特殊类型的矩阵和向量-使用xtext和xtend实现域特定语言(第二版)-中文-第四章

36 第二章 线性代数 2.6 特殊类型的矩阵和向量 有些特殊类型的矩阵和向量是特别有用的。 对角矩阵（diagonal matrix）只在主对角线上含有非零元素，其他位置都是零。 形式上，矩阵 D 是对角矩阵，当且仅当对于所有的 i ̸= j，Di,j = 0。我们已经看到 过一个对角矩阵：单位矩阵，对角元素全部是 1。我们用 diag(v) 表示一个对角元素 由向量 v 中元素给定的对角方阵。对角矩阵受到关注的部分原因是对角矩阵的乘法 计算很高效。计算乘法 diag(v)x，我们只需要将 x 中的每个元素 xi 放大 vi 倍。换 言之，diag(v)x = v⊙ x。计算对角方阵的逆矩阵也很高效。对角方阵的逆矩阵存在， 当且仅当对角元素都是非零值，在这种情况下，diag(v)−1 = diag([1/v1, . . . , 1/vn]⊤)。 在很多情况下，我们可以根据任意矩阵导出一些通用的机器学习算法；但通过将一 些矩阵限制为对角矩阵，我们可以得到计算代价较低的（并且简明扼要的）算法。 不是所有的对角矩阵都是方阵。长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。非方阵的 对角矩阵没有逆矩阵，但我们仍然可以高效地计算它们的乘法。对于一个长方形对 角矩阵 D 而言，乘法 Dx 会涉及到 x 中每个元素的缩放，如果 D 是瘦长型矩阵， 那么在缩放后的末尾添加一些零；如果 D 是胖宽型矩阵，那么在缩放后去掉最后一 些元素。 对称（symmetric）矩阵是转置和自己相等的矩阵： A = A⊤. (2.35) 当某些不依赖参数顺序的双参数函数生成元素时，对称矩阵经常会出现。例如，如 果 A 是一个距离度量矩阵，Ai,j 表示点 i 到点 j 的距离，那么 Ai,j = Aj,i，因为距 离函数是对称的。 单位向量（unit vector）是具有单位范数（unit norm）的向量： ∥x∥2 = 1. (2.36) 如果 x⊤y = 0，那么向量 x 和向量 y 互相正交（orthogonal）。如果两个向量都 有非零范数，那么这两个向量之间的夹角是 90 度。在 Rn 中，至多有 n 个范数非 零向量互相正交。如果这些向量不仅互相正交，并且范数都为 1，那么我们称它们 是标准正交（orthonormal）。