2014-2015复变函数与积分变换期末考试答案1

复变函数与积分变换是数学中的一个重要领域，主要研究复数域上的函数性质以及与之相关的积分变换。在这个领域的期末考试中，常见的题型包括选择题、填空题、判断题、计算题以及综合题。以下是一些相关知识点的详细说明： 1. 极点与零点： - 在复变函数中，一个点如果使得函数值趋向于无穷，则称为函数的极点。在给定的描述中，提到2zi=±Q为(f z)的一阶极点，这里的Q可能是复数，而极点的阶数是指在该点处函数的泰勒展开式中幂次最低项的指数。 - 零点则是函数值为零的点，零点的阶数表示函数在其附近泰勒展开中连续的零次幂的个数。例如，描述中提到0z =是(f z)的二阶极点，1z =是一阶极点，2z =是可去奇点。 2. 解析函数与调和函数： - 解析函数是指在某区域内具有无穷可微性的复变函数，且其导数也都是解析的。在综合题25中，要求证明(arctan(y/x))为调和函数，并求解与之相关的复变函数。调和函数满足拉普拉斯方程，即∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0，其中u是实变量x和y的函数。调和函数的共轭复函数v也必须是调和的。 3. 积分计算： - 在复变函数中，常常需要对函数进行积分，如题目24中的2| | 3 (4)(5 )zdzzzi=++ò。这个积分可能涉及到留数定理或者Cauchy积分公式，这些工具在计算复积分时非常有用。 4. 洛朗级数： - 洛朗级数是复变函数理论中的核心概念之一，它将复变函数在有奇点的区域内展开成幂级数与负幂级数的和。题目26要求在特定点处展开21( )0(2)zf zzzz在+==-点处的洛朗级数，这通常需要分析函数在奇点附近的局部行为，并应用洛朗展开的方法。 5. 孤立奇点： - 孤立奇点是复变函数在某点的邻域内除该点外处处解析的点。题目23中讨论了函数( )ImRef zzzz=-的可导性和解析性，并确定了哪些点是孤立奇点。 通过以上分析，我们可以看出复变函数与积分变换涵盖了复数运算、函数的性质（如极点、零点、可去奇点）、函数的可导性、调和性、解析性，以及积分和级数的计算等多个方面。这些知识是深入理解和应用复变函数理论的基础。