29_相似矩阵和若尔当形1
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2022-08-04
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29.
相
似
矩
阵
和
若
尔
当形
1.
正
定
矩
阵
性
质
上节课，给出了矩阵正定性需要满足的条件： 。
但是当时只是奇思妙想得出了这样的矩阵乘法式。
对于一个正定矩阵，狭义定义下，其为 维实列向量 满足对 阶实对称阵 的限制：
。
这个方阵 的特征值已经讨论过 ——
正
定
矩
阵
的
所
有
特
征
值
大
于
0。
但是对于下列矩阵，是不是也具有同样的性质呢（是不是也是正定矩阵）：
1. 正定矩阵 的加和
2. 任意矩阵 的
3. 正定矩阵 的逆矩阵
i. A + B
判断一个矩阵的正定性，就 4 种方法：
1. 主元都大于 0；
2. 特征值都大于 0；
3. n 个主子式都大于 0。
4.
这里由于矩阵加法是可结合的，所以利用第 4 条：
直接得证。
ii. A^T A
还是由第 4 种方法，写出：
但由结合律，可以观察出：
x Ax >
T
0
n x n A x Ax >
T
0
A
A, B A + B
A A A
T
A
x Ax >
T
0
∵ x Ax >
T
0, x Bx >
T
0, ∴ x (A +
T
B)x > 0
x (A A)x
T T
T T T 2
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