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5-5_组合优化_局部搜索1
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2022-08-04
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5. 组合优化-算法设计技巧 1. 从任意一个匹配 M 开始,比如一条边或者是一个极大匹配 2. 选定一个 M-非饱和顶点 u 3. 重复步骤 2 直到所有顶点
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xdhu 1
运筹学通论I
胡晓东
应用数学研究所
中国科学院数学与系统科学研究院
http://www.amt.ac.cn/member/huxiaodong/index.html
Institute of Applied Mathematics
xdhu 2
5. 组合优化-算法设计技巧
精确算法
分而治之 (搜索、排大小序、旅行商)
动态规划 (最短路、三角剖分、背包)
分支定界 (整数线性规划、旅行商、工件排序)
近似算法或启发式算法
贪婪策略 (最小生成树、最大可满足、背包、
顶点覆盖、独立集、旅行商)
局部搜索(最大匹配、旅行商、最大割)
序贯法 (工件排序、装箱、顶点着色)
整数规划法 (顶点覆盖、最大可满足、最大割)
随机方法 (最小割、最大可满足、顶点覆盖)
在线算法 (页面调度、k-服务器、工件排序、装箱)
不可近似 (最大团、背包、旅行商、装箱、连通控制集等)
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5.5 局部搜索
基于局部搜索的算法的主要思想是:从一个初始可行解
开始,在一定范围内寻找一个更好的解;然后再从这个可行
解开始,不断地重复这个过程,直到无法找到更好的解为止。
一般来讲,任给一个可行解 x ,我们称 z 是它的一个相邻可
行解如果 z 与 x 的几何距离很近,或者它们具有非常相似的
离散结构。
给定一个可行解 x,局部搜索算法试图在它的所有相邻可行
解中找到一个具有更好的度量函数(比如优化问题的目标函数)
的解。当算法找到了一个可行解,与它相邻的可行解的度量函
数值都不比它的度量函数值好,算法就终止,并输出这个可行
解。然而,尽管输出的可行解无法再改进(没有比它更好的相
邻可行解),但是通常它只是一个局部最优解,而非全局最优
解。
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5.5 局部搜索(续一)
针对一个优化问题,要设计一个局部搜索算法,我们需要
考虑以下因素:
如何找到一个初始可行解,从而可以开始进行局部搜索。
对尽管对许多优化问题来讲,很容易就可以构造一个初始
可行解,但是还有一些优化问题的初始可行解并不是很容
易就可以构造出来,此时,就需要求助于一些技巧,比如
贪婪策略。
如何定义一个可行解的邻域结构。注意,我们不必在所有相
邻的可行解中找到一个最好的可行解,通常只需要找到一个
比当前的可行解要好的可行解即可。
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5.5 局部搜索(续二)
另外,还需要注意的是,对于某一个具体的优化问题来讲,
如果我们设计的邻域结构具有这样的性质:可以在多项式时间
内从一个可行解出发搜索到一个更好的相邻可行解,且可以经
过多项式时间的搜索迭代找到一个全局最优解,那么这样的局
部搜索算法就可以在多项式时间内找到问题的一个最优解。
然而,遗憾地是,对于一个 NP-难问题来讲,我们不能期
望可以定义具有这样性质的邻域结构除非 P =NP。求解这些问
题时, 我们只能希望设计一个局部搜索算法,它可以找到问
题的一个局部最优解,并同时能证明它是一个很好的近似(全
局)最优解。
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天眼妹
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