第五章 矩阵的几何意义
通过前面的章节我们初步了解到，解线性方程组的克莱姆法则使用了行列式理论，但克莱姆法则只
能用于解方程个数等于未知数个数的方程组，而且系数行列式不能等于 0。即使以上条件都满足，也要计
算 n+1 个 n 阶行列式。实际工程中的 n 一般很大，即使在现代计算机技术面前，计算效率也不能使人满
意。
在用消元法解各种类型的线性方程组时，一系列问题出现了：当系数行列式等于 0 时 ，方程组是否
有解？若有解又如何求出？当未知量个数与方程的个数不等时，线性方程组的解又如何？
要深入探讨这些问题除了向量概念外还需要引入矩阵的理论。到 1858 年，哈密尔顿（W.R.Hamilton）
和凯莱（A.Cay-ley）的著作中出现了矩阵的运算，从行列式到矩阵的出现，大约经过了 100 多年的时间。
我们知道，在直角坐标系中，一个有序的实数数组 和 分别代表了平面上和空间上的一
个点，这就是实数组的几何意义。类似的，在线性空间中如果确定了一个基，线性映射就可以用确定的
矩阵来表示，这就是矩阵的几何意义：线性空间上的线性映射。
( , )a b ( , , )a b c
矩阵独立的几何意义表现为对向量的作用结果。矩阵对一个向量是如何作用的？矩阵对多个向量是
如何作用的？矩阵对一个几何图形（由无数向量组成的几何图形）是如何作用的？在矩阵对一个几何图
形的作用研究中，我们会发现一些有规律的东西比如特征向量、秩等等。
5.1. 矩阵的概念
矩阵的本质就是一个长方形的数表，在生活中的所有长方形数表都可以看成是矩阵。矩阵和行列式
相似，也是以行和列组织的矩形数字阵列，因此称为矩阵。与行列式的表示法不同，矩阵是用方括号把
数字块括起来，表示一个有顺序有组织的数据块；而行列式是对这些数据块进行的一个运算，是一个算
式，故称为行列式。矩阵的一个三阶例子如下：
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
如果用数组来统一定义标量、向量和矩阵的话就是：标量是一维向量，向量是标量的数组，矩阵则
是向量的数组。例如上面介绍的矩阵我们如果使用列向量 ， ，
来表示它，这个矩阵就可以写作：
( )1 2 3, ,
T
a a a=a ( )1 2 3, ,
T
b b b=b
( 1 2 3, ,
T
c c c=c ) [ ]a b c 。
当然，矩阵不只是只有几何意义，也具有现实的物理意义，矩阵的运算也都可以从实践中找到。下
面有个例子：
比如某家电器公司的制造厂有几个生产线，产线在 2009 年和 2010 年的上半年的产出量的统计表如
下：
顺序 产线名 2009 年上半年的每月产出量
第 3 页，共 38 页
