程组的增广矩阵经过初等行变换成阶梯矩阵有 r 个非零行，显然有 n + 1 列。

情况1： "0 = d"，无解

情况2：不出现"0 = d"

由于 J 的第 r 个主元 b

不能位于第 n+1 列，因此 t ≤ n

因为只能位于对角线的右上方，所以有 t ≥ r

情况 2.1：r = n

有n个主元，最后一列的 (C

, C

, ..., C

) 是方程唯一解

情况 2.2：r < n

有 n - r个自由未知量

1.3 数域

视频7

定义1：复数集的一个非空子集K，如果满足：

（1）0， 1 ∈ K

（2）a，b ∈ K → a ± b, ab ∈ K

（3）a，b ∈ K，且 b ≠ 0 →

∈ K

上面 K 是一个数域

数域举例：

有理数域 Q （最小的数域）

实数域 R

复数域 C （最大的数域）

对于例子：

x1 + a

= b

x1 + a

= b

其增广矩阵转化为阶梯矩阵后可得

所以需要第二行第二个元素部位0，意味着

(

- a

) ≠ 0，即

- a

≠ 0

表达式a

- a

≠ 0 用 |A| 来表示，称为行列式，这里是二阶行列式

习题1.3 思路

1. 令 Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q}, 证明 Q(i) 是一个数域

证明思路：

0 = 0 + 0i ∈ Q(i), 1 = 1 + 0 i ∈ Q(i)

α = a + bi, β = c + di

α ± β = (a ± c) + (b ± d)i ∈ Q(i)

αβ = (ac - bd) + (ad + bc)i ∈ Q(i)

β ≠ 0，则c、d不全为0，则

2. 令，n、m为任意非负整数，a

，b

数域 Z，0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m。证明F是

一个数域，其中e是自然对数的底。

证明思路：

对于 0、1∈ F的思路同上题目

对于F中的两个数 α、β

令

则，所以 αβ ∈ F

同样的思路 α ± β ∈ F，

∈ F

第二章行列式

先研究属于 K 上二元一次方程组，例子：

x1 + a

= b

x1 + a

= b

在 1.3节中讨论过当 a

- a

≠ 0时方程有唯一解；a

- a

= 0是有无穷多个解，为了方

便记忆，把表达式 a

- a

写作：

这是2阶行列式。把系数矩阵记作A，那么它对应的行列式记作 |A| 或 det(A)。

数域 K 上的系数矩阵 A 有唯一解 <==> |A| ≠ 0

2.1 n元排列

n元排列：1, 2, ..., n 的一个全排列。排列个数有 n! 个。

排列方法：

1. 顺序：数字从小到大排列（对 a

, a

, ..., a

，任取一对数a

，如果a

，则称这一对数构成一个

顺序

2. 逆序：数字从大到小排列（对 a

, a

, ..., a

，任取一对数a

，如果a

，则称这一对数构成一个

逆序

逆序数：一个 n 元排列中逆序的总数称为逆序数，记作τ(a

, a

, ..., a

)。

例如τ(2431) = 2，因为有24、31这两个逆序数对。

偶（奇）排列：逆序数个数为偶（奇）数，那么这个排列称为偶（奇）排列。

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