一、几乎处处收敛与一致收敛的关系
可测函数列收敛或几乎处处收敛不一定推出一致收敛，但在测度意义下，只
要去掉一个测度很小的集合，就可以保证该函数列在剩下的集合上一致收敛。
定理 1（Egoroff 定理）设mE < +∞， ( ){ }nf x 为 E 上几乎处处有限的可测函数列，
( )f x 为 E 上几乎处处有限的函数，如果 ( ) ( )lim , . .nn f x f x a e E→∞ = 于 ，
则 ( ) ( )0, , , \ , nE E mE E E f x f xδ δ δδ δ
→
→
∀ > ∃ ⊂ <可测子集 使 而在 。
注解：（1）若“mE < +∞”改为“mE = +∞”结论不一定成立，例如
( )
[ ]
( )
0 0,
1, ,
n
n
f x
n
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
+∞⎪ ⎪⎩ ⎭
，
，其中 [0, )E = +∞ 。
（2）定理 1 逆定理：设 ( ){ }nf x 为可测集 E 上可测函数列， ( )f x 为 E 可测
函数，如果 ( ) ( )0, , , \ , nE E mE E E f x f xδ δ δδ δ
→
→
∀ > ∃ ⊂ <可测子集 使 而在 ，
则 ( ) ( )lim , . .nn f x f x a e E→∞ = 于 。也成立！
（3）设mE < +∞， ( ){ }nf x 为 E 上几乎处处有限的可测函数列， ( )f x 为 E
上几乎处处有限的函数，如果 ( ) ( )lim , . .nn f x f x a e E→∞ = 于 ，则存在 E 的一单
调递增的可测集列{ }kE ，使在每个 kE 上 ( ) ( )nf x f x
→
→
，而 lim kk mE mE→∞ =
。
二、几乎处处收敛与依测度收敛的关系
定义 1 设 E 为可测集， ( ){ }nf x 为 E 上几乎处处有限的可测函数列， ( )f x 为 E
上 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数 ， 如 果 对 任 意 0δ > ， 有
lim | 0nn mE x f f δ→∞ ⎡ − ≥ ⎤ =⎣ ⎦ ，则称 ( ){ }nf x 在 E 上依测度收敛于 ( )f x ，记为
( ) ( ) ,nf x f x x E⇒ ∈ 。
依测度收敛的简单性质：
性质 1（唯一性）如果 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ),n nf x f x x E f x g x x E⇒ ∈ ⇒ ∈ ，则
( ) ( ) , . .f x g x a e E= 于 。
性质 2（子集性） ( ) ( )( )nf x f x x E⇒ ∈ ，可测集 1E E∈ ，则 ( ) ( )( )1nf x f x x E⇒ ∈ 。
性质 3（运算）如果 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ),n nf x f x x E g x g x x E⇒ ∈ ⇒ ∈ ，则
① ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n nf x g x f x g x x E± ⇒ ± ∈ ；
